信息论与编码(第二版)习题答案,陈运,主编.doc

信息论与编码(第二版)习题答案,陈运,主编

篇一：信息论与编码复习材料重点 陈运 第二版

2.3 居住某地区的女小孩有25%是大学生，在女大学生中有75%是身高160厘米以上的，而女小孩中身高160厘米以上的占总数的一半。假设我们得知“身高160厘米以上的某女孩是大学生”的音讯，征询获得多少信息量？

解：

设随机变量X代表女小孩学历

X P(X)

x1（是大学生）

x2（不是大学生）

设随机变量Y代表女小孩身高

Y P(Y)

y1（身高160cm）

y2（身高lt;160cm）

已经明白：在女大学生中有75%是身高160厘米以上的 即：p(y1/x1)?0.75 bit

求：身高160厘米以上的某女孩是大学生的信息量 即：I(x1/y1)??logp(x1/y1)??log

p(x1)p(y1/x1)

p(y1)

??log

?1.415 bit

2.4 设离散无经历信源?

??x1?0???

?P(X)??3/8?

X

x2?1x3?21/4

1/4

x4?3?

?，其发出的信息1/8?

(2) 此音讯中平均每符号携带的信息量是多少？

解：

(1) 此音讯总共有14个0、13个1、12个2、6个3，因而此音讯发出的概率是： ?3?p???

?8?

14

?1?????4?

25

?1???? ?8?

6

此音讯的信息量是：I??logp?87.811 bit

2.5 从大量统计材料明白，男性中红绿色盲的发病率为7%，女性发病率为0.5%，假设你征询一位男士：“你是否是色盲？”他的答复可能是“是”，可能是“否”，征询这两个答复中各含多少信息量，平均每个答复中含有多少信息量？假设征询一位女士，那么中含有的平均自信息量是多少？

解： 男士：

p(xY)?7%

I(xY)??logp(xY)??log0.07?3.837 bitp(xN)?93%

I(xN)??logp(xN)??log0.93?0.105 bit

2

H(X)???p(xi)logp(xi)??(0.07log0.07?0.93log0.93)?0.366 bit/symbol

i

女士：

2

H(X)???p(xi)logp(xi)??(0.005log0.005?0.995log0.995)?0.045 bit/symbol

i

2.7 同时掷出两个正常的骰子，也确实是各面呈现的概率都为1/6，求： (1) “3和5同时出现”这事件的自信息； (2) “两个1同时出现”这事件的自信息；

(3) 两个点数的各种组合（无序）对的熵和平均信息量； (4) 两个点数之和（即2, 3, ? , 12构成的子集）的熵； (5) 两个点数中至少有一个是1的自信息量。

解： (1)

p(xi)?

16?16?16?16?118

118

?4.170 bit

I(xi)??logp(xi)??log

(2)

p(xi)?

16?16?136

136

?5.170 bit

I(xi)??logp(xi)??log

(3)

两个点数的陈列如下： 11 12 13 14 21 31 41 51 61

22 32 42 52 62

23 33 43 53 63

24 34 44 54 64

15 25 35 45 55 65

16 26 36 46 56 66

共有21种组合：

其中11，22，33，44，55，66的概率是

16?16?136

其他15个组合的概率是2?

16

?

16

?

118

1111??

H(X)???p(xi)logp(xi)???6?log?15?log??4.337 bit/symbol

36361818??i

(4)

参考上面的两个点数的陈列，能够得出两个点数求和的概率分布如下：

?X?

?P(X

2??????1)??

?36

i

3118

4112

519

6536

716

8536

91011912

1111812??1?36??

H(X)???p(xi)logp(xi)

???2?log?2?log?2?log?2?log?2?log?log?

(5)

p(xi)?

16?16?11?

1136

1136

?1.710 bit

I(xi)??logp(xi)??log

2.10 对某城市进展交通忙闲的调查，并把天气分成晴雨两种状态，气温分成冷

暖两个状态，调查结果得结合出现的相对频度如下：

冷 12

晴

晴

冷 8

暖 8

忙

冷 27

雨

雨

闲

暖 15

冷 5

暖 16

暖 12

假设把这些频度看作概率测度，求： (1) 忙闲的无条件熵；

(2) 天气状态和气温状态已经明白时忙闲的条件熵；

(3) 从天气状态和气温状态获得的关于忙闲的信息。

解：

(1)

按照忙闲的频率，得到忙闲的概率分布如下：

?X?

