2012高三数学二轮复习-专题阶段评估3练习-理.doc

专题阶段评估(三)
(本栏目内容，在学生用书中以活页形式分册装订！)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．要证：a2＋b2－1－a2b2≤0，只要证明(　　)
A．2ab－1－a2b2≤0　　　　　　 B．a2＋b2－1－≤0
C.－1－a2b2≤0 D．(a2－1)(b2－1)≥0
解析：　因为a2＋b2－1－a2b2≤0⇔(a2－1)(b2－1)≥0，故选D.
答案：　D
2．设a，b∈R，若b－|a|>0，则下列不等式中正确的是(　　)
A．a－b>0 B．a＋b>0
C．a2－b2>0 D．a3＋b3<0
解析：　由b>|a|，可得－b<a<b.由a<b，可得a－b<0，所以选项A错误．由－b<a，可得a＋b>0，所以选项B正确．由b>|a|，两边平方得b2>a2，则a2－b2<0，所以选项C错误．由－b<a，可得－b3<a3，则a3＋b3>0，所以选项D错误．故选B.
答案：　B
3．若等比数列{an}满足anan＋1＝16n，则公比为(　　)
A．2 B．4
C．±2 D．±4
解析：　由anan＋1＝16n，知a1a2＝16，a2a3＝162，后式除以前式得q2＝16，∴q＝±4.
∵a1a2＝a12q＝16>0，∴q>0，∴q＝4.
答案：　B
4．等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a5＋a7＝4，a6＋a8＝－2，则当Sn取最大值时，n的值是(　　)
A．5 B．6
C．7 D．8
解析：　依题意得2a6＝4,2a7＝－2，a6＝2>0，a7＝－1<0；又数列{an}是等差数列，因此在该数列中，前6项均为正数，自第7项起以后各项均为负数，于是当Sn取最大值时，n＝6，选B.
答案：　B
5．给出下面类比推理命题(其中Q为有理数集，R为实数集，C为复数集)：
①“若a，b∈R，则a－b＝0⇒a＝b”类比推出“若a，b∈C，则a－b＝0⇒a＝b”；
②“若a，b，c，d∈R，则复数a＋bi＝c＋di⇒a＝c，b＝d”类比推出“若a，b，c，d∈Q，则a＋b＝c＋d⇒a＝c，b＝d”；
③若“a，b∈R，则a－b>0⇒a>b”类比推出“若a，b∈C，则a－b>0⇒a>b”．其中类比结论正确的个数是(　　)
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：　①②正确，③错误．因为两个复数如果不全是实数，不能比较大小．故选C.
答案：　C
6．设a，b为实数，则“0＜ab＜1”是“b＜”的(　　)
A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件
C．充分必要条件 D．既不充分也不必要条件
解析：　∵0＜ab＜1，∴a，b同号，且ab＜1.
∴当a＞0，b＞0时，b＜；当a＜0，b＜0时，b＞.
∴“0＜ab＜1”是“b＜”的不充分条件．
而取b＝－1，a＝1，显然有b＜，但不能推出0＜ab＜1，
∴“0＜ab＜1”是“b＜”的不必要条件．
答案：　D
7．已知f(x)＝，则f(x)>－1的解集为(　　)
A．(－∞，－1)∪(0，＋∞) B．(－∞，－1)∪(0,1)∪(1，＋∞)
C．(－1,0)∪(1，＋∞) D．(－1,0)∪(0,1)
解析：　依题意，若>－1，则x>0且x≠1；
若>－1，则x<－1，
综上所述，x∈(－∞，－1)∪(0,1)∪(1，＋∞)，选B.
答案：　B
8．设Sn为等差数列{an}的前n项和，若a1＝1，公差d＝2，Sk＋2－Sk＝24，则k＝(　　)
A．8 B．7
C．6 D．5
解析：　∵Sk＋2－Sk＝ak＋1＋ak＋2＝a1＋kd＋a1＋(k＋1)d＝2a1＋(2k＋1)d＝2×1＋(2k＋1)×2＝4k＋4＝24，∴k＝5.
