经济数学基础复习.doc

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1 [-4, 3]
2、
3、 [-2, 1
4.
( 5) . ( 1, 3)
(6). 函数 的定义域是
( 7) .设函数的定义域是; 则的定义域是
( 8) ..若函数的定义域是[0, 1], 则的定义域是[1, e]
( 10) .若函数的定义域为[0, 2], 则函数的定义域是[1, 3]
( 1) .下列函数中, ( ) 组的两个函数是相等函数。B
B. 与
(2).下列函数中, ( ) 组的两个函数相等。B
B . 与
”奇函数奇函数 奇函数偶函数为奇函数; 偶函数偶函数 偶函数偶函数 奇函数奇函数为偶函数( 1) .下列函数( ) 是奇函数. D
A． B . C. D.
下列函数中( ) 是偶函数. C
A. B .
C . D .
下列函数中( ) 是偶函数。 B
A. B C . D .
( 4) .下列函数中, ( ) 是奇函数。 ( B)
A . B. C . D.
导数四则运算法则:
( 1)
( 2)
( 3)
复合函数求导法则:
函数, 则
或者
求复合函数的导数基本步骤:
（1） 分解: 将复合函数分解成基本初等函数运算的形式( ; , 求导: 对每个函数求导; 乘积: 将所有导数乘积;

代回: 整理, 表示为
例如, 求。
解: 基本步骤: 分解 原式分解为
求导
乘积
代回
或

例题1 设, 求
[解]: 分解 ,
求导

乘积

隐函数求导是复合函数求导的特例, 按隐函数求导方法结合隐函数的特点就能够求导, 重点把握住导数四则运算的乘积法则和复合函数求导法则。
例题2: 由方程, 确定的是隐函数, 求
[解]: 对方程两边同时求导, 得

例题3由方程, 确定的是隐函数, 求
[解]: 对方程两边同时求导, 得

《经济数学基础》辅导 积分学( 1)
积分概念与第一换元法
积分是微分的逆运算, 要掌握积分的运算事先必须熟练掌握导数的运算, 在求积分的过程中处处会应用导数的运算。
一， 积分的概念
1． 原函数与不定积分的概念
原函数是指的导数等于, 即为函数的一个原函数, 一个函数的原函数是一族函数+c, 这里c是任意常数。
+c称的全体原函数, 因为=那么要求一个函数的原数, 就已知函数的导数求, 正是一个导数运算的逆运算。
我们将原函数的全体+c称函数的不定积分。记作:

称被积函数, 称积分变量。
不定积分的性质

2． 定积分
定积分表示为, 她与不定积分在形式上很相似, 可是两个不同的概念。不定积分是函数, 而定积分是个数值, 为,
但在计算方法上能够完全依赖不定积分的计算方法求得定积分的结果。

3． 变上限定积分
变上限定积分就是将上限看作是自变量的定积分, 即

它显然也是的一个原函数, 由此可知, 将=代入
, 得

需要特别指出的是, 定积分的值是与积分变量用什么字母表示无关的, 即有
,

等。
当定积分上限小于下限时, 我们规定

二．积分的运算
首先要熟练掌握积分的基本公式。
要求掌握直接积分法 凑微分法 分部积分法。
1． 直接积分: 就是直接利用积分基本公式运算积分的方法。一般地, 需要先对被积函数进行一些处理。
例1 求不定积分
解: 对任一个积分, 我们总是试图( 利用各种方法) 将其化成为能够方便地利用基本积分公式, 本例的被积函数是两个初等函数和的乘积, 为了利用幂函数的积分公式, 首先将被积函数如下化简
对与积分公式, 可如下巧妙到记忆和使用。考虑到积分结果中幂函数的幂次与其系数的倒数关系, 在写出积分结果时, 能够先由被积函数 写出幂次的幂函数, 再由其幂次为写出其倒数作为幂函数的系数, 如此再添加任意常数c就可准确地得到幂函数的积分结果, 例如

2.凑微分法
凑微分法的基本思想是”凑微分, 使变量一致”, 使变量一致是指被积函数的自变量与新凑成的积分变量一致。
例2 求不定积分
解: 如上题, 求一个积分, 总是希望能直接利用积分基本公式, 即直接积分法, 尽管可能在此之前需要对被积函数经过一定形式的化简, 现在被积函数也很难那样经过简单代数运算化为 直接应用积分基本公式的积分, 原因在于两个乘积因子均作为幂函数来看待时, 其底不是一致的。一般来讲, 对于不能直接运用直接积分法积分的, 常是试探着利用凑微分方法的可能性。凑微分方法的根本思想是经过简单的微分运算将有关积分变量的积分变换为另一变量( 可能是的函数) 的积分, 而这个积分能够直接利用积分公式求得结果。这就是凑微分法。
令根号下的式子为新变量较为方便, 于是被积函数表示式成为, 为使积分变量改为变量的微分形式, 由微分与导数的计算关系, 得

