均匀电场中圆柱导体外部电场分布的数值模拟.doc

关于均匀电场中圆柱导体外部电场分布的数值模拟
何露露
（玉溪师范学院理学院 11 级物理学2班 云南 玉溪 653100）
指导老师：卢方武
摘要：在均匀电场中，圆柱导体外部电场分布问题是数学物理方程中一类重要的问题，论文中通过建立理论分析讨论圆柱导体外部电场的分布，然后通过数值计算的方法，得到圆柱导体外部电场的分布情况，加以对圆柱导体外部电场问题有更深厚的了解及其理论认识。
关键词：圆柱导体；电场；数值模拟

1.引言
对于同一个物理现实问题用不同的方法求解就会得到不一样的结果，正如同样是偏微分方程，在物理意义中，解法上也有巨大的差异，而这些迥异究竟是对问题的本身了解不足还是其中拥有尚未被人了解的意义呢？本文我将要对一个现实中的问题——均匀电场中圆柱导体外部电场分布的数值模拟展开[1]。
我们在研究某个物理量怎样随时间的变化而变化时，这往往导致以时间为自变量的常微分方程。但是在科学技术和生产实际中并不这么简单，通常还要求研究空间连续分布的各种物理场的状态和物理过程，总之，是研究某个物理量在空间某个区域中的分布情况，以及它又是怎样随着时间的变化而变化的，这些问题中的自变量就不仅仅是时间，而且还要引入空间坐标。虽然问题解决起来甚是麻烦，但得到的结果更贴近现实，可信度更高，这就显现科学研究的价值！对于解决这些问题，首先必须掌握所研究的物理量在空间中的分布规律和时间中的变化规律，也是解决问题的依据[1]。
论文我们将从以下步骤进行，首先有关解决实际问题的条件引入；其次对具体问题进行理论分析，包括实际问题的边界条件，数学物理方程及其求解；第三部分通过数值方法对其电场分布进行讨论，最后对结果进行分析和讨论。

2.条件引入
带电的云跟大地之间的静电场近似是匀强静电场，其电场强度是竖直的。水平架设的输电线处在这个静电场之中（图1-1）。输电线是导体圆柱。柱面由于静电感应出现感应电荷，圆柱临近的静电场也就不再是匀强的了。不过，离圆柱“无限远”处的静电场仍保持为匀强的[2]。
首先需要把这个物理问题表为定解问题。取圆柱的轴为轴，如果圆柱“无限长”，那么，这个静电场的电场强度、电势显然与无关。我们只需在平面上加以研究就行。图1-1画的是平面上的静电场，圆柱面在平面的剖口是圆
，其中是圆柱的半径[2]。
柱外的空间中没有电荷，所以电势满足二维的拉普拉斯方程 （在柱外）[2]
导体中的电荷既然不再移动，这说明导体中各处电势相同。又因为电势只具有相对的意义，不妨把电势的零点取在导体上，从而写出边界条件[2]
图1-1

按照分离变数法，以 代入拉普拉斯方程固然不难分解为两个常微分方程，但代入上述边界条件却只能得到 ，不能分解为或的边界条件。事实上，既然边界是圆，直角坐标系显然不合适，必须采用平面极坐标系。
利用平面极坐标系，空间中元电荷就为 （1）
即 “柱外空间中的电势满足拉普拉斯方程”就表示为
， （2）
式中是极径，是极角。“导体电势为零”就表为齐次的边界条件
（3）
在非齐次边界条件时，有 （4）
那么，按照分离变数法可得出试探解 （5）
在求解试探解时，存在着一个隐含条件，事实上，一个确定地点的极角可以加减
的整倍数，而电势在确定的地点应具确定数值，
所以 （6）
在“无限远”处的静电场仍保持为匀强的。由于选取了轴平行于，所以在无限远处， ，即，亦即
（7）
3.模型建立与求解：
对于圆柱导体外部电场分布，用平面极坐标可得出拉普拉斯方程（2）式和边界条件（3）、（7）得
（二维）

通过求解得解析解如下：
现由（5）式利用（2）式拉普拉斯方程得
（8）
进一步求解，并引入常数，则有 （9）
这就分解为两个常微分方程 （10）
（11）
由于隐含条件的存在，则有
（12）
（13）
这叫做自然的周期条件。
现由常微分方程（10）和条件（13）

共同构成本征值问题。
同样取为实数，可求得

（14）

， （15）

（16）
，

即 （17）
，可得

（18）

现有乘上式相加得：
(19)

， （20）
总之，本征值和本征函数为

（21）
由常微分方程（11），当时，可得出 （22）
令 , 得到解 (23)
将本征值代入常微分方程（11），得出
（24）
分离变数形式的本征解是

+ （25）
拉普拉斯方程是线性的，它的一般解应是所有本征解的叠加，即
(26) 现把（26）代入边界条件，先代入齐次边界条件（3），
（27）
所以

(28)

将（28）式代入（26）式，得
（29）
（30）

(31)

所以 (32)
即在均匀电场中，圆柱导体外部电场分布为
极径方向上： (33)
极角方向上： (34)
4.数值分析
5.结果与讨论

致谢：
本论文在写作过程中得到卢方武老师的关心、指导和帮助；诚挚地感谢他在忙碌的教学工作中挤出时间来审查、修改我的论文，并且他教会我做事要严谨细致、一丝不苟。再次表示衷心的谢意！

参考文献：
[1]梁昆淼.数学物理方法.北京高等教育出版社.1998.第三版.
[2] 数学物理方法/梁昆淼编.—4版.—北京：高等教育出版社. 2012.1. 普通高等教育“十一五”国家级规定教材.