?P(X

?x忙??1???63)??

?103

2

x2闲?

?40?103??

634040??63

H(X)???p(xi)logp(xi)???log?log??0.964 bit/symbol

i

设忙闲为随机变量X，天气状态为随机变量Y，气温状态为随机变量Z H(XYZ)???

??

p(xiyjzk)logp(xiyjzk)

i

j

k

????12

103 ?

81515103

log

8103

?103

log

103

?5103

log

512103

?103

log

12?

103??

?2.836 bit/symbol

H(YZ)???

?

p(yjzk)logp(yjzk)

j

k

????20

log20232332322828??103103?103log103?103log103?103log103?

? ?1.977 bit/symbol

H(X/YZ)?H(XYZ)?H(YZ)?2.836?1.977?0.859 bit/symbol

(3)

I(X;YZ)?H(X)?H(X/YZ)?0.964?0.859?0.159 bit/symbol

2.11有两个二元随机变量X和Y，它们的结合概率为

并定义另一随机变量Z = XY（一般乘积），试计算：

(1) H(X), H(Y), H(Z), H(XZ), H(YZ)和H(XYZ)；

(2) H(X/Y), H(Y/X), H(X/Z), H(Z/X), H(Y/Z), H(Z/Y), H(X/YZ), H(Y/XZ)和H(Z/XY)；

(3) I(X;Y), I(X;Z), I(Y;Z), I(X;Y/Z), I(Y;Z/X)和I(X;Z/Y)。

解： (1)

p(x1)?p(x1y1)?p(x1y2)?p(x2)?p(x2y1)?p(x2y2)?

18

?

3818

??

1212

38

?

H(X)???p(xi)logp(xi)?1 bit/symbol

i

p(y1)?p(x1y1)?p(x2y1)?p(y2)?p(x1y2)?p(x2y2)?

18

?

3818

??

1212

38

?

H(Y)???p(yj)logp(yj)?1 bit/symbol

j

Z = XY的概率分布如下：

?z?0

?Z??1????7P(Z)???8

?

2

z2?1?

?1?8??

711??7

H(Z)???p(zk)???log?log??0.544 bit/symbol

888??8k

p(x1)?p(x1z1)?p(x1z2)p(x1z2)?0

p(x1z1)?p(x1)?0.5p(z1)?p(x1z1)?p(x2z1)p(x2z1)?p(z1)?p(x1z1)?p(z2)?p(x1z2)?p(x2z2)p(x2z2)?p(z2)?H(XZ)???

i

78

?0.5?

38

18

?

k

13311??1

p(xizk)logp(xizk)???log?log?log??1.406 bit/symbol

28888??2

篇二：信息论与编码_陈运主编_无水印完好版答案

2.1 试征询四进制、八进制脉冲所含信息量是二进制脉冲的多少倍？

解：

四进制脉冲能够表示 4 个不同的音讯，例如：{0, 1, 2, 3} 八进制脉

冲能够表示 8 个不同的音讯，例如：{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} 二进制脉

冲能够表示 2 个不同的音讯，例如：{0, 1} 假设每个音讯的发出都

是等概率的，那么：

四进制脉冲的平均信息量 H ( X1 ) = log n = log 4 = 2 bit / symbol

八进制脉冲的平均信息量 H ( X 2 ) = log n = log8 = 3 bit / symbol

二进制脉冲的平均信息量 H ( X 0 ) = log n = log 2 = 1 bit / symbol

因而：

四进制、八进制脉冲所含信息量分别是二进制脉冲信息量的 2 倍和 3 倍。

2.2 居住某地区的女小孩有 25%是大学生，在女大学生中有 75%是身高 160 厘米以上的，而女 小孩中身高 160 厘米以上的占总数的一半。假设我们得知“身高 160 厘米以上的某女孩是大 学生”的音讯，征询获得多少信息量？