再将变量还原为变量, 即
原积分
例3 求不定积分。
解: 由导数基本公式可得
, 于是
同样, 亦可由及, 得

原式=
例4 求不定积分
解: 令则
例5 求不定积分
解: 令
《经济数学基础》辅导 积分
分部积分法分部积分法公式
能够利用分部积分法的函数有以下几种: 幂函数乘以指数函数, 设幂函数为; 幂函数乘以对数函数, 设对数函数为; 幂函数乘以正( 余) 弦函数, 设幂函数为; 指数函数乘以正( 余) 弦函数, 任取。
例6 求不定积分
解: 这是一个被积函数为幂函数和指数函数的乘积。符合第一种情况。设

对于再用一次分部积分法 令

原式
例7 求不定积分。
解: 被积函数是幂函数乘以对数函数, 属于第二种情况, 设

例8 求不定积分
解: 被积函数为幂函数乘以正弦函数, 取

对于再用一次分部积分, 有
取

原式
例9 求不定积分
解: 被积函数是指数函数乘以余弦函数, 取

对于再用一次分部积分

将式子右边的移至式子左边, 得

对于定积分的计算, 可由公式

知道, 利用不定积分的方法求出结果, 然后将上下限代入, 计算其差就能够。
自我练习题
1．下列函数中, ( ) 是的原函数。A B C D

2． =＿＿＿＿＿＿＿＿
3. 下列运算中,正确的是( )
A. B.
C D.
4.设是的一个原函数,则有A. B.
C.
D. d
5.( )
A. B. C. D.

6．＿＿＿。
7． 下列等式成立的是( ) 。
A B
C C
8．. 变上限定积分是( )
A 常数 B 函数 C 的一个原函数 D 的全体原函数
9.

10.
11.计算积分
．原式=
=
=
=
12.计算积分
13．计算积分
14．计算积分

矩阵的初等行变换由下列三种变换组成:
（1） 互换矩阵某两行的位置, 称为对换变换。
（2） 用非0常数遍乘矩阵的某一行, 称为倍乘变换;
（3） 将矩阵的某一行遍称一个常数k加到另一行上, 称为倍加变换;
在对矩阵实施初等行变换时, 第三种倍加变换是经常见到, 为了避免分数运算, 尽量使乘倍数的那一行第一个非0元素为1或-1。例如:
化矩阵
为阶梯形。
如果直接操作, 必须将第1行乘加到第2行上; 第1行乘加到第3行上, 才能使第1列的2, 3行的元素化为0。这样作计算量大, 还容易出错。按下面的做法则简单容易:

这样第1行第1列的元素为( -1) , 容易将第1列的其它元素化为0, 有

同样方法, 把第2行第1个非0元素化成1或( -1) :

阶梯形矩阵必须具备两个条件:
（1） 各非0行元素, 它们的列标随着行标的递增而严格增大;
（2） 0行( 如果有的话) 在最下方 。
将一矩阵化成阶梯形矩阵是矩阵运算中最基本的要求, 化矩阵为阶梯形矩阵、 求矩阵的秩、 求逆矩阵和n元线性方程组的解都要将矩阵化成阶梯形。因此将矩阵阶梯化是最基本也是最关键的, 要求熟练掌握。
例1 将下列矩阵化成阶梯形矩阵
( 1) ( 2) 解( 1)

注意: 在由到过程中为了避免出现分数, 先将第3行乘以--3加到第2行使第2行的第一个非0元素为2, 这样再计算就不会出现分数。
(2)
这里在由到过程中同样为避免分数出现第4行乘以-1加到第2行上。
2． 矩阵的秩
矩阵的秩是矩阵的一个重要概念。一个矩阵的阶梯形矩阵的非0行的行数为矩阵的秩。
求矩阵的秩就是求矩阵的阶梯形矩阵, 然后数一下非0行的行数, 即求得矩阵的秩。
例2 求矩阵
的秩
解:

因此因此秩( A) = 4。
例3 设, 求使秩有最小值。
解:
当, 即矩阵A的秩最小, 秩( A) =2。

例4 求矩阵
的秩
解: 对矩阵实施初等行变换, 将其化为阶梯形矩阵。

当c=0, 且d=2时, 秩( A) =2;
当c, 且d2时, 秩( A) =3;
3.求逆矩阵
利用
对矩阵实施初等行变换, 将A化成单位矩阵, 同时I就化成了。
例5．设矩阵

求。
解:

例6 求的逆矩阵。

则

例7 设 , 解矩阵方程。
解: 先求

且
例8 ．解下列矩阵方程

解:
先求

例9 解线形方程组

解:

根据线形方程组解的判定定理, 方程组有解
一般解如下
( 为自由未知量)

例10．求。( 1996~1997)
例11． 就a, B的取值, 讨论线形方程组解的情况。( 1998~1999)
( 解略)
例12． 求奇次线形方程组的一般解。( ~ )
( 解略)
《经济数学基础》辅导 线性方程组
一． 知识点
线性方程组 消元法 线性方程组有解判定定理 线性方程组解的表示
二． 基本要求
1． 了解线性方程组的有关概念, 熟练掌握消元法求线性方程组的一般解;
2． 理解并熟练掌握线性方程组的有解的判定定理。
三．重点: 线性方程组有解的判定定理 求线性方程组的解
三． 重点解析
重点掌握非齐次线性方程组解的情况判定定理及对齐次线性方程组解的情况的推论。
例题1. 线性方程组( ) 。
A．可能有解 B. 有无穷多解 C. 无解 D. 有唯一解。
[解] 线性方程组说明秩( A) =n故AX=0只有唯一解( 零解) 。
正确选项是D。
例题2. 若线性方程组的增广矩阵为( ) 时线性方程组有无穷多解。
A. 1 B. 4 C .2 D. 1/2
[解] 将增广矩阵化成阶梯形矩阵

