矩阵乘法AB.docx

比如乘法AB
一、1）用A的第1行各个数与B的第1列各个数对应相乘后加起来，就是乘法结果中第1行第1列的数；
2）用A的第1行各个数与B的第2列各个数对应相乘后加起来，就是乘法结果中第1行第2列的数；
3）用A的第1行各个数与B的第3列各个数对应相乘后加起来，就是乘法结果中第1行第3列的数；
依次进行，
（直到）用A的第1行各个数与B的第末列各个数对应相乘后加起来，就是乘法结果中第1行第末列的的数，
二、1）用A的第2行各个数与B的第1列各个数对应相乘后加起来，就是乘法结果中第2行第1列的数；
2）用A的第2行各个数与B的第2列各个数对应相乘后加起来，就是乘法结果中第2行第2列的数；
3）用A的第2行各个数与B的第3列各个数对应相乘后加起来，就是乘法结果中第2行第3列的数；
依次进行，
（直到）用A的第2行各个数与B的第末列各个数对应相乘后加起来，就是乘法结果中第2行第末列的的数，
依次进行，
（直到）用A的第末行各个数与B的第1列各个数对应相乘后加起来，就是乘法结果中第末行第1列的数；
2）用A的第末行各个数与B的第2列各个数对应相乘后加起来，就是乘法结果中第末行第2列的数；
3）用A的第末行各个数与B的第3列各个数对应相乘后加起来，就是乘法结果中第末行第3列的数；
依次进行，
（直到）用A的第末行各个数与B的第末列各个数对应相乘后加起来，就是乘法结果中第末行第末列的的数

首先介绍 “代数余子式” 这个概念：
设 D 是一个n阶行列式，aij （i、j 为下角标）是D中第i行第j列上的元素。在D中 把aij所在的第i行和第j列划去后，剩下的 n-1 阶行列式叫做元素 aij 的“余子式”，记作 Mij。把 Aij = (-1)^(i+j) * Mij 称作元素 aij 的“代数余子式”。 （符号 ^ 表示乘方运算）

其次，介绍伴随矩阵的概念
设 E 是一个n阶矩阵，其矩阵元为 aij。则E的伴随矩阵E'为
A11 A12 …… A1n
A21 A22 …… A2n
……
An1 An2 …… Ann
的转置矩阵。

E'中的矩阵元 Aij 就是上面介绍的 代数余子式。
======================

对于三阶矩阵
a11 a12 a13
a21 a22 a23
a31 a32 a33

首先求出 各代数余子式
A11 = (-1)^2 * (a22 * a33 - a23 * a32) = a22 * a33 - a23 * a32
A12 = (-1)^3 * (a21 * a33 - a23 * a31) = -a21 * a33 + a23 * a31
A13 = (-1)^4 * (a21 * a32 - a22 * a31) = a21 * a32 - a22 * a31
A21 = (-1)^3 * (a12 * a33 - a13 * a32) = -a12 * a33 + a13 * a32
……
A33 = (-1)^6 * (a11 * a22 - a12 * a21) = a11 * a22 - a12 * a21

然后伴随矩阵就是
A11 A12 A13
A21 A22 A23
A31 A32 A33
的转置 矩阵 AT（T为上标）

设R是一个交换环，A是一个以R中元素为系数的 n×n 的矩阵。A的伴随矩阵可按如下步骤定义：
· 定义：A关于第i 行第j 列的余子式（记作Mij）是去掉A的第i行第j列之后得到的(n − 1)×(n − 1)矩阵的行列式。
· 定义：A关于第i 行第j 列的代数余子式是：
。
· 定义：A的余子矩阵是一个n×n的矩阵C，使得其第i 行第j 列的元素是A关于第i 行第j 列的代数余子式。
引入以上的概念后，可以定义：矩阵A的伴随矩阵是A的余子矩阵的转置矩阵：
。
也就是说， A的伴随矩阵是一个n×n的矩阵（记作adj(A)），使得其第i 行第j 列的元素是A关于第j 行第i 列的代数余子式：
。
[编辑] 例子
[编辑] 2x2矩阵
一个矩阵 的伴随矩阵是
.
[编辑] 3x3矩阵
对于的矩阵，情况稍微复杂一点：
.
其伴随矩阵是：

其中
.
要注意伴随矩阵是余子矩阵的转置，第3行第2列的系数应该是A关于第2行第3列的代数余子式。
[编辑] 具体情况
对于数值矩阵，例如求矩阵

的伴随矩阵，只需将数值代入上节得到的表达式中。例如第2行第3列的代数余子式为

因此伴随矩阵中第3行第2列的位置上是-6。
计算后的结果是：
[编辑] 应用
作为拉普拉斯公式的推论，关于n×n 矩阵A的行列式，有：

其中I是n阶的单位矩阵。事实上，A adj(A)的第i行第i列的系数是
。根据拉普拉斯公式，等于A的行列式。
如果i ≠ j，那么A adj(A)的第i行第j列的系数是
。拉普拉斯公式说明这个和等于0（实际上相当于把A的第j行元素换成第i行元素后求行列式。由于有两行相同，行列式为0）。
由这个公式可以推出一个重要结论：交换环R上的矩阵A可逆当且仅当其行列式在环R中可逆。
这是因为如果A可逆，那么

