苏州数学一模.doc

2015届高三模拟考试试卷(三)
数　　学
(满分160分，考试时间120分钟)
2015．2
一、 填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分．
1. 已知集合A＝{x|－2＜x＜2}，B＝{x|x≤1}，则A∩B＝______________．
2. 已知＝a＋bi(a，b∈R，i为虚数单位)，则a＋b＝____________．
3. 已知函数f(x)＝sin的最小正周期为，则正数k的值为________．
4. 某课题组进行城市空气质量监测，按地域把24个城市分成甲、乙、丙三组，对应城市数分别为4，12，8.若用分层抽样抽取6个城市，则乙组中应抽取的城市数为__________．
5. 已知等差数列{an}中，a4＋a6＝10，前5项和S5＝5，则其公差为________．

(第6题)
6. 运行如图所示的流程图，如果输入a＝1，b＝2，则输出的a的值为__________．
7. 以抛物线y2＝4x的焦点为顶点，顶点为中心，离心率为2的双曲线的标准方程为____________．
8. 设x∈{－1，1}，y∈{－2，0，2}，则以(x，y)为坐标的点落在不等式x＋2y≥1所表示的平面区域内的概率为____________．
9. 已知函数f(x)＝lg的定义域是，则实数a的值为____________．
10. 已知一个圆锥的母线长为2，侧面展开图是半圆面，则该圆锥的体积为__________．

(第11题)
11. 如图，在△ABC中，已知AB＝4，AC＝6，∠BAC＝60°，点D，E分别在边AB，AC上，且＝2，＝3，点F为DE的中点，则·的值为__________．
12. 已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－2x恰有三个不同的零点，则实数m的取值范围是____________．
13. 已知圆M：(x－1)2＋(y－1)2＝4，直线l：x＋y－6＝0，A为直线l上一点．若圆M上存在两点B，C，使得∠BAC＝60°，则点A横坐标的取值范围是__________．
14. 已知a，b为正实数，且a＋b＝1，则＋的最小值为____________．
二、 解答题：本大题共6小题，共90分. 解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
15. (本小题满分14分)
已知向量a＝(sinθ，2)，b＝(cosθ，1)，且a∥b，其中θ∈.
(1) 求tan的值；
(2) 若5cos(θ－φ)＝3cosφ，0＜φ＜，求φ的值．

16、(本小题满分14分)
如图，在正方体ABCDA1B1C1D1中，E、F分别是AD和DD1的中点．求证：
(1) EF∥平面C1BD；
(2) A1C⊥平面C1BD.

17. (本小题满分14分)
如图，某生态园将一三角形地块ABC的一角APQ开辟为水果园，种植桃树，已知角A为120°，AB，AC的长度均大于200米．现在边界AP，AQ处建围墙，在PQ处围竹篱笆．
(1) 若围墙AP，AQ总长为200米，如何围可使三角形地块APQ的面积最大？
(2) 已知AP段围墙高1米，AQ段围墙高1.5米，造价均为每平方米100元．若围围墙用了20 000元，问如何围可使竹篱笆用料最省？

18. (本小题满分16分)
如图，已知椭圆C：＋＝1，点B是其下顶点，过点B的直线交椭圆C于另外一点A(点A在x轴下方)，且线段AB的中点E在直线y＝x上．
(1) 求直线AB的方程；
(2) 若点P为椭圆C上异于A，B的动点，且直线AP，BP分别交直线y＝x于点M，N，证明：OM·ON为定值．

19. (本小题满分16分)
已知函数f(x)＝ex－a(x－1)，其中a∈R，e是自然对数的底数．
(1) 当a＝－1时，求函数f(x)在点(1，f(1))处的切线方程；
(2) 讨论函数f(x)的单调性，并写出相应的单调区间；
(3) 已知b∈R，若函数f(x)≥b对任意x∈R都成立，求ab的最大值．
20. (本小题满分16分)
已知数列{an}中，a1＝1，an＋1＝
(1) 是否存在实数λ，使数列{a2n－λ}是等比数列？若存在，求出λ的值；若不存在，请说明理由；
(2) 若Sn是数列{an}的前n项的和，求满足Sn＞0的所有正整数n.