此线性方程组未知量的个数使, 若它有无穷多解, 则其增广矩阵的秩应小于2, 即, 即正确答案D。
例题3 若非齐次线性方程组有唯一解, 那么有( ) 。
A 秩( A, B) =n B 秩( A) =r
C 秩( A) =秩( A, B) D 秩( A) =秩( A, B) =n
[解] 根据非齐次线性方程组的有解判定定理可知D是正确的。
1． 理解并熟练掌握向性方程组的有解判定定理; 熟练掌握用消元法求线性方程组的一般解。
例题4 求线性方程组

[解] 将增广矩阵化成阶梯形矩阵

因为秩( ) =秩( A) =3, 因此方程组有解。一般解为
( 为自由未知量)
例题5 设线性方程组

问c为何值时, 方程组有解? 若方程组有解时, 求一般解。
[解]
可见, 当c=0时, 方程组有解。

原方程组的一般解为
为自由未知量)

一 填空题, 选择题
1.设A, B, C, X是同型矩阵, B可逆, 且( A+X) B=C, 则X=________。( )
2．设, 则________, =_______。
3．设A是矩阵, B是矩阵, 则下列运算能进行的是( ) C
A AB B C BA D
4．下列说法正确的是( ) , 其中A, B是同阶方阵。C
A. 若AB=O, 则A=O或B=O B .AB=BA C. 若 AB=I 则BA=I D. A+AB=A( 1+B)
5.若A, B是同阶的可逆矩阵, 则下列说法( ) 是错误的。D
A 也是可逆矩阵, 且
B 若AB=I, 则
C 也可逆, 且
D AB也可逆, 且
6．设A为矩阵, B为矩阵, 若AB与BA都能够进行运算, 则有关系式_____。 ( )
7．设A是对称矩阵, 则a=___, b=____, c=____。
8．设A是4阶方阵, 秩( A) =3, 则( ) 。C
A．A可逆。 B .A有一个0行 C.A的阶梯阵有一个0行 .D .A至少有一个0行
9. 线性方程组AX=B的增广矩阵化成阶梯形矩阵后为

则当c=_______, d=_______时, 方程组无解; 当c=______, d=_______时, 方程组有唯一解; 当c=______, d=_______时, 方程有无穷多解。( 无解; 任意时, 有唯一解; 时, 有无穷多解)
10.若线性方程组AX=B( ) 有唯一解, 则AX=O______解。( 只有0解)
11．若线性方程组AX=B有无穷多解, 则AX=0( ) 。BB .有非0解
12.设A为矩阵, B是矩阵 若乘积矩阵有意义, 则C为矩阵。
13．设A, B, C均为n阶矩阵, 则下列结论或等式成立的是C．
14．n元线性方程组AX=B有无穷多解的充分必要条件是A 15．设A, B为同阶可逆矩阵, 则下列等式成立的是
16.设线性方程组AX=B的增广矩阵经过初等行变换化为, 则此线性方程组的一般解中自由未知量个数为1
17.设A, B为两个已知矩阵, 且可逆, 则方程的解)
18．设A, B, C均为n阶矩阵, 则下列结果或等式成立的是B .
1．求矩阵的逆矩阵。
答案:
2、 解: 当a-2=0时且b+1=0时, 亦即a=2, b=-1时, 矩阵有2个非零行, 故矩阵的秩为2。
当a=2, 或时, 矩阵的秩为3。
当时, 对矩阵进行初等行变换则第4行化为0行, 矩阵的秩仍为3。
4．若, 求A。
答案:
5．设, 且满足矩阵方程, 求X。
答案
( 提示: , 等式两边右乘 , 得, 于是)
6．设矩阵A, B满足矩阵方程AX=B, 其中求X。答案:
7．设矩阵, 求矩阵B。答案:

) =
8．设矩阵, 求
答案:
9．解矩阵方程答案:

10．设矩阵 且AX=B, 求X。答案:

11．求齐次线性方程组的一般解。
答案:
12．设线性方程组, 讨论当a, b为何值时, 方程组无解, 有唯一解, 有无穷多解。答案:
当即时, 方程组无解;
当任意, 即任意, 方程组有唯一解;
当, 即, 方程组有无穷多解。
13．设线性方程组
讨论a为何值时方程组有解, 有解时求一般解。答案: 当a=6时, 方程组有解, 且一般解为
14．就a, b的取值, 讨论线性方程组 解的情况。案: 当即 时, 方程组无解; 当即 时, 方程组有无穷多解; 当任意, 即任意, 方程组有唯一解。
15．解线性列方程组
答案:
16．解线性方程组
案: