资源描述
等差数列
1等差数列的定义:
如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母表示
2等差数列的判定方法:
定义法：对于数列，若(常数)，则数列是等差数列
3等差数列的通项公式:
如果等差数列的首项是，公差是，则等差数列的通项为该公式整理后是关于的一次函数
类型一、等差数列的通项公式
1在等差数列中，若=4，=2，则= （ 0 ）
2在等差数列中，若，则公差 （ 2 ）
3在等差数列中，若，求数列的通项公式
4在等差数列中，若，求数列的首项
5 在数列中，，若，证明数列是等差数列
提示：考查等差数列的通项公式和变形公式，和，上述表达式中，有四个变量，知道三个求第四个，习惯叫知三求一；如果知道首项和公差，一般求表达式。
类型二、等差数列的性质应用
1在等差数列中，若，求 5
2 等差数列中，若，求 1
3各项不为零的等差数列中，，则的值 4
4已知数列的通项公式是，则此数列是（ A ）
A 以7为首项，公差为2的等差数列 B以7为首项，公差为5的等差数列
C 以5为首项，公差为2的等差数列 D 以2为首项，公差为5的等差数列
提示：（1）已知数列是以公差为的等差数列，那么是以公差为的等差数列；是以公差为的等差数列。
（2）在数列中，是以为首项，为公差的等差数列。
（3）对于等差数列中，若，则。
（4）对于等差数列中，若，则，那么数列是和的等差中项。
（5）对于数列中，若，则数列是等差数列。
（6）对于等差数列中，必有。
类型二、等差数列的求和问题
1等差数列的前项和为，已知，则公差（ 3 ）
2已知等差数列的前项和为，若，则的值为（ 2 ）
3 已知等差数列的前项和为，若，则求的值 60
4若两个等差数列和的前项和分别为和，且满足，则
5等差数列的前项和为，若，则 9 .
6 等差数列的前项和为，若，求的最大值 36
7 等差数列的前项和为，若，求的值 -15
提示：（1）设等差数列的前项和为，求和公式：。
（2）等差数列中，即有。
（3）若等差数列的前项的和为，等差数列的前项的和为，则.
（4），形式类似二次函数，利用二次函数的思路求解；
（5）设等差数列的前项和为，，则。
（6）设等差数列的前项和为，也是等差数列。
习题
类型一、等差数列的通项公式和性质
1在等差数列中，若，则 15
2等差数列中，若，求 -1
3等差数列中，若，求数列通项公式
4等差数列中，若，求 1
5等差数列中，若，求 5
6等差数列中，若，求 8
7等差数列中，，，求数列的通项公式；
8在等差数列中，若，，则公差 1
9等差数列中，，则为 （ 60 ）
10在等差数列中，已知，则 20
11已知等差数列中，若，则公差的值为（-1 ）
12两个数1与-5的等差中项是（ -2 ）
13在等差数列中，，若，则等于（ 23 ）
14一个首项为23，公差为整数的等差数列，如果前六项均为正数，第七项起为负数，则它的公差是（ -4 ）
15等差数列中，，则数列的公差为（2 ）
16等差数列{}中，，求{}的通项公式；
17数列的首项为3，为等差数列且，若，则（ -7 ）
18在等差数列中， ，则= -49
19已知数列中，，则=
20在等差数列中，与是方程的两根，则为
21等差数列中，已知为 50
22若成等差数列，则等于________
23三个数成等差数列，和为12，积为48，求这三个数。2,4,6或6，4，2
24若为等差数列，，是方程的两根，则___3_________。
25已知数列中，，又数列{}为等差数列，则________
26数列满足：，= 6012
27在等差数列中，， (,∈N+),则 0
28等差数列{}中，，求 27
29等差数列{}中，，如果，求 18
30等差数列{}中，，求 24
31设等差数列的公差为d，若数列为递减数列，则（ D ）
A． B． C． D．
32设是等差数列. 下列结论中正确的是（ C ）
A． 若，则 B．若，则
C．若，则 D．若，则
33下面是关于公差的等差数列的四个命题，其中的真命题为：
34中位数为1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为____5____
35等差数列中，，则的值为0
36已知方程的四个根组成的一个首项为的等差数列，则
37若是函数的两个不同的零点，且 这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则 的值等于__9_
38已知两个等差数列5，8，11，…和3，7，11，…都有100项，则它们的公共项的个数为（ 25 ）
39一个等差数列中，前四项是，则等于 3
40在和之间插入个实数，使它们与组成等差数列，则此数列的公差为
41首相为-24的等差数列，从第10项起开始为正数，则公差的取值范围
42已知函数，在首项为整数，公差为2的等差数列中，若，求 -2
43等差数列中，，它的前11项的平均值是5，若从中抽取1项，余下10项的平均值是4，则抽取
的是第 项．
44三个实数成等差数列，且，又也成等差数列，求的值 67
类型二、等差数列的求和
1在等差数列中， ,则 其前9项的和等于 （18 ）
2在项数为的等差数列中，前三项之和为12，最后三项之和为132，前项之和为240，则= 10 。
3已知数列中，，（），则数列的前9项和等于 27 .
4等差数列的前项和，若，则( 12 )
5记为等差数列的前项和．若，，则的公差为 4
6设为等差数列的前项和，若,则公差为 -1
7等差数列的前项和为，若，则等于 18
8已知等差数列的前项和为，若，则=（ 18 ）
9已知等差数列的前项和为，若，则=（ 19 ）
10已知等差数列满足，则它的前10项的和=（ 95 ）
11等差数列中，，则= 2
12设公差不为0的等差数列的前项和为，若，则（ 15 ）
13已知是等差数列，是其前项和，若，则的值是 20 。
14已知是公差为1的等差数列，为的前项和，若，则（ ）
15设等差数列的前项和为，且则
16设等差数列的前项和为，若,则= 24 。
17设等差数列的前项和为，，则等于 52
18已知等差数列中，是方程的两根，则=（ 1 ）
19已知等差数列共有10项，其中奇数项之和15，偶数项之和为30，则其公差是 ( 3 )
20在等差数列中,已知,则= 42 .
