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重力坝基本断面的快速优化设计
麦家煊
(清华大学水利水电工程系)
摘要：本文根据重力坝设计规范关于抗滑稳定安全系数和坝踵应力的规定，按断面积最小的要求，考虑上游坝面有折坡、上下游面有水压荷载、坝底扬压力呈折线分布、上游面有泥沙压力等情况，推导出求解重力坝基本断面参数的二次方程以及最优解的判别式，以便人工手算进行优化设计。文中给出两个算例说明如何确定基本断面的参数。
关键词：重力坝；基本断面；应力；稳定；优化设计
作者简介：麦家煊(1944-)，男，广东台山人，清华大学副教授，主要研究方向为水工结构工程。
　　重力坝的设计应满足规范的要求，其中最主要、最普遍核算的有两项：沿坝基面抗滑稳定安全系数和上游坝踵拉应力。这两项受上游坝坡的影响很大，而且其影响规律相反，要反复试算多次，才能满足规范要求。因手算工作量很大，以往很多设计未能做过细的试算，设计断面并非最优。由于这两项指标很敏感地影响坝体断面和工程量，有些重力坝的体积比最优解高出很多。虽然一些专家学者研究了重力坝的优化设计，并编制电算程序，但大多数设计者在设计中小型重力坝时仍采用人工试算的办法。为便于手算或自编简单的电算程序很快地求得重力坝基本断面的最优解，本文根据重力坝设计规范[1]中两项最基本最常见的计算指标，推导出一些公式，可求得重力坝基本断面最优解的一些参数。
1.重力坝基本断面参数的求解
　　重力坝基本断面应满足三个原则：(1)坝体的抗滑稳定必须满足规范规定的安全系数；(2)坝体的应力必须满足规范的要求；(3)在给定的设计参数和施工条件下，大坝基本断面的面积最小或接近于最小。
　　设图1所示的基本断面的高度与上游水深都为H，坝底厚度为B，扬压力分布取一个折点[2]，第一主排水孔幕处的渗压系数为α，它与坝踵距离为ηB，上游坝面处的淤沙高度为Hs，下游水深为Hd，坝基面处的摩擦系数为f′，单位面积的凝聚力为c'，各种材料的容重等等是给定的已知条件。若上游坝面下部斜坡的水平长度为λB，斜坡高为Hc，坝坡为1∶n，下游坝坡1∶m，则

图1 基本断面及荷载示意

n=λB/Hc
(1)
m=(1-λ)B/H
(2)
重力坝基本断面的确定可归结为求解B与λ这两个变量的问题，使它们满足上述三个原则，再回代到式(1)、式(2)求得n和m.
　　浪压力或冰压力相比其它荷载显得很小，因而暂不考虑。因为在后面求实用断面时，坝顶加高和加宽都能增加坝体的抗滑稳定安全系数和坝踵的压应力，基本上抵消浪压力或冰压力的负作用，或略有余地，其误差远远小于计算扬压力、选取摩擦系数和凝聚力等造成的误差，满足规范关于坝体稳定和应力的要求。
　　设坝体混凝土的容重为γc，水的容重为γ，泥沙的浮容重为γs，泥沙的内摩擦角为φs；为计算方便，减少手算或电算程序中的重复运算，可设置如下一些中间变量和计算式：
gc=γc/γ
(3)
gs=γstg2(45°-φs/2)/γ
(4)
ξc=Hc/H
(5)
ξd=Hd/H
(6)
ξs=Hs/H
(7)
A=(gc-1)(1-ξc)
(8)
β=gs(ξ2s-Ds)/ξc
(9)
式中Ds的取值：当Hs>Hc时，Ds=(ξs-ξc)2；当Hs≤Hc时，Ds=0.
E=gc-ξd-(1-ξd)［ξ2d+α(1-η)+η(2-η)］
(10)
F=gc+ξ2d-2ξd-(1-ξd)(α+η)
(11)
G=gc-2-ξ2d(1-2ξd)+2(A-β)
(12)
Q=1-2A-ξ3d+gs[ξ3s-Ds(ξs+2ξc)]/ξ２c
(13)
V=1-ξ2d-A+β
(14)
Y=1-ξ3d+gsξ3s
(15)
Z=1-ξ2d+gsξ2s
(16)
　　沿坝轴线取单宽分析，设作用于坝基面上所有的竖向分力(包括扬压力)的合力为∑W(以向下压力为正)，所有的水平分力的合力为∑P(以向下游为正)，全部作用力对坝基面形心的合力矩为∑M(以弯向上游使坝踵产生压应力为正).坝趾压应力小于允许值是很容易满足的，即使高坝可加大混凝土标号来解决。而坝踵的应力要满足规范，在过去往往需要反复试算，故在这里以此作为条件列方程求解。按重力坝设计规范[1]，考虑扬压力后的坝踵竖向应力(以压为正)应满足：
σyu=∑W/B+6∑M/B2≥0
(17)
将图1所示的作用力代入上式，利用式(3)～式(16)，整理得：
σyu=γH(E-Gλ-Qλ2-YH2／B2)≥0
(18)