2015届高三模拟考试试卷(三)
数学附加题(满分40分，考试时间30分钟)
21. 【选做题】 在A、B、C、D四小题中只能选做2题，每小题10分，共20分．若多做，则按作答的前两题计分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
A. (选修41：几何证明选讲)
如图，过圆O外一点P作圆O的切线PA，切点为A，连结OP与圆O交于点C，过C作AP的垂线，垂足为D.若PA＝12 cm，PC＝6 cm，求CD的长．

B. (选修42：矩阵与变换)
已知矩阵A＝，向量β＝.求向量α，使得A2α＝β.

C. (选修44：坐标系与参数方程)
在极坐标系中，已知圆ρ＝3cosθ与直线2ρcosθ＋4ρsinθ＋a＝0相切，求实数a的值．
D. (选修45：不等式选讲)
设实数x，y，z满足x＋2y＋3z＝6，求x2＋y2＋z2的最小值，并求此时x，y，z的值．

【必做题】 第22、23题，每小题10分，共20分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
22. 如图，已知正方形ABCD和矩形ACEF所在的平面互相垂直，AB＝，AF＝1.
(1) 求二面角ADFB的大小；
(2) 试在线段AC上确定一点P，使PF与BC所成的角为60°.

23、某公司有10万元资金用于投资，如果投资甲项目，根据市场分析知道：一年后可能获利10%，可能损失10%，可能不赔不赚，这三种情况发生的概率分别为，，；如果投资乙项目，一年后可能获利20%，也可能损失20%，这两种情况发生的概率分别为α和β(α＋β＝1)．
(1) 如果把10万元投资甲项目，用X表示投资收益(收益＝回收资金－投资资金)，求X的概率分布列及数学期望E(X)；
(2) 若10万元资金投资乙项目的平均收益不低于投资甲项目的平均收益，求α的取值范围．
2015届高三模拟考试试卷(三)(苏州)
数学参考答案及评分标准

1. (－2，1]　2. 1　3. 6　4. 3　5. 2　6. 9　7. x2－＝1　8. 　9. 　10. π　11. 4
12. (1，2]　13. [1，5]　14.
15. 解：(1) ∵ a∥b，∴ sinθ－2cosθ＝0，即tanθ＝2.(4分)
∴ tan＝＝＝－3.(7分)
(2) 由(1)知tanθ＝2，又θ∈，∴ sinθ＝，cosθ＝，(9分)
∴ 5cos(θ－φ)＝3cosφ，
∴ 5(cosθcosφ＋sinθsinφ)＝3cosφ，即cosφ＋2sinφ＝3cosφ，
∴ cosφ＝sinφ，即tanφ＝1.(12分)
又0＜φ＜，∴ φ＝.(14分)
16. 证明：(1) 连结AD1，
∵ E，F分别是AD和DD1的中点，∴ EF∥AD1.(2分)
在正方体ABCDA1B1C1D1中，AB∥D1C1，AB＝D1C1，
∴ 四边形ABC1D1为平行四边形，即有AD1∥BC1，(4分)
∴ EF∥BC1.

