空间中的垂直关系习题课.doc

安丘一中高一数学上学期导学案
课题
空间中的垂直关系
课型
习题课
课时
2
时间
第5周
主备人
崔玉娟
教研
组长
张宗田
包组
领导
韩永杰
编号
10
教学
目标
1．线线垂直、线面垂直、面面垂直的相互转化
2．线线垂直、线面垂直、面面垂直的综合应用
教学内容
教学设计
课前预习案
预习提纲：
1．证明线线垂直常用的方法：

2．证明线面垂直常用的方法：

3．证明面面垂直常用的方法：

课堂探究案

例1．如图所示，已知矩形ABCD，过点A作SA⊥平面AC，再过点A作AE⊥SB，交SB于E，过点E作EF⊥SC，交SC于F.求证：AF⊥SC.

[解析]　∵SA⊥平面AC，BC⊂平面AC，∴SA⊥BC.
∵四边形ABCD是矩形，∵AB⊥BC.
又SA∩AB＝A，∴BC⊥平面SAB，∴BC⊥AE.
又SB⊥AE，BC∩SB＝B，∴AE⊥平面SBC，∴AE⊥SC.
又EF⊥SC，EF∩AE＝E，∴SC⊥平面AEF，∴AF⊥SC.

变式训练1：如图所示，在空间四边形ABCD中，AB＝AD，CB＝CD，求证BD⊥AC.

[解析]　取BD的中点E，连结AE、CE，
∵AB＝AD，∴AE⊥BD，又∵CB＝CD，∴CE⊥BD，AE∩CE＝E，∴BD⊥平面ACE，∴BD⊥AC.

思考：

例2．如图所示，已知P是△ABC所在平面外一点，PA、PB、PC两两垂直，H是△ABC的垂心．
求证：PH⊥平面ABC.

[解析]　∵H是△ABC的垂心，
∴AH⊥BC.
∵PA⊥PB，PA⊥PC，PB∩PC＝P，∴PA⊥平面PBC.
又∵BC⊂平面PBC，∴PA⊥BC.
又AH∩PA＝A，∴BC⊥平面PAH，∴BC⊥PH.
同理AB⊥PH，∴PH⊥平面ABC.

变式训练2：若AB，AC，AD两两垂直，AB＝5，AC＝4，AD＝3，则三棱锥A－BDC的体积为________．
[答案]　10

例3．如图，长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，点P为DD1的中点．
求证：平面PAC⊥平面BDD1.

[解析]　∵长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，∴底面ABCD是正方形，
∴AC⊥BD，又DD1⊥平面ABCD，∴DD1⊥AC，又DD1∩BD＝D，
∴AC⊥平面BDD1，∴平面PAC⊥平面BDD1.

变式训练3：如图，P为△ABC所在平面外一点，PA⊥平面ABC于点A，AD⊥BC于点D，求证：平面PBC⊥平面PAD.

[解析]　∵PA⊥平面ABC，且BC⊂平面ABC，∴PA⊥BC，
又AD⊥BC，PA∩AD＝A，
∴BC⊥平面PAD，∵BC⊂平面PBC，
∴平面PBC⊥平面PAD.

规律方法

当堂达标：
1．若平面α与平面β不垂直，那么平面α内能与平面β垂直的直线有(　　)
A．0条　　　 B．1条　　　
C．2条　　　 D．无数条
[答案]　A
[解析]　假设平面α内存在一条直线l⊥β，则α⊥β，这与α与β不垂直矛盾，故平面α内不存在能与平面β垂直的直线．
2．给出下列四个命题：①若直线l与平面α内无数条直线垂直，则直线l⊥平面α；②平面α与β分别过两条互相垂直的直线，则α⊥β；③若直线l⊥平面α，则存在a⊂α，使l∥a；④若平面α内的一条直线垂直于平面β内的两条相交直线，则α⊥β.
其中正确命题的个数为(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
[答案]　A
[解析]　当l与平面α内的无数条平行直线垂直时，l不一定与α垂直，①错误；
当平面α与β分别过两条互相垂直的直线时，α，β可能垂直，也可能不垂直，②错误；
根据直线与平面垂直的定义，知直线l⊥平面α时，l与α内的所有直线都垂直，不可能存在直线与l平行的情况，③错误；根据线面垂直的判定定理知④正确．选A.
3．直线a和平面α内两条直线b、c都垂直，给出下列说法，正确的说法是(　　)
①a∥α可能成立；②a⊥α；③平面α可能经过a；④a有可能与平面α相交．
A．①②③④　　 B．③④　　
C．①②④　　 D．①③④
[答案]　D