解：

设随机变量 X 代表女小孩学历

X

P(X) x1（是大学生）

0.25 x2（不是大学生）

设随机变量 Y 代表女小孩身高

Y y1（身高160cm）

P(Y) 0.5 y2（身高lt;160cm）

已经明白：在女大学生中有 75%是身高 160 厘米以上的

即： p( y1 / x1 ) = 0.75 bit

求：身高 160 厘米以上的某女孩是大学生的信息量

/ y ) = ? log p( x/ y ) = ? 即： I ( x1 1 1 1

p( x1 ) p( y1 / x1 ) 0.25 × 0.75 = ? = 1.415 bit p( y1 ) 0.52.3 一副充分洗乱了的牌（含 52 张牌），试征询 (1) 任一特定陈列所给出的信息量是多少？ (2) 假设从中抽取 13 张牌，所给出的点数都不一样能得到多少信息量？

解：

(1) 52 张牌共有 52！种陈列方式，假设每种陈列方式出现是等概率的那么所给出的信息量是：

p( xi ) = 1

52!

I ( xi ) = ? log p( xi ) = log 52!= 225.581 bit

(2) 52 张牌共有 4 种花色、13 种点数，抽取 13 张点数不同的牌的概率如下：

· 1 ·

p( xi ) = 4

13 C 52 13

413

I ( xi ) = ? log p( xi ) = ? 13 = 13.208 bit C 52

x = 1 x = 2 x = 3? ? X ? ?x 1 = 02 3 4 2.4 设离散无经历信源 ?= ? ? ，其发出的信息为 ? 1/ 8 ? ?P( X )? ? 3 / 8 1/ 4 1/ 4

(2) 此音讯中平均每符号携带的信息量是多少？

解：

(1) 此音讯总共有 14 个 0、13 个 1、12 个 2、6 个 3，因而此音讯发出的概率是：

6 14 25 3 ? ? 1 ? ? 1 ? ?p = ??×? × ??? ? 8 ? ? 4 ? ? 8 ?

此音讯的信息量是： I = ? log p = 87.811 bit

(2) 此音讯中平均每符号携带的信息量是： I / n = 87.811/ 45 = 1.951 bit 2.5 从大量统计材料明白，男性中红绿色盲的发病率为 7%，女性发病率为 0.5%，假设你征询一 位男士：“你是否是色盲？”他的答复可能是“是”，可能是“否”，征询这两个答复中各含多少 信息量，平均每个答复中含有多少信息量？假设征询一位女士，那么答案中含有的平均自信息量 是多少？

解：

男士：

p( xY ) = 7%

I ( xY ) = ? log p( xY ) = ? log 0.07 = 3.837 bit

p( xN ) = 93%

I ( xN ) = ? log p( xN ) = ? log 0.93 = 0.105 bit

H ( X ) = ?

女士： ∑ p( x) log p( x) = ?(0.07 log 0.07 + 0.93log 0.93) = 0.366 bit / symbol i i i 2

H ( X ) = ?

∑ p( x) log p( x) = ?(0.005 log 0.005 + 0.995 log 0.995) = 0.045 bit / symbol i i i 2X ? ? x x x x x x ??1 2 3 4 56 2.6 设信源 ? = ?? ，求这个信源的熵，并解释为什么 ? ?P( X )? ?0.2 0.19 0.18 0.17 0.16 0.17?

H(X) log6 不满足信源熵的极值性。

解：

· 2 ·

H ( X ) = ?∑ p( x) log p( x) i i

i 6

= ?(0.2 log 0.2 + 0.19 log 0.19 + 0.18 log 0.18 + 0.17 log 0.17 + 0.16 log 0.16 + 0.17 log 0.17)

= 2.657 bit / symbol

不满足极值性的缘故是 ∑6 p( xi ) = 1.07 1 。

i

2.7 证明：H(X3/X1X2) ≤ H(X3/X1)，并说明当X1, X2, X3是马氏链时等式成立。

证明：

H ( X 3 / X1 X 2 ) ? H ( X 3 / X1 )