又EF平面C1BD，BC1平面C1BD，
∴ EF∥平面C1BD.(7分)
(2) 连结AC，则AC⊥BD.
在正方体ABCDA1B1C1D1中，AA1⊥平面ABCD，
∴ AA1⊥BD.
又AA1∩AC＝A，∴ BD⊥平面AA1C，
∴ A1C⊥BD.(11分)
同理可证A1C⊥BC1.
又BD∩BC1＝B，∴ A1C⊥平面C1BD.(14分)
17. 解：设AP＝x米，AQ＝y米．
(1) x＋y＝200，△APQ的面积S＝xysin120°＝xy.(3分)
∴ S≤＝2 500.当且仅当x＝y＝100时取“＝”．(6分)
(注：不写“＝”成立条件扣1分)
(2) 由题意得100×(1·x＋1.5·y)＝20 000，即x＋1.5y＝200.(8分)
要使竹篱笆用料最省，只需其长度PQ最短，所以
PQ2＝x2＋y2－2xycos120°＝x2＋y2＋xy＝(200－1.5y)2＋y2＋(200－1.5y)y
＝1.75y2－400y＋40 000.(11分)
当y＝时，PQ有最小值，此时x＝.(13分)
答：(1) 当AP＝AQ＝100米时，三角形地块APQ的面积最大为2 500平方米；
(2) 当AP＝米，AQ＝米时，可使竹篱笆用料最省．(14分)
18. (1) 解：设点E(m，m)，由B(0，－2)得A(2m，2m＋2)．
代入椭圆方程得＋＝1，即＋(m＋1)2＝1，
解得m＝－或m＝0(舍)．(3分)
所以A(－3，－1)，
故直线AB的方程为x＋3y＋6＝0.(6分)
(2) 证明：设P(x0，y0)，则＋＝1，即y＝4－.
设M(xM，yM)，由A，P，M三点共线，即∥，
∴ (x0＋3)(yM＋1)＝(y0＋1)(xM＋3)．
又点M在直线y＝x上，解得M点的横坐标xM＝.(9分)
设N(xN，yN)，由B，P，N三点共线，即∥，
∴ x0(yN＋2)＝(y0＋2)xN，
点N在直线y＝x上，解得N点的横坐标xN＝.(12分)
∴ OM·ON＝|xM－0|·|xN－0|＝2|xM|·|xN|＝2||·||
＝2||＝2||＝2||＝6.(16分)
19. 解：(1) 当a＝－1时，f′(x)＝ex＋1，f′(1)＝e＋1，f(1)＝e，(2分)
∴ 函数f(x)在点(1，f(1))处的切线方程为y－e＝(e＋1)(x－1)，
即y＝(e＋1)x－1.(4分)
(2) ∵ f′(x)＝ex－a，
① 当a≤0时，f′(x)＞0，函数f(x)在R上单调递增；(6分)
② 当a＞0时，由f′(x)＝ex－a＝0得x＝lna，
∴ x∈(－∞，lna)时，f′(x)＜0，f(x)单调递减；x∈(lna，＋∞)时，f′(x)＞0，f(x)单调递增．
综上，当a≤0时，函数f(x)的单调递增区间为(－∞，＋∞)；当a＞0时，函数f(x)的单调递增区间为(lna，＋∞)，单调递减区间为(－∞，lna)．(9分)
(3) 由(2)知，当a＜0时，函数f(x)在R上单调递增，∴ f(x)≥b不可能恒成立；(10分)
当a＝0时，b≤0，此时ab＝0；(11分)
当a＞0时，由函数f(x)≥b对任意x∈R都成立，得b≤fmin(x)．
∵ fmin(x)＝f(lna)＝2a－alna，∴ b≤2a－alna，(13分)
∴ ab≤2a2－a2lna.
设g(a)＝2a2－a2lna(a＞0)，∴ g′(a)＝4a－(2alna＋a)＝3a－2alna.
由于a＞0，令g′(a)＝0，得lna＝，a＝e，
当a∈时，g′(a)＞0，g(a)单调递增；当a∈时，g′(a)＞0，g(a)单调递减．
∴ gmax(a)＝，即ab的最大值为，此时a＝e，b＝e.(16分)
20. 解：(1) 设bn＝a2n－λ，
因为＝＝
＝＝.(2分)
若数列{a2n－λ}是等比数列，则必须有＝q(常数)，
即a2n＋(q－1)λ＋1＝0，即(5分)
此时b1＝a2－＝a1＋1－＝－≠0，
所以存在实数λ＝，使数列{a2n－λ}是等比数列．(6分)
(注：利用前几项，求出λ的值，并证明不扣分)
(2) 由(1)得{bn}是以－为首项，为公比的等比数列，
故bn＝a2n－＝－·＝－·，即a2n＝－·＋.(8分)
由a2n＝a2n－1＋(2n－1)，得a2n－1＝3a2n－3(2n－1)＝－·－6n＋，(10分)
所以a2n－1＋a2n＝－·－6n＋9＝－2·－6n＋9，
S2n＝(a1＋a2)＋(a3＋a4)＋…＋(a2n－1＋a2n)
＝－2[＋＋…＋]－6(1＋2＋…＋n)＋9n
＝－2·－6·＋9n＝－1－3n2＋6n＝－3(n－1)2＋2，(12分)
显然当n∈N*时，{S2n}单调递减．
又当n＝1时，S2＝＞0，当n＝2时，S4＝－＜0，所以当n≥2时，S2n＜0；
S2n－1＝S2n－a2n＝·－－3n2＋6n，
同理，当且仅当n＝1时，S2n－1＞0.
综上，满足Sn＞0的所有正整数n为1和2.(16分)
2015届高三模拟考试试卷(三)(苏州)
数学附加题参考答案及评分标准