(19)
　　根据重力坝设计规范[1]关于抗滑稳定安全系数的要求：
f'∑W+c'B/∑P≥K'
(20)
式中：f'、c'是坝体混凝土与岩基接触面的抗剪断摩擦系数与凝聚力，K'是与此相应的抗滑稳定安全系数，基本荷载组合采用K'=3.0，在校核洪水位时，K'=2.5；如果不考虑凝聚力c'，则f'改成纯摩擦系数f,K'改成按纯摩计算所要求的抗滑稳定安全系数K，K大约在1.0～1.1之间，具体由坝的级别与荷载组合而定。将图1所示的荷载代入上式，并利用式(3)～式(16)，经整理得：
f'(F+Vλ)Γhb/2+c'B/γH2Z/2≥K'
(21)
由此式得B/H的取值范围是：
B/H≥K'Z/ f'(F+Vλ)+2c'/(γH)(22)(a)Q>0的情况 (b)Q<0的情况
　　由式(19)表明：若Q>0，B/H的最小值随λ而变化的曲线大致如图2(a)中的曲线(1)所示；若Q<0，则如图2(b)的曲线(1)；Ｂ/H的取值范围在曲线(1)及其上部。式(22)所表示的B/H最小值一般随λ增加而减小，其曲线大致如图2中的曲线(2)所示，B/H的取值范围相应在这些曲线的上部。
　　如果曲线(1)与曲线(2)相交，则其交点对应的λ与B/H即为满足式(19)与式(22)的最小值之解。令这两式的右边相等，得出关于λ的二次方程：

图2 B/H的最小值与λ的关系曲线

aλ2+bλ+c=0
(23)
式中：

a=Y(f′V)2+Q(K′Z)2
(24)
b=2f′V[f′F+2c′/(γH)]Y+G(K′Z)2
(25)
c=Y(f′F+2c′/(γH)]2-E(K′Z)2
(26)
式(23)的解为：

(27)
　　下面分几种情况讨论其解：
　　①若λ只有一个解或有两个解，则只取合理的一解(如0～0.2左右)，根据曲线(1)与曲线(2)的特点，它们的另一交点都远离此值，是不可取的，应舍去。
　　②若λ>0.2，说明曲线(2)太靠上［如图3的曲线(2-1)］，这是因为式(22)右边的f'、c'太小。若Hc较小、λB较大而使坝踵坡度太缓，则有以下几点不利：廊道和主排水孔离坝踵较远，可能不是最优方案；对于有施工纵缝的高坝，当混凝土浇筑至坝顶而纵缝尚未灌浆之前，在偏心自重作用下可能使坝踵产生很大的拉应力；在蓄水时，上游坝面沿斜坡方向的主拉应力较大，需对此核算而选用合适的λ值。这些说明，若f'、c'太小，只靠放缓上游坝坡实现优化是不够的，还应加上其它一些措施，如做成齿槽或倾向上游的坝基面、加大f'、c'等。
　　③若λ<0，说明f'、c'较大。但上游坝面倒悬，对施工不利，空库时坝趾有拉应力，宜取λ≥0，比式(23)的原解(如图3中的λ3)大一些，即在两曲线交点的右侧，因曲线(1)在曲线(2－3)的上方，B/H的最小值应在曲线(1)上截取，即把新选的λ代入式(19)求得B/H。
　　④若式(23)没有实数根，说明两条曲线无交点或切点，这是因为f'、c'太大，式(22)所示的B/H最小值的曲线太靠下。处理办法同情况③。

