第28讲 数论综合3.doc

第28讲 数论综合3
内容概述
具有相当难度，需要灵活运用各种整数知识，或与其他方面内容相综合的数论同题．

典型问题

2. 有3个自然数，其中每一个数都不能被另外两个数整除，而其中任意两个数的乘积却能被第三个数整除．那么这样的3个自然数的和的最小值是多少?
【分析与解】 设这三个自然数为A，B，C，且A=×，B=×,C=×，当、、c均是质数时显然满足题意，为了使A，B，C的和最小，则质数、、应尽可能的取较小值，显然当、、为2、3、5时最小，有A=2×3=6, B=3×5=15，C=5×2=10．
于是，满足这样的3个自然数的和的最小值是6+15+10=31．

4. 对于两个不同的整数，如果它们的积能被和整除，就称为一对“好数”，例如70与30．那么在1，2，…，16这16个整数中，有“好数”多少对?
【分析与解】 设这两个数为、，且<，有=×(+)，即.
当=2时，有，即(-2)×(-2)=22=4，有，但是要求≠．所以只有满足；
当=3时，有，即(-3)×(-3)=32=9，有，但是要求≠．所以只有满足；
……
逐个验证的值，“好数”对有3与6，4与12，6与12，10与15．所以“好数”对有4个.

6．甲、乙两人进行下面的游戏：两人先约定一个自然数N，然后由甲开始，轮流把0，1，2，3，4，5，6，7，8，9这10个数字中的一个填入图28-1的某个方格中，每一方格只能填一个数字，但各方格所填的数字可以重复．当6个方格都填有数字后，就形成一个六位数．如果这个六位数能被N整除，那么乙获胜；如果这个六位数不能被N整除，那么甲获胜．设N小于15，问当N取哪几个数时．乙能取胜?

【分析与解】 当N取2，4，6，8，10，12，14这7个偶数时，当甲将某个奇数放到最右边的方格中，则这个六位数一定是奇数，奇数显然不能被偶数整除，所以此时乙无法取胜；
而当N取5时，当甲在最右边的方格内填人一个非0非5的数字时，则这个六位数一定不能被5整除，所以此时乙无法获胜：
此时还剩下1，3，7，9，11，13这6个数，
显然当N取l时，乙一定获胜；
当N取3或9时，只要数字对应是3或9的倍数时，这个六位数就能被对应的3或9整除，显然乙可以做到；
当N取7，1l或13时，只要前三位数字和与后三位数字和的差对应是7，11，13的倍数时，这个六位数就对应是7，11，13的倍数，乙可以做到．
于是，当N取1，3，7，9，11，13时，乙适当的操作能保证自己一定获胜．

8. 已知与的最大公约数是12，与的最小公倍数是300，与的最小公倍数也是300．那么满足上述条件的自然数，，共有多少组?
【分析与解】 300=12×，是、的倍数，而12是、的最大公约数，所以、有5种可能，即
12 12×5 12× 12 12
12 12 12 12×5 12×
由于、中总有一个为12，则=××，其中x可以取0、1、2中的任意一个，y可以取0、1中的任意一个，这样满足条件的自然数、、共有5×3×2=30组．

10．圆周上放有N枚棋子，如图28-2所示，B点的那枚棋子紧邻A点的棋子．小洪首先拿走B点处的1枚棋子，然后沿顺时针方向每隔1枚拿走2枚棋子，这样连续转了10周，9次越过A．当将要第10次越过A处棋子取走其他棋子时，小洪发现圆周上余下20多枚棋子．若N是14的倍数，请精确算出圆周上现在还有多少枚棋子?

【分析与解】 设圆周上余枚棋子，从第9次越过A处拿走2枚棋子到第10次将要越过A处棋子时，小洪拿了2枚棋子，所以在第9次将要越过A处棋子时，圆周上有3枚棋子． ．
依次类推，在第8次将要越过A处棋子时，圆周上有32枚棋子，…，在第1次将要越过A处棋子时，圆周上有3枚棋子，在第1次将要越过A处棋子之间，小洪拿走了2(3-1)+枚棋子，所以N=2(3-1)+1+3=310-1．
N=310-1=59049-l是14的倍数，N是2和7的公倍数，所以必须是奇数；又N=(7×8435+4) -1=7×8435+4-1，所以4-1必须是7的倍数．
当=21，25，27，29时，4-1不是7的倍数，当=23时，4-1=91=7×13,是7的倍数．
所以．圆周上还有23枚棋子．

12．是否存在一个六位数A，使得A，2A，3A，…，500000A中任意一个数的末尾6个数码不全相同?
【分析与解】 显然A的个位数字不能为偶数，不然500,000A的后6位为000,000；
而A的个位数字也不能为5，不然200，000A的后6位为000，000．
于是A的个位数字只能为1，3，7，9．
对于任何一个六位数A(个位数字为1，3，7，9)，均存在六位数，使得×A≡111,111(mod 1,000,000).
如果存在>500,000,使得×A≡111,111 (mod 1,000,000),那么那个A即为题中所求的值.(说明见评注)
当=999,999,有A=888,889时, A=888,888,111,111,显然满足上面的条件.
所以888,889即为所求的A.
评注：如果存在 >500，000，使得×A≡111，111(mod 1，000，000)，那么那个A即为题中所求的值．
这是因为如果对于上面的A，还存在一个六位数B，使得B×A=111，111(mod 1,000，000)，那么有(×A-B ×A)=0(mod 1，000，000)，即(-B)×A≡0(mod 1，000，000)．因为A不含有质因数2、5，所以(-B)为1，000，000的倍数，-B≥1，000，000，那么>1，000，000，与为六位数矛盾．
也就是说不存在小于等于500，000的t，使得A的后六位为111，111，那么也不可能使得A的后6位相同．
14.已知m，n，k为自然数，m ≥ n ≥k，2+2-2是100的倍数,求m + n - k后的最小值．
【分析与解】 方法一：首先注意到100=22×52．
如果n=k，那么2m是100的倍数，因而是5的倍数，这是不可能的．所以n-k≥1.
被22整除,所以k≥2.
设=m-k，=n-k，则≥，且都是整数．
2a+2b-1被52整除，要求++k=m+n-k的最小值．
不难看出210+21-1=1025，能被25整除，所以++k的最小值小于10+l+2=13．
而且在=10，=1，k=2时，上式等号成立．
还需证明在+≤10时，2a+2b-l不可能被25整除．
有下表

a
9
8
7
6
5
4

1
1,2
1,2,3
1,2,3,4
1,2,3,4,5
1,2,3,4

≤3时，2a+2b-1<8+8=16不能被52整除．其他表中情况，不难逐一检验，均不满足被25整除的要求．
因此+-k即m+n-k的最小值是13．
方法二：注意到有100=2×2×5×5，4∣．
所以k最小为2．
还有25∣，令m-k=x, n-k=y
则有≡l(mod 25)
因为5去除2，22，23，24，25余数分别为2，4，3，1，2；余数是4个一周期.于是，x=4p+2，y=4q+1；
或者是x=4P+3，y=4Q+3．
(1)x=4p+2，y=4q+1时
当x=2，y=1，于是不是100的倍数；
当x=6，y=l，于是不是100的倍数；
当x=10，y=l，于是是 l00的倍数；
(2)x=4P+3，y=4Q+3
当x=3，y=3，于是不是l00的倍数；
当x=7，y=3，于是不是l00的倍数：
其余的将超过(1)种情况，所以，最小为m+n-k=12+3-2=13．