21. A. 解：设圆O半径为r，由切割线定理得AP2＝PC·(PC＋2r)，
即122＝6×(6＋2r)，解得r＝9.(4分)
连结OA，则有OA⊥AP，
又CD⊥AP，所以OA∥CD.(7分)
所以＝，即CD＝＝ cm.(10分)
B. 解：设α＝，由A2α＝β得＝，(5分)
∴ ∴ ∴ α＝.(10分)
C. 解：ρ2＝3ρcosθ，圆ρ＝3cosθ的普通方程为x2＋y2＝3x，即＋y2＝.(3分)
直线2ρcosθ＋4ρsinθ＋a＝0的普通方程为2x＋4y＋a＝0.(6分)
又圆与直线相切，所以＝，解得a＝－3±3.(10分)
D. 解：∵ (x2＋y2＋z2)(12＋22＋32)≥(x＋2y＋3z)2＝36，(4分)
∴ (x2＋y2＋z2)≥，当且仅当x＝＝时取等号．(7分)
∵ x＋2y＋3z＝6，∴ x＝，y＝，z＝.
∴ x2＋y2＋z2的最小值为，此时x＝，y＝，z＝.(10分)

22. 解：(1) 如图，以，，为正交基底建立空间直角坐标系，则E(0，0，1)，D(，0，0)，B(0，，0)，F(，，1)．(2分)
平面ADF的法向量t＝(1，0，0)，＝(，－，0)，＝(，0，1)．
设平面DFB的法向量n＝(a，b，c)，则n·＝0，n·＝0，
∴ 令a＝1，得b＝1，c＝－，∴ n＝(1，1，－)．(4分)
从而cos〈n，t〉＝＝，显然二面角ADFB为锐角，
故二面角ADFB的大小为60°.(6分)
(2) 由题意，设P(a，a，0)(0≤a≤)，则＝(－a，－a，1)，＝(0，，0)．
∵ PF与BC所成的角为60°，
∴ cos60°＝||＝，解得a＝或a＝(舍)，
∴ 点P在线段AC的中点处．(10分)
23. 解：(1) 依题意，X的可能取值为1，0，－1，(2分)
X的分布列为

X
1
0
－1
P

(4分)
E(X)＝1×－1×＝.(5分)
(2) 设Y表示10万元投资乙项目的收益，则Y的分布列为

Y
2
－2
P
α
β
(8分)
E(Y)＝2α－2β＝4α－2，依题意要求4α－2≥，∴ ≤α≤1.(10分)