图3 B/H的各种最小值曲线与λ值的关系

2 λ和B解的优化讨论
　　设基本断面的面积为S，则
S=0.5B[λHc+(1-λ)H]
(28)
　　因为B又是λ的函数，故S对λ的导数为：

(29)
　　若Hc=H，则dS/dλ=0.5H(B/λ)，若B是λ的增函数(即B/λ>0)，则S也是λ的增函数，式(23)的解λ代表两曲线交点，满足应力和稳定要求，使B达到最小，S也达到最小，右λ<0或无解，则取λ=0代入式(19)求得B/H，即为最优解。但若Hc<H，则问题比较复杂，具体要看以下几种情况。
若B与λ的关系满足图2的曲线(2)，由式(22)两边相等并对λ偏导得：

(30)
代入式(29)，整理得：
dS/dλ=-B/2(H-Hc)-B/2[H-λ(H-Hc)]V/F+Vλ+2c′/(γHf′)
(31)
　　由式(3)～(14)可知，dS/dλ<0，故S随λ增大而减小。但当λ大于式(27)的解之后，λ和B必须满足坝踵应力σyu≥0的式(19)，即在曲线(1)上选取。
　　若B与λ的关系满足图3的曲线(1)，由式(19)两边相等并对λ偏导得：

即：

(32)
代入式(29)并整理得：
Ds/dλ=[G(H-Hc)+2HQ]λ+GH-2E(H-Hc)/4(E-Gλ-Qλ2)/B
(33)
从式(19)有实数解可知，E-Gλ-Qλ2>0，故上式右边的分母为正。
　　①若[G(H-Hc)+2HQ]>0，则d2S/dλ2>0,S有最小值，其对应的λ值为：
λ01=2E(1-Hc／H)-G/G(1-Hc/H)+2Q
(34)
　　设式(27)的一个合理解为λ1，若λ01>λ1，λ01在λ1的右侧，此时曲线(1)在曲线(2)的上方，则λ01及其代入式(19)所得B的最小值，可使断面积S最小。
　　若λ01<λ1，λ01在λ1的左侧，此时曲线(1)在曲线(2)的下方，上述的λ01和B不满足抗滑稳定要求，需按曲线(2)确定λ和B，从前面已讨论的式(31)可知，S随λ增加而减小，故这两曲线的交点所得的λ1和B可使断面积S最小。
　　②若[G(H-Hc)+2HQ]<0，则d2S/dλ2<0，S有最大值，并非所求，不再讨论。
3 算例
3.1 算例1 如图1所示的基本断面，正常水深H=100m，水容重γ=10kN/m3，混凝土容重γc=24kN/m3，上游坝面折点高度Hc=60m，泥沙淤积高度Hs=30m，浮容重γs=8kN/m3，内摩擦角φs=20°，下游水深Hd=10m，坝基第一主排水孔渗压系数α=0.3，至坝踵距离与坝底厚之比η=0.2，坝基接触面的抗剪断摩擦系数f′=0.9，凝聚力c′=1100kN/m2，将这些参数代入式(3)～(16)和式(24)～(27)，算得λ1=0.12813，B=80.09m，再代入式(1)、(2)求得n=0.171，m=0.6983.
　　经核算ηB=16.02m，满足设计尺寸要求(若不满足，由算得的B略加修改η，一般经第二次计算即可满足).在上述荷载作用下，基本断面的抗滑稳定安全系数为3.000，坝踵竖向应力σyu=-0.2×10-6MPa，坝趾竖向应力σyd=1.823MPa，在空库时，在坝体自重作用下，σyu=1.857MPa，σyd=0.42MPa，这些都满足规范要求。
　　由式(28)算得基本断面的面积s=3799.37m2.由式(3)～(13)算得Q=-0.0916，E=1.751，G=1.3944，由式(34)算得λ01=0.0171<0.12813.由于G(H-Hc)+2HQ=37.456>0，由式(33)、(34)可知：当λ>λ01时，dS/dλ>0，断面积S随λ增大而增加，在λ01处S最小(其值为3796.57m2).但λ01小于式(23)的解，该点如图4(a)所示在两曲线交点的左侧，由式(32)～(34)的推导可知，λ01对应的B/H只满足曲线(1)，低于曲线(2)，不满足抗滑稳定要求(算得抗滑稳定安全系数为2.827)，只有两曲线交点的解λ1=0.12813，才使它满足规范要求而又断面积最小。
a. B/H与λ1和λ01的关系(b) 坝体断面与荷载
　　以上计算未考虑坝顶加高加宽和浪压力或冰压力等零碎荷载。设坝顶宽7m，比正常蓄水位高2m，浪高为2hl=1.8m，浪长2L=16.64m，每米单宽坝段浪压力为100.3kN，若取比它大的冰压力Pb=150kN计算，再加上前述所有的静荷载，算得抗滑稳定安全系数为3.012，坝踵竖向应力σyu=0.0287MPa，坝趾竖向应力λyd=1.823MPa，在空库时，在坝体自重作用下，σyu=1.90MPa，σyd=0.407MPa，都与基本断面的情况相差很小，远小于f′、c′和扬压力等参数的选取误差。抗滑稳定安全系数略有富余，是可行的。

