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巧建坐标系 妙解向量题

江苏省南通市通州区石港中学 高志军

平面向量是高中数学中重要的、基本的内容，是高考重点考查的知识.平面向量既具有代数的特征，又具有几何的特征.有些平面向量问题主要是以向量几何特征呈现命题的，我们同学在解题时，常局限于向量几何层面上去理解进行解题.虽然这种思路能够解决问题，但有时运算较复杂，给快速顺利完成解题造成一定的困难.如果能洞察平面向量具有代数、几何的二重性，通过巧妙建立平面直角坐标系，构建代数与几何联系的桥梁，以形思数，以数解形，解题则会事半功倍.
A
B
C
E
F
D
图1
题型一：求平面向量数量积的值.给定平面几何图形，求出有关平面向量数量积的值.
例1、（2012年普通高等学校招生全国统一考试江苏卷第9题）
如图1，在矩形ABCD中，点E为BC的中点，
点F在边CD上，若，则的值是 ．
从部分2012届高考考生中了解，一般采用解法一和解法二.
解法一：根据平面向量数量积的定义，增设有关角，结合图形完成解题.
由，得，
由矩形的性质，得.
∵，∴，∴.∴.
记之间的夹角为，则.
又∵点E为BC的中点，∴. ∴ .
解法二：根据平面向量线性运算和数量积的运算法则，进行化归.
由得，.

.
A
B
C
E
F
D
x
y
图2
以上两种解法紧扣平面向量几何特征进行，思维密度高，化归目标意识强.在高考紧张的心理状态下，顺利解题显得比较困难.如果我们能根据题设条件，巧建直角坐标系，则问题解决就十分自然流畅.
解法三：建立直角坐标系.
以分别为横轴和纵轴建立如图2所示的直角坐标系.
则A（0，0），B（，0），C（，2），D（0，2），
E（，1）.设F（,2）.
，，
由，有得=1.，而，
R
M
D
O
B
C
A
E
T
E
图3
==.
例2、如图3，矩形内放置5个边长均为1的小正方形，其中
在矩形的边上，且为的中点，则 .
此题是笔者在对2012届高三进行复习时的一道练习题，全班51
名学生仅有16人做到正确答案.为什么正答率这样低？原因有二，
R
M
D
O
B
C
A
E
T
E
x
y
图4
其一，学生仅结合图形对进行线性运算，难度较大；
其二，是不能巧妙建立直角坐标系.习性上是以为轴、为
轴建立直角坐标系.这样，解题较繁，造成解题失败.事实上，解
题突破的关键是“5个边长均为1的小正方形”，应以正方形的边所在
的直线为坐标轴建立直角坐标系.
解：以A为原点，AD为轴，建立如图4所示的直角坐标系.
则，A（0，0），B（2，-1），C（3，1），D（0，2），E（0，1）
（0，1）+（1，2）=（1，3），（-2，3）.
（1，3）·（-2，3）=7.
题型二：三角形的面积问题.这类问题常给出三角形中一些向量关系，求有关三角形面积之比或三角形面积的最值.
例3、已知中，，平面上有一点满足=2， ，则面积的最大值是 .
对于此题，我们同学常常根据题设条件，由向量的线性运算性质，寻找一些基本关系，设变量，构造三角形面积的相应代数式，进行求解，形成了解法一.剖析条件“”，知是等腰三角形，可以建立适当的直角坐标系进行求解，形成了解法二.
解法一：==，
==.
A
C
B
P
图5
.
点在线段上,且，如图5.
设=，在中，由余弦定理得，
==，
=.
====
A
C
B
P
x
y
o
图6
当时，面积的最大值是.
解法二：以BC为轴，BC的中垂线为轴，建立如图6
所示的直角坐标系.
∵，设B（-，0），C（，0），A（0，）.
==.
∵ =2，，即.
=. 面积的最大值是.
例4、已知点在所在平面内，若，求与的面积的比值.
A
C
B
P
x
y
图7
我们同学在解决此题时，常感到无从下手，往往采用特殊化的方法，即将看成等边三角形进行解题.这种特殊化的方法一般只限于解填空题.此题解题的关键是巧妙建立直角坐标系.注意到两个与有一个公共边，我们可以为原点，为轴建立直角坐标系.
解：以为原点，为轴建立如图7直角坐标系.
设，，.
由得，
2+3+4=3，
即=，
=，即=..
题型三：求平面向量数量积的取值范围.已知平面几何图形有关动点，求相应动向量数量积的取值范围.
A
C
B
D
x
y
o
M
N
图8
例5、已知中心为的正方形的边长为2，点、分别为线段、上的两个不同点，且，求的取值范围.
解：以为原点，平行于直线的直线为轴，
建立如图8所示的直角坐标系.
设，.
则，
即.
设.
则==2+.
A
C
P
B
图9
又∵，.
的取值范围是.
例6、如图9，是边长为2的等边三角形，
是以为圆心，1 为半径的圆上的任意一点，
A
C
P
B
x
y
o
图10
求最小值.
解：以AB为轴，AB的中垂线为轴，
建立如图所示的直角坐标系.
则，，.
点在圆上.设.
则==
==,
∵，
当时，最小值是1.
平面向量的数量积是高考的C级要求，涉及平面向量的加法、减法及数乘运算，常常采用线性运算和坐标运算的思路解决问题.试题一般在非直角坐标系的状态下给出的，我们同学往往选择线性运算解题，这样，有时难度较大.如果能根据题设条件，巧妙建立直角坐标系，将线性运算转化为坐标运算，则解题就简单得多了.

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