如果det(A)是环中的可逆元那么公式(*)表明

性质
对n×n的矩阵A和B，有：
1.
2.
3.
4.
5.
6. 当n>2时，
7. 如果A可逆，那么
8. 如果A是对称矩阵，那么其伴随矩阵也是对称矩阵；如果A是反对称矩阵，那么当n为偶数时，A的伴随矩阵也是反对称矩阵，n为奇数时则是对称矩阵。
9. 如果A是（半）正定矩阵，那么其伴随矩阵也是（半）正定矩阵。
10. 如果矩阵A和B相似，那么 和 也相似。
11. 如果n>2，那么非零矩阵A是正交矩阵当且仅当
[编辑] 伴随矩阵的秩
当矩阵A可逆时，它的伴随矩阵也可逆，因此两者的秩一样，都是n。当矩阵A不可逆时，A的伴随矩阵的秩通常并不与A相同。当A的秩为n-1 时，其伴随矩阵的秩为1，当A的秩小于n-1 时，其伴随矩阵为零矩阵。
[编辑] 伴随矩阵的特征值
设矩阵A在复域中的特征值为 （即为特征多项式的n个根），则A的伴随矩阵的特征值为。
这里要用到一个结论作为引理：一个n阶矩阵的n个特征值的和等于它的迹数，它们的乘积等于矩阵的行列式。
分3种情况讨论：
· 如果A的秩为n，即是说A可逆，那么由引理有：。只需证明A的伴随矩阵的特征值为。考察矩阵：

由于，因此

因此

可以看到的特征多项式为，因此命题成立。
· 如果A的秩严格小于n-1，即是说A至少有两个特征值为0，于是全部都是0。这时A的伴随矩阵为0，因此特征值也全是0。命题成立。
· 如果A的秩等于n-1，即是说A恰好有一个特征值为0，不妨设其为。由于这时A的伴随矩阵秩为1，它有n-1个特征值为0。设剩余的一个为，则其迹数为。另一方面，A的伴随矩阵的迹数为

这个和恰好等于，即等于（其余都是0）。
综上所述，对任意的矩阵A，命题都成立。
[编辑] 伴随矩阵和特征多项式
设p(t) = det(A − tI)为A的特征多项式，定义，那么：
,
其中是p(t)的各项系数：

伴随矩阵也出现在行列式的导数形式中。
行列式
方块矩阵A的行列式是一个将其映射到标量的函数，记作 det(A) 或 |A|，反应了矩阵自身的一定特性。一个方阵的行列式等于0当且仅当该方阵不可逆。系数是实数的时候，二维（三维）方阵A的行列式的绝对值表示单位面积（体积）的图形经过A对应的线性变换后得到的图形的面积（体积），而它的正负则代表了对应的线性变换是否改变空间的定向：行列式为正说明它保持空间定向，行列式为负则说明它逆转空间定向。
2×2矩阵的行列式是

3×3矩阵的行列式由6项组成。更高维矩阵的行列式则可以使用莱布尼兹公式写出[15]，或使用拉普拉斯展开由低一维的矩阵行列式递推得出[16]。
两个矩阵相乘，乘积的行列式等于它们的行列式的乘积：det(AB) = det(A)·det(B)。将矩阵的一行（列）乘以某个系数加到另一行（列）上不改变矩阵的行列式，将矩阵的两行（列）互换则使得其行列式变号。用这两种操作可以将矩阵变成一个上三角矩阵或下三角矩阵，而后两种矩阵的行列式就是主对角线上元素的乘积，因此能方便地计算。运用行列式可以计算线性方程组的解
矩阵A 的行列式有时也记作 |A|。绝对值和矩阵范数也使用这个记法，有可能和行列式的记法混淆。不过矩阵范数通常以双垂直线来表示（如：），且可以使用下标。此外，矩阵的绝对值是没有定义的。因此，行列式经常使用垂直线记法（例如：克莱姆法则和子式）。例如，一个矩阵：
，
行列式也写作，或明确的写作：
，
即把矩阵的方括号以细长的垂直线取代
对于简单的2阶和3阶的矩阵，行列式的表达式相对简单，而且恰好是每条主对角线（左上至右下）元素乘积之和减去每条副对角线（右上至左下）元素乘积之和（见图中红线和蓝线）。
· 2阶矩阵的行列式：[27]
· 3阶矩阵的行列式：

三阶矩阵的行列式为每条红线上的元素的乘积之和，减去蓝线上元素乘积之和。但对于阶数 的方阵A，这样的主对角线和副对角线分别只有n条，由于
A 的主、副对角线总条数的元素个数 因此，行列式的相加项中除了这样的对角线乘积之外，还有其他更多的项。例如4阶行列式中，项 就不是任何对角线的元素乘积。不过，和2、3阶行列式情况相同的是，n阶行列式中的每一项仍然是从矩阵中选取n个元素相乘得到，且保证在每行和每列中都恰好只选取一个元素，而整个行列式恰好将所有这样的选取方法遍历一次。另外，n×n 矩阵的每一行或每一列也可以看成是一个n元矢量，这时矩阵的行列式也被称为这n个n元矢量组成的矢量组的行列式