[解析]　如图所示，a∥α，b⊂α，c⊂α，a⊥b，a⊥c，故①正确，②不正确，故选D.
4．空间四边形ABCD中，若AB＝BC＝CD＝DA＝AC＝BC，E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点．则四边形EFGH的形状是(　　)
A．平行四边形 B．长方形
C．菱形 D．正方形
[答案]　D
[解析]　如图所示，∵E、F、G、H分别为AB、BC、CD、DA的中点，∴EF綊AC，HG綊AC，∴四边形EFGH是平行四边形，

又EH＝BD，BD＝AC，∴EH＝EF，∴四边形EFGH是菱形．取BD中点M，连结AM、CM，∵AB＝AD，∴AM⊥BD，
又CB＝CD，∴CM⊥BD，
又AM∩CM＝M，∴BD⊥平面ACM，
∴BD⊥AC.
又EF∥AC，BD∥EH，
∴EF⊥EH，∴四边形EFGH是正方形．
5．α、β、γ、ω是四个不同平面，若α⊥γ，β⊥γ，α⊥ω，β⊥ω，则(　　)
A．α∥β且γ∥ω
B．α∥β或γ∥ω
C．这四个平面中可能任意两个都不平行
D．这四个平面中至多有一对平面平行
[答案]　B
[解析]　设α∩β＝a.∵α⊥γ，β⊥γ.∴a⊥γ.
同理a⊥ω.∴γ∥ω；若α∥β，则γ与ω相交或平行．
∴α∥β或γ∥ω.
6．设a、b是异面直线，下列命题正确的是(　　)
A．过不在a、b上的一点P一定可以作一条直线和a、b都相交
B．过不在a、b上的一点P一定可以作一个平面和a、b都垂直
C．过a一定可以作一个平面与b垂直
D．过a一定可以作一个平面与b平行
[答案]　D
[解析]　A不正确，若点P和直线a确定平面α，当b∥α时，满足条件的直线不存在；B不正确，若存在，则有a∥b，这与a、b是异面直线矛盾；C不正确，只有a、b垂直时，才能作出满足条件的平面．只有D正确．
7．给出下列四个命题：
①经过平面外一点有且仅有一个平面与已知平面垂直；②如果一条直线和两个垂直平面中的一个垂直，它必和另一个平行；③过不在平面内的一条直线可作无数个平面与已知平面垂直；④如果两个平面互相垂直，经过一个平面内一点与另一个平面垂直的直线在这个平面内．其中正确的是________．
[答案]　④
[解析]　过平面外一点可作一条直线与平面垂直，过该直线的任何一个平面都与已知平面垂直，①不对；若α⊥β，a⊥α，则a⊂β或a∥β，②不对；当平面外的直线是平面的垂线时可以作无数个，否则只能作一个，③不对，故只有④对．
8．平行四边形ABCD的对角线交点为O，点P在平行四边形ABCD所在平面外，且PA＝PC，PD＝PB，则PO与平面ABCD的位置关系是________________．
[答案]　PO⊥平面ABCD
[解析]　如图所示，∵O为平行四边形ABCD对角线的交点，∴OA＝OC，又PA＝PC
∴△POA≌△POC，
∴∠POA＝∠POC＝90°，
∴PO⊥AC.

同理PO⊥BD，又AC∩BD＝O，∴PO⊥面ABCD.
9．(2010·湖南文，13)如下图中的三个直角三角形是一个体积20cm3的几何体的三视图，则h＝________ cm.

[答案]　4
[解析]　该几何体是一个底面是直角三角形，一条侧棱垂直于底面的三棱锥如图，V＝××h＝20，∴h＝4 cm.