答案：　D
9．关于等比数列{an}给出下述命题：
①数列an＝10是公比q＝1的等比数列；
②n∈N＋，则an＋an＋4＝an＋22；
③m，n，p，q∈N＋，m＋n＝p＋q，则am·an＝ap·aq；
④Sn是等比数列(q≠－1)的前n项和，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比数列，其中的真命题是(　　)
A．①②③ B．①②④
C．①③④ D．②③④
解析：　①③显然正确，②中应为anan＋4＝an＋22，④Sn是等比数列的前n项和，则Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成公比为qn的等比数列，故也正确．
答案：　C
10．若不等式f(x)＝ax2－x－c＞0的解集为{x|－2＜x＜1}，则函数y＝f(－x)的图象为(　　)

解析：　依题意有，解得，
∴f(x)＝－x2－x＋2.
∴f(－x)＝－x2＋x＋2，开口向下，
与x轴交点为(2,0)，(－1,0)．
故应选B.
答案：　B
11．设变量x，y满足约束条件，且目标函数z1＝2x＋3y的最大值为a，目标函数z2＝3x－2y的最小值为b，则a＋b＝(　　)
A．10 B．－2
C．8 D．6

解析：　如图，作出不等式组表示的可行域，显然当直线z1＝2x＋3y经过点C(1,2)时取得最大值，最大值为a＝2×1＋3×2＝8，当直线z2＝3x－2y经过点B(0,1)时取得最小值，最小值为b＝0－2×1＝－2，故a＋b＝8－2＝6.故选D.
答案：　D
12．已知a、b、c都是正实数，且满足log9(9a＋b)＝log3，则使4a＋b≥c恒成立的c的取值范围是(　　)
A. B．[0,22)
C．[2,23) D．(0,25]
解析：　因为a、b都是正数，log9(9a＋b)＝log3，
所以log3(9a＋b)＝log3(ab)，故9a＋b＝ab，即＋＝1，
所以4a＋b＝(4a＋b)＝13＋＋
≥13＋2＝25，
当且仅当＝，即b＝6a时等号成立．而c>0，所以要使4a＋b≥c恒成立，则0<c≤25.
答案：　D
二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．请把正确答案填在题中横线上)
13．不等式≤3的解集为________．
解析：　原不等式等价于－3≤0⇔≤0⇔≥0⇔x(2x－1)≥0且x≠0，解得x≥或x<0.
答案：　
14．在公差为d(d≠0)的等差数列{an}中，若Sn是{an}的前n项和，则S20－S10，S30－S20，S40－S30也成等差数列，且公差为100d.类比上述结论，在公比为q(q≠1)的等比数列{bn}中，若Tn是数列{bn}的前n项之积，则有________．
答案：　，，也成等比数列，且公比为q100
15．若不等式4x－2x＋1－a≥0在[1,2]上恒成立，则a的取值范围为________．
解析：　由题得a≤4x－2x＋1在[1,2]上恒成立，即a≤(4x－2x＋1)min＝[(2x－1)2－1]min＝0.
答案：　(－∞，0]
16．(2011·陕西卷)植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米．开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来邻取树苗往返所走的路程总和最小，这个最小值为________米．
解析：　假设20位同学是1号到20号依次排列，使每位同学的往返所走的路程和最小，则树苗需放在第10或第11号树坑旁．此时两侧的同学所走的路程分别组成以20为首项，20为公差的等差数列，所有同学往返的总路程为S＝9×20＋×20＋10×20＋×20＝2 000.
答案：　2 000
三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答时应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(本小题满分10分)下面的数组均由三个数组成，它们是：(1,2,3)，(2,4,6)，(3,8,11)，(4,16,20)，(5,32,37)，…，(an，bn，cn)．
(1)请写出cn的一个表达式；
(2)若数列{cn}的前n项和为Mn，求M10.
解析：　(1)由1,2,3,4,5，…，猜想到an＝n；由2,4,8,16,32，…，猜想到bn＝2n；由每组数都是“前两个之和等于第三个”猜想到cn＝n＋2n.
(2)由(1)得M10＝(1＋2＋…＋10)＋(2＋22＋…＋210)
＝＋＝2 101.
18．(本小题满分12分)已知f(x)＝.
(1)若f(x)>k的解集为{x|x<－3或x>－2}，求k的值；
(2)对任意x>0，f(x)≤t恒成立，求t的范围．
解析：　(1)f(x)>k⇔kx2－2x＋6k<0，
由已知其解集为{x|x<－3或x>－2}，
得x1＝－3，x2＝－2是方程kx2－2x＋6k＝0的两根，
所以－2－3＝，即k＝－.