= ?∑∑∑ p( xi1 xi 2 xi 3 ) log p( xi 3 / xi1 xi 2 ) + ∑∑ p( xi1 xi 3 ) log p( xi 3 / xi1 )

i1 i 2 i 3 i1 i 3

= ?∑∑∑ p( xi1 xi 2 xi 3 ) log p( xi 3 / xi1 xi 2 ) + ∑∑∑ p( xi1 xi 2 xi 3 ) log p( xi 3 / xi1 )

i1 i 2 i 3 i1 i 2 i 3

=p( x x x ) p( xi 3 / xi1 )

∑∑i1i 2i 3

∑i1 i 2 i 3 p( xi 3 / xi1 xi 2 )

≤ ∑∑p( x ? p( x

i1xi 3 / xi1 ) ?

i 2xi 3 )??1? log2 e

∑

i1 i 2 i 3 ?? p( xi3 / x i1x i 2 ) ??

?

? ∑∑∑1 i 2 i 3 p( x? = ?i1 xi 2 ) p( xi 3 / xi1 ) ? ∑∑∑ p( xi1 xi 2 xi 3 ) ? log2 e

i i1 i 2 i 3 ?

= ??

?∑∑ p( x? ? ?

i1 xi 2 )

i1 i 2?∑ p( xi 3 / xi1 )? ? ??1? log2 e

i 3 ?

= 0

∴ H ( X

3 / X1 X 2 ) ≤ H ( X 3 / X1 )

当p( xi 3 / xi1 )

p( x?1 = 0时等式等等

i 3 / xi1 xi 2 )

? p( xi 3 / xi1 ) = p( xi 3 / xi1 xi 2 )

? p( xi1 xi 2 ) p( xi 3 / xi1 ) = p( xi 3 / xi1 xi 2 ) p( xi1 xi 2 )

? p( xi1 ) p( xi 2 / xi1 ) p( xi 3 / xi1 ) = p( xi1 xi 2 xi 3 )

? p( xi 2 / xi1 ) p( xi 3 / xi1 ) = p( xi 2 xi 3 / xi1 )

∴等式等等的等等是X1 , X 2 , X 3是马 _氏链

2.8 证明：H(X1X2 。。。 Xn) ≤ H(X1) + H(X2) + … + H(Xn)。

证明：

H ( X 1 X 2 ...X n ) = H ( X 1 ) + H ( X 2 / X 1 ) + H ( X 3 / X 1 X 2 ) + ... + H ( X n / X 1 X 2 ...X n?1 )

I ( X 2 ; X 1 ) ≥ 0 I ( X 3 ; X 1 X 2 ) ≥ 0

...

· 3 ·

? H ( X 2 ) ≥ H ( X 2 /

X 1 )

? H ( X 3 ) ≥ H ( X 3 /

X 1 X 2 )

· 4 ·

I ( X N ; X 1 X 2 ...X n?1 ) ≥ 0 ? H ( X N ) ≥ H ( X N / X 1 X 2 ...X n?1 )

∴ H ( X 1 X 2 ...X n ) ≤ H ( X 1 ) + H ( X 2 ) + H ( X 3 ) + ... + H ( X n )

2.9 设有一个信源，它产生 0，1 序列的信息。它在任意时间而且不管往常发生过什么符号， 均按 P(0) = 0.4，P(1) = 0.6 的概率发出符号。 (1) 试征询这个信源是否是平稳的？

(2) 试计算H(X2)),并写出 H(X 3 /X 12XX )及∞

(3) 试计算H(XH；44信源中可能有的所有符号。

解：

(1)

这个信源是平稳无经历信源。由于有这些词语：“它在任．意．时．间．而且不．论．以．前．发．生．过．什．么．符．号．……”

(2)

H ( X 2 ) = 2H ( X ) = ?2 × (0.4 log 0.4 + 0.6 log 0.6) = 1.942 bit / symbol

H ( X 3 / X 1 X 2 ) = H ( X 3 ) = ?∑ p( xi ) log p( xi ) = ?(0.4 log 0.4 + 0.6 log 0.6) = 0.971 bit / symbol

i

H ∞ = N lim ?∞ H ( X N / X 1 X 2 ...X N ?1 ) = H ( X N ) = 0.971 bit / symbol

(3)