21等差数列中，前项的和为77（为奇数），其中偶数项的和为33，且，求这个数列的通项公式。
22已知数列中，，若则此数列的第项是 165
23等差数列共有项，所有奇数项之和为132，所有偶数项之和为120，则等于 10
24在项数为的等差数列中，若所有奇数项的和为165，所有偶数项的和为150，则等于 10
25已知等差数列中，前15项之和为，则等于 6
26已知在数列中，，则等于 50
27设数列和都是等差数列，其中，且，则数列的第100项为476
28在等差数列中，公差为，且，则____85_____.
29等差数列的前项和，若，则( 10 ).
30设数列的通项为，则= 178
31已知一等差数列的前四项的和为124，后四项的和为156，又各项和为420，则此等差数列共有（ 12 ）
32设等差数列的前项和为，若，，则（ 45 ）
33已知等差数列的前项和为，若，则 14
34等差数列的公差为，且，则奇数项的和=60
35设是公差为正数的等差数列，若，，则 105
36在等差数列中，公差为，且，，则为 -20.5
37设为等差数列的前项和，若，公差，则（ 8 ）
38设是等差数列的前项和，，则的值为（ ）
39设是等差数列的前项和，，求的值 9
40两等差数列，的前项和分别为和，且，则的值是（ ）
41已知两个等差数列和的前项和分别为和，且，则使得 为整数的正整数的个数是（ 5 ）
42若两个等差数列和的前项和分别为和，且满足，则的值为（ ）
43若两个等差数列和的前项和分别为和，且满足，则的值为（ ）
44两等差数列，的前项和分别为和，且，则的值为
45设等差数列的前项和为，且,若，则 3 。
46等差数列的前项和为，已知，,则10
47在各项均不为零的等差数列中，若，则（ ）
48已知等差数列的前项和为，且，则= -110 。
49已知等差数列的前项和，前30项的和为50，前50项的和为30，求前80项的和 -80
50等差数列的前项和为30，前项和为100，则前项和为 210
51设是等差数列的前项和，若，则 ( )
52等差数列中, 若，则＝________；225
53等差数列的前项和为30，前项和为100，则它的前项和为( 210 )
54递增等差数列中，若，则取最小值时等于（ 4 ）
55已知等差数列的前项和为，公差，且，那么等于 100
56已知公差不为0的等差数列的前项和为，，则的值是
57 已知的通项公式，其前项和为，则数列的前11项和为-66
58已知由正数组成的等差数列的前项和为，首项，且满足，则数列的通项公式
59若100个连续整数的和为，且，则此连续整数中最小的整数为 85
60 在递增的等差数列中，，已知，求数列的通项公式
61 已知等差数列的前项和为，已知，则数列的前项和为
62在等差数列中，则的前项和中最大的是
63设为等差数列的前项和，若，则使成立的最小正整数为（ ）
64等差数列中，，公差为，前项和为，当且仅当时取最大值，则的取值范围_.
65若等差数列满足，，则当___8____时的前项和最大。
66在等差数列中，，其前项和为，若，则S2014的值等于（ -2014 ）
67等差数列的前n项和为，已知，为整数，且，求的通项公式；
68等差数列的前项和为，，则＝ ( 5 )
69已知等差数列{}中，求{}前项和 或
70设等差数列的前项和为，若，则的最大值为____4_______
71已知等差数列的公差为d，前项和为，则“d>0”是“”的 C
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
72设等差数列的前项和为
（1）若，求；100
（2）若，，求的值；9
（3）若已知首项，且，问此数列和最大值为49
73等差数列的前项和为，如果，
（1）求此数列的通项公式； （2）若，求的值。18
类型三、等差数列的综合问题
1设函数，是公差为的等差数列，，则
2设函数，是公差不为0的等差数列，，则（ 21 ）
3等差数列的前项和为，已知，，则的最小值为 -49 。
4已知等差数列满足，．
（I）求的通项公式；（II）设等比数列满足，，问：与数列的第几项相等？
【答案】:（I）；（II）与数列的第项相等.
5已知等差数列的公差，设的前项和为，，
（I）求及；或，（II）求（）的值，使得，
6已知数列{}的前n项和为，且满足
（1）求证：{}是等差数列；
（2）求的表达式。
7已知为等差数列，且，。
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）若等差数列满足，，求的前项和公式
8在等差数列中，，其前项和为。
（1）求的最小值，并求出取最小值时的值；当为20货21时，有最小值-630
（2）求。
9在数列中，，通项公式是项数的一次函数.
(1)求数列的通项公式；
(2)88是否是数列中的项。不是
10已知是等差数列，是等差数列，且，
（Ⅰ）求的通项公式；
（Ⅱ）设，求数列的前项和.
11数列的首项,通项与前项和之间满足
(1) 求证:是等差数列，并求公差。
(2)求数列的通项公式;
12在等差数列中，前项和记为，已知（1）求通项；（2）若，求 11
13在等差数列中，
（1），求取最大值时，的值； 6或7（2），求的最大值。64
14已知数列满足，其中是不为零的常数，令
（1） 求证：数列是等差数列 （2）求数列的通项公式
15已知数列，且。
（Ⅰ）求证：是等差数列
（Ⅱ）设，求数列的前项和的最小值 -225
16已知数列，且，，当为什么值时？使得数列成等差数列。2
17已知等差数列{}的前项和为，，设，求数列的前项和
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