(2)∵x>0，f(x)＝＝≤，
由已知f(x)≤t对任意x>0恒成立，故t≥.
19．(本小题满分12分)(2011·辽宁卷)已知等差数列{an}满足a2＝0，a6＋a8＝－10.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)求数列的前n项和．
解析：　(1)设等差数列{an}的公差为d，由已知条件可得解得
故数列{an}的通项公式为an＝2－n.
(2)设数列的前n项和为Sn，
即Sn＝a1＋＋…＋，
故S1＝1，＝＋＋…＋，
所以，当n＞1时，
＝a1＋＋…＋－
＝1－－
＝1－－
＝，
所以Sn＝.
综上，数列的前n项和Sn＝.
20．(本小题满分12分)若x，y满足约束条件
(1)求目标函数z＝x－y＋的最值．
(2)若目标函数z＝ax＋2y仅在点(1,0)处取得最小值，求a的取值范围．
解析：　(1)可求得A(3,4)，B(0,1)，C(1,0)．
平移初始直线x－y＝0，过A(3,4)取最小值－2，过C(1,0)取最大值.
∴z的最大值为，最小值为－2.
(2)直线ax＋2y＝z仅在点(1,0)处取得最小值，
由图象可知－1<－<2，
即－4<a<2.
21．(本小题满分12分)已知等差数列{an}的前n项和为Sn，且S10＝55，S20＝210.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝，是否存在m、k(k>m≥2，m，k∈N*)，使得b1、bm、bk成等比数列．若存在，求出所有符合条件的m、k的值；若不存在，请说明理由．
解析：　(1)设等差数列{an}的公差为d，则Sn＝na1＋d.
由已知，得
即，解得
所以an＝a1＋(n－1)d＝n(n∈N*)．
(2)假设存在m、k(k>m≥2，m，k∈N*)，使得b1、bm、bk成等比数列，则bm2＝b1bk.
因为bn＝＝，
所以b1＝，bm＝，bk＝.
所以2＝×.
整理，得k＝.
以下给出求m、k的方法：
因为k>0，所以－m2＋2m＋1>0，
解得1－<m<1＋.
因为m≥2，m∈N*，
所以m＝2，此时k＝8.
故存在m＝2，k＝8，使得b1、bm、bk成等比数列．
22．(本小题满分12分)对于给定数列{cn}，如果存在实常数p，q使得cn＋1＝pcn＋q对于任意n∈N*都成立，我们称数列{cn}是“M类数列”．
(1)若an＝3n，bn＝2·3n，n∈N*，则数列{an}，{bn}是否为“M类数列”？若是，求出它对应的实常数p，q，若不是，请说明理由；
(2)若数列{an}满足a1＝2，an＋an＋1＝2·3n(n∈N*)，试求数列{an}的前2n项和S2n，并判断数列{an}是否为“M类数列”，并说明理由．
解析：　(1)∵an＝3n，∴an＋1＝3n＋3＝an＋3，n∈N*，
∴数列{an}是“M类数列”，对应的实常数p，q分别为1,3.
∵bn＝2·3n，∴bn＋1＝2·3n＋1＝3bn，n∈N*.
∴数列{bn}是“M类数列”，对应的实常数p，q分别为3,0.
(2)∵an＋an＋1＝2·3n(n∈N*)，
∴a1＋a2＝2·31，a3＋a4＝2·33，…，a2n－1＋a2n＝2·32n－1，
故数列{an}的前2n项和
S2n＝(a1＋a2)＋(a3＋a4)＋…＋(a2n－1＋a2n)
＝2(31＋33＋…＋32n－1)＝＝(32n－1)．
若数列{an}是“M类数列”，则存在实常数p，q使得an＋1＝pan＋q对任意n∈N*都成立，
且有an＋2＝pan＋1＋q对任意n∈N*都成立，
因此an＋1＋an＋2＝p(an＋an＋1)＋2q对任意n∈N*都成立，
而an＋an＋1＝2·3n(n∈N*)，且an＋1＋an＋2＝2·3n＋1(n∈N*)，
则有2·3n＋1＝2·p·3n＋2q对任意n∈N*都成立，
即2·3n(3－p)＝2q对任意n∈N*都成立，
可以得到3－p＝0，q＝0，即p＝3，q＝0.
∴数列{an}也是“M类数列”，对应的实常数p，q分别为3,0.

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