图4 算例1的坝体断面与计算参数示意

3.2 算例2 与算例1不同的是：f′=1.0，c′=1500kN/m2，其余参数不变，只需改变式(24)～(26)中的f′和c′，求得a,b,c代入式(27)求得λ1=-0.3484，再回代到式(19)或(22)即可求得B的最小值B=67.016m.由于λ1B=-23.35m，倒悬太多(见图5(b))，按式(1)算得n=-0.389，难以施工；如果纵缝至上游坝面垂直边的距离为40m，则底部至坝踵的距离只有16.65m，在混凝土浇筑至坝顶、而又未作纵缝灌浆连成整体的情况下，坝踵竖向压应力有17.38MPa，下游一侧的拉应力达-10.3MPa，都超过混凝土的允许值，而且重心已超出坝踵偏向上游2.53m，是会向上游倾倒的；即使纵缝在浇筑混凝土过程中提前分层灌浆，连成整体后，在空库情况下，坝踵竖向压应力为4.13MPa，而坝趾则有-1.36MPa的竖向拉应力，这也是不允许的。
　　前面求得的λ1(=-0.3484)和B(=67.016m)虽然是两曲线交点即最低处所对应的值，但用它们计算基本断面的面积S(=3817.78m2)并非最小。正如前面算例1所分析的，在λ01处S最小(其值为3796.57m2)，因为式(34)与f′、c′无关，算例1中的λ01与S的关系也适用于算例2.此时λ01(=0.0171>-0.3484)在曲线(1)、(2)交点的右侧[如图5(a)所示]，而且是在曲线(1)上求得的，其对应的Ｂ/Ｈ大于曲线(2)上的数值，不仅满足应力要求，而且肯定也能满足抗滑稳定要求(基本断面的抗滑稳定安全系数K′=3.556).这说明，当f′、c′较大时，用式(27)求得的λ1和B不见得使断面S最小，还应该再从式(34)求得λ01与之比较和分析才能得到既满足规范要求、又使工程量最小的断面。若以λ=0，代入式(19)求得B=75.933m，基本断面面积S=3796.65m2，虽然不见得最小，但与最小值相差甚小，几乎可作最优解。
(a)B/H与λ1和λ01的关系 (b)λ1对应的坝体断面 (c)λ01对应的坝体断面
4 结语
　　本文根据重力坝设计规范[1]关于稳定和应力的要求，考虑坝体断面积最小和便于施工等因素，推导重力坝基本断面参数的计算式，并通过算例讨论如何选用这些参数进而确定基本断面和实用断面。若Hc为不定值5～10m取Hc值求解不同的断面，从中挑选断面积小而坝坡合适的方案，不取上游倒悬的或很缓的坝坡(因蓄水时上游缓坡有较大的主拉应力).若有计算机，用本文公式编制简单的程序，计算就更方便了。

图5 算例2的坝体断面与计算参数示意

参 考 文 献：
[1] SDJ21-78，混凝土重力坝设计规范[Ｓ]。1979.
[2] 中华人民共和国水利电力部。混凝土重力坝设计规范SDJ21 78(试行)的补充规定，(84)水电水规字第131号[S]。1984.