H ( X 4 ) = 4H ( X ) = ?4 × (0.4 log 0.4 + 0.6 log 0.6) = 3.884 bit / symbol

X 4的所有符号：

0000 0001 0010 0011

0100 0101 0110 0111

1000 1001 1010 1011

1100 1101 1110 11112.10 一阶马尔可夫信源的状态图如以下列图所示。信源 X 的符号集为{0, 1, 2}。(1) 求平稳后信源的概率分布；

(2) 求信源的熵H∞。

解：

(1)

5 · ·

篇三：信息论与编码课后习题答案

1． 有一个马尔可夫信源，已经明白p(x1|x1)=2/3，p(x2|x1)=1/3，p(x1|x2)=1，p(x2|x2)=0，试画出该信源的香农线图，并求出信源熵。 解：该信源的香农线图为：

○

2/3 (x1) 1(x2)

在计算信源熵之前，先用转移概率求稳定状态下二个状态x1和 x2 的概率p(x1)和p(x2) 立方程：p(x1)?p(x1x1)p(x1)+p(x1x2)p(x2)

=2 p(x1)?p(x2)

p(x2)?p(x2x1)p(x1)+p(x2x2)p(x2) = 3p(x1)?0p(x2)p(x1)?p(x2)=1 得p(x1)?马尔可夫信源熵H = ?

3

4

p(x2)?1 4

?p(x)?p(x

i

I

J

j

3

2．设有一个无经历信源发出符号A和B，已经明白p(A)?1。求： 4.p(B)?4

①计算该信源熵；

②设该信源改为发出二重符号序列音讯的信源，采纳费诺编码方法，求其平均信息传输速率； ③又设该信源改为发三重序列音讯的信源，采纳霍夫曼编码方法，求其平均信息传输速率。 解：①H(X)??

?p(x)logp(x) =0.812 bit/符号

i

i

X

②发出二重符号序列音讯的信源,发出四种音讯的概率分别为

33p(AB)? p(AA)?4?4?164?4?16

339p(BB)?3 p(BA)?34?4?164?4?16

用费诺编码方法 代码组 bi

BB 01 BA 10 2 AB 110 3 AA 111 3

2

无经历信源 H(X)?2H(X)?1.624 bit/双符号 平均代码组长度 2=1.687 bit/双符号

H(X2)R2?=0.963 bit/码元时间

③三重符号序列音讯有8个,它们的概率分别为

1

p(AAB)?64p(BAA)?64 p(ABA)?p(AAA)?64p(BAB)?64 p(ABB)?64p(BBB)?p(BBA)?646464

用霍夫曼编码方法 代码组 bi BBBBBABABABBAABBAAABA

AAA

2799964643364

0 0 1 (191 110 3 )

1(64) 1101 3 64)

00100 3

6 1()111111 5

0 111110 5

4 1()0 11101 5

0111005

H(X3)?3H(X)=2.436 bit/三重符号序列

H(X3)

=0.987 bit/码元时间 R3=

3．已经明白符号集合{x1,x2,x3?}为无限离散音讯集合，它们的出现概率分别为 p(x1)?

2

，

p(x2)?1p(xi)?···p(x3)?11

···求： i2

① 用香农编码方法写出各个符号音讯的码字（代码组）； ② 计算码字的平均信息传输速率； ③ 计算信源编码效率。 解: ①

2

②H(X)??

?p(x)logp(x)=2 bit/符号

i

i

I

??Pibi??=2码元/符号

I

R?

H(x)

?1bit/码元时间 R

=100% C

③二进制信道C=1 bit/码元时间信源编码的编码效率?=

① 对这八个符号作二进制码元的霍夫曼编码,写出各个码字,并求出编码效率。 解: ①H(X)??

?p(x)logp(x)=2552bit/符号,时间熵H

X

t
②霍夫曼编码

符号pi代码组 bi C0.4 0 0 1 B0.180 110 3 A0.10(1,0)100 3 0 1

F0.1 01 1 (0.6)1111 4 G0.07 1 1011 4 1

E0.06 0 (0.13) 1 1010 4 D0.05 1 (0.19) 11101 50

H0.04 0 (0.09) 11100 5

H(x)

信源编码的编码效率?==97.79%

C

R?

3