10．已知：直线l和平面α，β，且l⊄α，l⊄β，若从①l⊥α，②α⊥β，③l∥β中任取两个作为条件，余下一个作为结论，在构成的诸命题中，写出你认为正确的一个命题：______________.
[答案]　①③⇒②(答案不惟一)

[解析]　如图所示，∵l∥β，∴过直线l作平面γ∩β＝a，∴l∥a，
∵l⊥α，∴a⊥α，又a⊂β，∴α⊥β.
11．如右图所示，四棱锥S－ABCD中，底面ABCD为平行四边形，侧面SBC⊥底面ABCD，已知∠ABC＝45°，SA＝SB.求证：SA⊥BC.

[解析]　作SO⊥BC，垂足为O，连结AO，∵侧面SBC⊥底面ABCD，∴SO⊥底面ABCD.
∵SA＝SB，∴AO＝BO.
又∠ABC＝45°，故△AOB为等腰直角三角形，即AO⊥BO，又BC⊥SO，且SO∩OA＝O，
∴BC⊥平面SOA，∴SA⊥BC.
12．(2010·辽宁文，19)如图，棱柱ABC－A1B1C1的侧面BCC1B1是菱形，B1C⊥A1B.

(1)证明：平面AB1C⊥平面A1BC1；
(2)设D是A1C1上的点，且A1B∥平面B1CD，求A1D：DC1的值．
[解析]　(1)∵侧面BCC1B1是菱形，∴B1C⊥BC1，
又∵B1C⊥A1B，且A1B∩BC1＝B，
∴B1C⊥平面A1BC1，又B1C⊂平面AB1C

∴平面AB1C⊥平面A1BC1 .
(2)设BC1交B1C于点E，连结DE，则DE是平面A1BC1与平面B1CD的交线．
∵A1B∥平面B1CD，A1B⊂平面A1BC1，平面A1BC1∩平面B1CD＝DE，∴A1B∥DE.
又E是BC1的中点，∴D为A1C1的中点．
即A1D：DC1＝1.
13．如图所示，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是∠DAB＝60°的菱形，侧面PAD为正三角形，其所在平面垂直于底面ABCD.

(1)求证：AD⊥PB；
(2)若E为BC边的中点，能否在棱PC上找到一点F，使平面DEF⊥平面ABCD，并证明你的结论．
[解析]　(1)设G为AD的中点，连结PG，
∵△PAD为正三角形，∴PG⊥AD.
在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，G为AD的中点，∴BG⊥AD.
又BG∩PG＝G，∴AD⊥平面PGB.
∵PB⊂平面PGB，∴AD⊥PB.
(2)当F为PC的中点时，满足平面DEF⊥平面ABCD.
取PC的中点F，连结DE、EF、DF，在△PBC中，EF∥PB.

在菱形ABCD中，GB∥DE，而EF⊂平面DEF，DE⊂平面DEF，EF∩DE＝E，
∴平面DEF∥平面PGB，
由(1)得PG⊥平面ABCD，而PG⊂平面PGB，
∴平面PGB⊥平面ABCD，∴平面DEF⊥平面ABCD.
14．在长方体ABCD－A1B1C1D1中，E∈CC1，B1E⊥BC1，AB＝AD，求证：AC1⊥面B1ED1.

[解析]　∵ABCD－A1B1C1D1为长方体，
∴AB⊥平面BB1C1C，
又∴B1E⊂平面BB1，C1C，
∴AB⊥B1E，又∵B1E⊥BC1，AB∩BC1＝B，∴B1E⊥平面ABC1，
∴B1E⊥AC1，连结A1C1，∵AB＝AD，∴长方体上、下底面ABCD、A1B1C1D1为正方形．
∴A1C1⊥B1D1.
又∵AA1⊥平面A1B1C1D1，∴AA1⊥B1D1，AA1∩A1C1＝A1，
∴B1D1⊥平面AA1C1，∴B1D1⊥AC1，B1E∩B1D1＝B1，
∴AC1⊥平面B1ED1.

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反思

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