圆全章知识复习.doc

第二十四章《圆》小结
（一）圆的基本性质
1、圆的对称性
①圆是轴对称图形，任何一条直径所在的直线都是它的对称轴。
*②圆是中心对称图形，圆心是对称中心。
2、圆的弦、弧、直径的关系
①垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的两条弧。
②平分弦（不是直径）的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧。
3、弧、弦、圆心角的关系
归纳：在同圆或等圆中，两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余各组量也相等。
4、圆周角的性质
①定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。
②在同圆或等圆中，如果两个圆周角相等，它们所对的弧一定相等。
③推论：半圆（或直径）所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径。
（二）与圆有关的位置关系
1、点与圆的位置关系
设⊙O的半径为r，OP=d则： 点P在圆内d<r； 点P在圆上d=r； 点P在圆外d>r.
2、直线与圆的位置关系
设⊙O的半径为r，圆心O到l的距离为d则：
直线l与⊙O相交 d<r 直线和圆有两个公共点；
直线l与⊙O相切 d=r 直线和圆只有一个公共点；
直线l与⊙O相离 d>r 直线和圆没有公共点。
3、圆与圆的位置关系
①设⊙O1的半径为r1，⊙O2半径为r2，圆心距为d，则：两圆外离 d＞r2＋r1；
两圆外切 d＝r2＋r1； 两圆相交 r2－r1＜d＜r2＋r1（r2≥r1）；
两圆内切 d＝r2－r1（r2＞r1）； 两圆内含 0≤d＜r2－r1（r2＞r1）。
（三）圆的切线
1、定义：和圆只有一个公共点的直线是圆的切线。
2、性质：
①圆的切线到圆心的距离等于半径。 ②定理：圆的切线垂直于过切点的半径。
③切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，这一点和圆心的连线平分两条切线的夹角。
3、判定：
①利用切线的定义。 ②到圆心的距离等于半径的直线是圆的切线。
③定理：经过半径的外端并且和这条半径垂直的直线是圆的切线。
（四）圆与三角形
1、三角形的外接圆
（1）定义：经过三角形的三个顶点的圆叫做三角形的外接圆。
（2）三角形外心的性质：①是三角形三条边垂直平分线的交点；②到三角形各顶点距离相等；③外心的位置：锐角三角形外心在三角形内，直角三角形的外心恰好是斜边的中点，钝角三角形外心在三角形外面。
2、三角形的内切圆
（1）定义：与三角形各边都相切的圆叫做三角形的内切圆。
（2）三角形内心的性质：①是三角形角平分线的交点；②到三角形各边的距离相等；③都在三角形内。
（五）圆与四边形
1、由圆周角定理可以得到：圆内接四边形对角互补。
*2、由切线长定理可以得到：圆的外切四边形两组对边的和相等。
（六）圆与正多边形
1、正多边形的定义：各边相等，各角也相等的多边形叫做正多边形，其外接圆的圆心叫做这个正多边形的中心。
2、正多边形的有关计算（11个量）
边数n，内角和，每个内角度数，外角和，每个外角度数，中心角αn，边长an，半径Rn，边心距rn，周长ln，面积Sn (Sn=1/2lnrn)
（七）弧长、扇形的面积、圆锥的侧面积和全面积公式
＝ (其中l为弧长) (其中l为母线长)
（八）直角三角形的一个判定
如果三角形一条边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三角形。

基础知识反馈卡·24.1.1

1．过圆内的一点(非圆心)有________条弦，有________条直径．
2．如图，OE，OF分别为⊙O的弦AB，CD的弦心距，
如果OE＝OF，那么______(只需写一个正确的结论)．
3．如图J24­1­4，已知AB是⊙O的直径，AC为弦，OD∥BC，交AC于点D，OD＝5 cm，求BC的长．

基础知识反馈卡·24.1.2

1．如图1，CD⊥AB于点E，若∠B＝60°，则∠A＝________.
2．如图2，D，E分别是⊙O的半径OA，OB上的点，CD⊥OA，
CE⊥OB，CD＝CE，则与的弧长的大小关系是______________．
3．如图，已知AB＝AC，∠APC＝60°.
(1)求证：△ABC是等边三角形； 图1 图2
(2)求∠APB的度数．

基础知识反馈卡·24.2.1

1．锐角三角形的外心在________；直角三角形的外心在________；钝角三角形的外心在________．
2．在Rt△ABC中，∠C＝90°，AC＝5 cm，BC＝12 cm，则Rt△ABC其外接圆半径为________cm.
3．通过文明城市的评选，人们增强了卫生意识，大街随地乱扔生活垃圾的人少了，人们自觉地将生活垃圾倒入垃圾桶中，如图所示，A，B，C为市内的三个住宅小区，环保公司要建一垃圾回收站，为方便起见，要使得回收站建在三个小区都相等的某处，请问如果你是工程师，你将如何选址．

基础知识反馈卡·24.2.2

1．已知⊙O的直径为10 cm，圆心O到直线l的距离分别是：①3 cm；②5 cm；③7 cm.那么直线l和⊙O的位置关系是：①________；②________；③________.
2．如图J24­2­4，AB是⊙O的直径，点D在AB的延长线上，
过点D作⊙O的切线，切点为C，若∠A＝25°，则∠D＝________.
3．如图J24­2­5，⊙O是△ABC的内切圆，与AB，BC，CA分别切
于点D，E，F，∠DOE＝120°，∠EOF＝110°，则∠A＝______，
∠B＝______，∠C＝______.
4．如图所示，EB，EC是⊙O的两条切线，B，C是切点，A，D是⊙O上两点，如果∠E＝46°，∠DCF＝32°，求∠A的度数．

基础知识反馈卡·24.3

1．正12边形的每个中心角等于________．
2．正六边形的边长为10 cm，它的边心距等于________cm.
3．从一个半径为10 cm的圆形纸片上裁出一个最大的正方形，则此正方形的边长为________ cm.
4．如图J24­3­2，要把一个边长为a的正三角形剪成一个最大的正六边形，要剪去怎样的三个三角形？剪成的正六边形的边长是多少？它的面积与原来三角形面积的比是多少？

基础知识反馈卡·24.4.1

1．如图，已知正方形ABCD的边长为12 cm，E为
CD边上一点，DE＝5 cm.以点A为中心，将△ADE按顺时
针方向旋转得△ABF，则点E所经过的路径长为________cm.
2．如图，在两个同心圆中，两圆半径分别为2,1，
∠AOB＝120°，则阴影部分面积是____________．
3．如图，在正方形ABCD中，CD边的长为1，点E为AD的中点，以E为圆心、1为半径作圆，分别交AB，CD于M，N两点，与BC切于点P，求图中阴影部分的面积．

基础知识反馈卡·24.4.2

1．如图，小刚制作了一个高12 cm，底面直径为10 cm的圆锥，
这个圆锥的侧面积是________cm2.
2．如图，Rt△ABC分别绕直角边AB，BC旋转一周，旋转后得
到的两个圆锥的母线长分别为____________．
3．圆锥母线为8 cm，底面半径为5 cm，则其侧面展开图的圆心角大小为______．
4．一个圆锥的高为3 cm，侧面展开图为半圆，求：
(1)圆锥的母线与底面半径之比；
(2)圆锥的全面积．