资源描述
高三自评试题
数学（文科）
本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分.共150分.考试时间120分钟．
注意事项：
1．答卷前，考生务必用2B铅笔和0.5毫米黑色签字笔（中性笔）将姓名、准考证号、考试科目、试卷类型填涂在答题卡规定的位置上．
2．第Ⅰ卷每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．答案不能答在试题卷上．
3．第Ⅱ卷必须用0.5毫米黑色签字笔（中性笔）作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应的位置，不能写在试题卷上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带．不按以上要求作答的答案无效．
参考公式：锥体的体积公式为：,其中为锥体的底面积，为锥体的高.
第Ⅰ卷（选择题 共60分）
一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知集合,,如果,则等于 （ ）
A． B． C．或 D．
【答案】C
【解析】,因为，所以或，选C.
2．设复数(其中为虚数单位)，则的虚部为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】，所以，，所以，所以虚部为2，选D.
3．设，则“” 是“且”的（ ）
A．充分不必要条件 B．必要不充分条件
C．充分必要条件 D．即不充分也不必要条件
【答案】B
【解析】令，满足不等式，但此时不满足且，当且时，有成立，所以是且成立的必要不充分条件，选B.
4．已知函数，则的值是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】，所以，因为，所以，所以，选A.
5．设,是两条不同的直线, ,,是三个不同的平面．有下列四个命题：
①若，，，则；
②若，，则；
③ 若，，，则；
④ 若，，，则．
其中错误命题的序号是（ ）
A.①④ B.①③ C.②③④ D.②③
【答案】A
【解析】根据线面垂直的性质和判断可知，②③正确，错误的为①④，选A.
6．执行如图所示的程序框图，若输出的的值为，则图中判断框内①处应填（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】第一次运算为，第二次运算为，第三次运算为，第四次运算为，第五次运算不满足条件，输出，所以，选B.
7．函数的图象上存在不同的三点到原点的距离构成等比数列，则以下不可能成为该数列的公比的数是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】函数等价为，表示为圆心在半径为3的上半圆，圆上点到原点的最短距离为2，最大距离为8，若存在三点成等比数列，则最大的公比应有，即，最小的公比应满足，所以，所以公比的取值范围为，所以选D.
8．以下正确命题的个数为（ ）
①命题“存在，”的否定是：“不存在，”；②函数的零点在区间内； ③ 函数的图象的切线的斜率的最大值是；④线性回归直线恒过样本中心，且至少过一个样本点.
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】①命题的否定为“任意的，”，所以不正确；②因为，又，，所以函数的零点在区间，所以正确；③函数的导数为，当且仅当，即时取等号，所以正确；④线性回归直线恒过样本中心，但不一定过样本点，所以不正确，综上正确的为②③有3个，选D.
9．下图是某赛季甲、乙两名篮球运动员每场比赛得分的茎叶图，则甲、乙两人这几场比赛得分的中位数之和是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】甲的中位数为37，乙的中位数为32，所以甲乙两人的中位数之和为37+32=69，选C.
10．已知函数，,．那么下面命题中真命题的序号是（ ）
①的最大值为 ② 的最小值为
③在上是增函数 ④ 在上是增函数
A．①③ B．①④ C．②③ D．②④
【答案】A
【解析】因为，，所以。函数的导数为，由，解得，又因为，所以，此时函数单调递增，由，解得，又因为，所以，此时函数单调递减，所以①③正确，选A.
11．一个几何体的三视图如图所示，其中正视图是一个正三角形，则这个几何体的 （ ）
A．外接球的半径为 B．表面积为
C．体积为 D．外接球的表面积为
【答案】B
【解析】由三视图可知，这是侧面,高的三棱锥，,所以三棱锥的体积为，设外接球的圆心为O半径为，则，在直角三角形中，,即，整理得，解得半径，所以外接球的表面积为，所以A,C,D都不正确，选B.
12．过双曲线的左焦点作圆的切线，切点为,延长交双曲线右支于点，若,则双曲线的离心率为（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】设双曲线的右焦点为A,则,所以,即,所以是的中点，所以，所以，在直角三角形中，，即，，所以，即离心率为，选C.
第Ⅱ卷（非选择题 共90分）
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．
13．若 .
【答案】
【解析】.
14．已知直线与圆交于、两点，且，其中为坐标原点，则正实数的值为 .
【答案】
【解析】因为，所以,即三角形为直角三角形，所以,所以圆心到直线的距离为，又，所以。
15．设等轴双曲线的两条渐近线与直线围成的三角形区域（包含边界）为，为内的一个动点，则目标函数的最大值为 .
【答案】
【解析】等轴双曲线的渐近线为和，它们和共同围成的三角形区域为，，目标函数等价为，由图象可知当直线经过点C时，直线 的截距最小，此时最大，点C的坐标为，此时。
16．已知函数的定义域为，部分对应值如下表, 的导函数的图象如图所示. 下列关于的命题：
①函数的极大值点为，；
②函数在上是减函数；
③如果当时，的最大值是2，那么的最大值为4；
④当时，函数有个零点；
⑤函数的零点个数可能为0、1、2、3、4个．
其中正确命题的序号是 ．
【答案】①②⑤
【解析】由导数图象可知，当或时，，函数单调递增，当或，，函数单调递减，当和，函数取得极大值，，当时，函数取得极小值,所以①正确；②正确；因为在当和，函数取得极大值，，要使当函数的最大值是4，当，所以的最大值为5，所以③不正确；由知，因为极小值未知，所以无法判断函数有几个零点，所以④不正确，根据函数的单调性和极值，做出函数的图象如图，（线段只代表单调性），根据题意函数的极小值不确定，分或两种情况，由图象知，函数和的交点个数有0,1,2，3,4等不同情形，所以⑤正确，综上正确的命题序号为①②⑤。
三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演
算步骤．
17．（本小题满分12分）
已知向量，设函数.
（Ⅰ）求函数在上的单调递增区间；
（Ⅱ）在中，，，分别是角，，的对边，为锐角，若，，的面积为，求边的长．
18．（本小题满分12分）
一汽车厂生产A,B,C三类轿车,每类轿车均有舒适型和标准型两种型号,某月的产量如表所示(单位:辆)，若按A,B,C三类用分层抽样的方法在这个月生产的轿车中抽取50辆,则A类轿车有10辆.
（Ⅰ）求z的值；
轿车A
轿车B
轿车C
舒适型
100
150
z
标准型
300
450
600
（Ⅱ）用随机抽样的方法从B类舒适型轿车中抽取8辆,经检测它们的得分如下: 9.4, 8.6, 9.2, 9.6, 8.7, 9.3, 9.0, 8.2. 把这8辆轿车的得分看作一个总体,从中任取一个分数.记这8辆轿车的得分的平均数为，定义事件{，且函数没有零点}，求事件发生的概率.
19．（本小题满分12分）
如图，在多面体中，四边形是正方形，，，，.
（Ⅰ）求证：面面；
（Ⅱ）求证：面.
20．（本小题满分12分）
已知集合,，设是等差数列的前项和,若的任一项,且首项是中的最大数, .
（Ⅰ）求数列的通项公式;
（Ⅱ）若数列满足，
求的值.
21．（本小题满分12分）
已知函数.
（Ⅰ）若曲线经过点，曲线在点处的切线与直线垂直，求的值；
（Ⅱ）在（Ⅰ）的条件下，试求函数（为实常数，）的极大值与极小值之差；
（Ⅲ）若在区间内存在两个不同的极值点，求证：.
22．（本小题满分14分）
设,分别是椭圆：的左、右焦点，过作倾斜角为的直线交椭圆于,两点, 到直线的距离为,连结椭圆的四个顶点得到的菱形面积为.
（Ⅰ）求椭圆的方程；
（Ⅱ）过椭圆的左顶点作直线交椭圆于另一点.
(ⅰ)若点是线段垂直平分线上的一点,且满足,求实数的值;
(ⅱ)过作垂直于的直线交椭圆于另一点，当直线的斜率变化时,直线是否过轴上的一定点，若过定点，请给出证明，并求出该定点坐标；若不过定点，请说明理由．
高三自评试题
数学 (文科) 参考答案及评分标准
一、选择题：本大题共12小题．每小题5分，共60分．
C D B A A B D D C A B C
二、填空题：本大题共4小题，每小题4分，共16分．
13. 14. 15. 16. ①②⑤
三、解答题：本大题共6小题，共74分，解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演
算步骤．
17．（本小题满分12分）
解：（Ⅰ）由题意得
………………………………………………………………………3分
令,
解得：，
，，或
所以函数在上的单调递增区间为，…………………6分
（Ⅱ）由得：
化简得：
又因为，解得：…………………………………………………………9分
由题意知：，解得，
又,所以
故所求边的长为. ……………………………………………………………………12分
18. （本小题满分12分）
解：(Ⅰ)设该厂本月生产轿车为辆,由题意得:,所以. =2000-100-300-150-450-600=400 ………………………………4分
(Ⅱ) 8辆轿车的得分的平均数为
…………………………………………6分
把8辆轿车的得分看作一个总体,从中任取一个分数对应的基本事件的总数为个,
由，且函数没有零点
………………………………………………10分
发生当且仅当的值为：8.6, 9.2, 8.7, 9.0共4个,
……………………………………………………………………12分
19．（本小题满分12分）
证明：（Ⅰ）四边形为正方形, ,
…………………………………2分
………………………………4分
，面
又面，面面 ………………………………6分
（Ⅱ）取的中点，连结，，
，，
四边形为平行四边形
面，面
面……………………8分
，，
四边形为平行四边形，且
又是正方形，，且
为平行四边形，,面，面
面 ………………………………………………………………………10分
，面面
面，面 ………………………………………………12分
20．（本小题满分12分）
解: （Ⅰ）由题设知: 集合中所有元素可以组成以为首项,为公差的递减等差数列；集合中所有的元素可以组成以为首项,为公差的递减等差数列.
由此可得,对任意的,有
中的最大数为,即 …………………………………………………3分
设等差数列的公差为,则,
因为, ,即
由于中所有的元素可以组成以为首项,为公差的递减等差数列,
所以,由，所以
所以数列的通项公式为（） …………………………………8分
（Ⅱ）…………………………………………………………9分
于是有
…………………………12分
21.（本小题满分12分）
解：（Ⅰ），
直线的斜率为，曲线在点处的切线的斜率为,
……①
曲线经过点，
……②
由①②得： ……………………………………………………………………3分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知：，，, 由，或.
当，即或时，，，变化如下表
+
0
-
0
+
极大值
极小值
由表可知：
……………5分
当即时，，，变化如下表
-
0
+
0
-
极小值
极大值
由表可知：
………………7分
综上可知：当或时，；
当时，……………………………………8分
（Ⅲ）因为在区间内存在两个极值点 ，所以，
即在内有两个不等的实根．
∴ …………………………………………………………10分
由 （1）+（3）得：，………………………………………………………11分
由（4）得：，由（3）得：，
，∴．
故 …………………………………………………………………………12分
22．（本小题满分14分）
解：（Ⅰ）设,的坐标分别为,其中
由题意得的方程为:
因到直线的距离为,所以有,解得…………………1分
所以有……………………①
由题意知: ,即……②
联立①②解得:
所求椭圆的方程为 …………………………………………4分
（Ⅱ）由（Ⅰ）知:, 设
根据题意可知直线的斜率存在，可设直线斜率为,则直线的方程为
把它代入椭圆的方程,消去,整理得:
由韦达定理得,则,，
，线段的中点坐标为………………6分
(ⅰ)当时, 则有,线段垂直平分线为轴
于是
由,解得: ……………………………………………8分
当时, 则线段垂直平分线的方程为
因为点是线段垂直平分线的一点,
令,得:，于是
由,解得:
代入,解得:
综上, 满足条件的实数的值为或 ………………………10分
(ⅱ)设，由题意知的斜率,直线的斜率为，则
由 化简得：．
∵此方程有一根为， 得．…………………………12分
, 则
所以的直线方程为
令，则。
所以直线过轴上的一定点…………………………………………………14分
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