江苏省南京九中2013届高三第二学期二模模拟数学试卷.doc

南京九中2013届高三第二学期二模模拟
数学试卷
一、填空题：本大题共14小题，每小题5分，共70分.请把答案填写在答题卡相应位置上.
1、若，且为纯虚数，则实数 ．
解析：为纯虚数，故得．
2、设集合，则 ．（2,3）
3、某市高三数学抽样考试中，对分及其以上的成绩情况进行统计，其频率分布直方图如右下图所示，若分数段的人数为人，则分数段的人数为 ．
分数

解析：根据直方图，组距为，在内的，所以频率为，因为此区间上的频数为，所以这次抽考的总人数为．因为内的，所以频率为，设该区间的人数为，则由，得，即分数段的人数为．
4、已知在平面直角坐标系中，不等式组表示的平面区域面积是9，则常数的值为_________．1
5、已知一颗骰子的两面刻有数字1，两面刻有数字2，另两面刻有数字3，现将骰子连续抛掷3次，则三次的点数和为3的倍数的概率为______．
6、已知某算法的流程图如右图所示，则输出的最后一个数组为_________．

7、圆柱形容器的内壁底半径是cm，有一个实心铁球浸没于容器的水中，若取出这个铁球，测得容器的水面下降了cm，则这个铁球的表面积为 ▲ ..
8、若方程仅有一个实根，那么的取值范围是 ▲ .
或
9、若实数、满足，则的最大值是 ▲ ．4
10、若椭圆的左、右焦点分别为、，线段被抛物线的焦点分成两段，则此椭圆的离心率为 ．
解析：根据题意，可得，解得．
11.已知变量，则的最小值为 ▲ .
9
12、当时，恒成立，则实数的取值为 ．

13．如图，两射线互相垂直，在射线上取一点使的长为定值，
在射线的左侧以为斜边作一等腰直角三角形．在射线上各有一个动点满足与的面积之比为，
则的取值范围为________________．

14．已知定义在上的函数和满足，，．令，则使数列的前项和超过15/16的最小自然数的值为 　　 ．
5
解题探究：本题主要考查函数与导数以及等比数列的定义、通项公式与前项和公式等基础知识，考查运算能力以及灵活地运用所学知识分析问题、解决问题的能力．求解本题，关键在于根据题设条件求出的值，从而得到数列的通项公式．
解析：∵，且，∴，从而有，
又，知为减函数，于是得，，由于，故得使数列的前项和超过的最小自然数．
二、解答题：本大题共6小题，共90分.请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
15．（本小题满分14分）
已知函数．]
（1）求函数的最小值和最小正周期；
（2）设的内角、、的对边分别为，，，且，，若
，求，的值．
15. 解：（1），…………3分
则的最小值是－2， …………5分
最小正周期是； …………7分
（2），则，
，
，， …………10分
，由正弦定理，得，① …………11分
由余弦定理，得，即， ②
由①②解得． …………14分
16．（本小题满分14分）
在直三棱柱中，AC=4,CB=2,AA1=2，，E、F分别是
的中点．
（1）证明：平面平面；
（2）证明：平面ABE；
（3）设P是BE的中点，求三棱锥的体积．
A
B
C
E
F
P

16.（1）证明：在，∵AC=2BC=4,
∴，∴，∴
由已知， ∴
又∵ …………5分
（2）证明：取AC的中点M，连结
在,
而，∴直线FM//平面ABE
在矩形中，E、M都是中点，∴
而，∴直线
又∵ ∴
故 …………………………10分
（或解：取AB的中点G，连结FG，EG，证明 EG，从而得证）
（3）取的中点，连结，则且，
由（1），∴，
∵P是BE的中点，
∴…………………………………14分

17、（本小题满分14分）
某工厂生产一种仪器的元件，由于受生产能力和技术水平的限制，会产生一些次品，根据经验知道，其次品率与日产量（万件）之间大体满足关系：
（其中为小于6的正常数）
（注：次品率=次品数/生产量，如表示每生产10件产品，有1件为次品，其余为合格品）
已知每生产1万件合格的仪器可以盈利2万元，但每生产1万件次品将亏损1万元，故厂方希望定出合适的日产量.
（1）试将生产这种仪器的元件每天的盈利额（万元）表示为日产量（万件）的函数；
（2）当日产量为多少时，可获得最大利润？
解：（1）当时，，
当时，，
综上，日盈利额（万元）与日产量（万件）的函数关系为：
------------------------- 6
（2）由（1）知，当时，每天的盈利额为0
当时，
当且仅当时取等号
所以当时，，此时
当时，由知
函数在上递增，，此时
综上，若，则当日产量为3万件时，可获得最大利润
若，则当日产量为万件时，可获得最大利润 -------------------------14
18．（本小题满分16分）
已知椭圆的离心率为，一条准线．
（1）求椭圆的方程；
（2）设O为坐标原点，是上的点，为椭圆的右焦点，过点F作OM的垂线与以OM为直径的圆交于两点．
①若，求圆的方程；
②若是l上的动点，求证点在定圆上，并求该定圆的方程．
18. 解：（1）由题设：，，，
椭圆的方程为： ………………………… 4分
（2）①由（1）知：，设，
则圆的方程：， ………………………… 6分
直线的方程：， ………………………… 8分
，， ………………………… 10分
，
圆的方程：或 …………… 12分
②解法（一）：设，
由①知：，
即：， ………………………… 14分
消去得：=2
点在定圆=2上． ………………………… 16分
解法（二）：设，
则直线FP的斜率为，
∵FP⊥OM，∴直线OM的斜率为，
∴直线OM的方程为：，
点M的坐标为． …………………………14 分
∵MP⊥OP，∴,
∴
∴=2,点在定圆=2上． …………………………16 分
19．（本小题满分16分）
已知数列是各项均不为的等差数列，公差为，为其前 项和，且满足
，．数列满足，为数列的前n项和．
（1）求数列的通项公式和数列的前n项和；
（2）若对任意的，不等式恒成立，求实数的取值范围；
（3）是否存在正整数，使得成等比数列？若存在，求出所有
的值；若不存在，请说明理由．
19.解：（1）（法一）在中，令，，
得 即 ………………………2分
解得，，
又时，满足， ………………3分
，
． ………………5分
（法二）是等差数列，
． …………………………2分
由，得 ，
又，，则． ………………………3分
(求法同法一)
（2）①当为偶数时，要使不等式恒成立，即需不等式恒成立． …………………………………6分
，等号在时取得．
此时 需满足． …………………………………………7分
②当为奇数时，要使不等式恒成立，即需不等式恒成立． …………………………………8分
是随的增大而增大， 时取得最小值．
此时 需满足． …………………………………………9分
综合①、②可得的取值范围是． ………………………………………10分
（3），
若成等比数列，则，
即． ………………………12分
由，可得，即，
． ……………………………………14分
又，且，所以，此时．
因此，当且仅当， 时，数列中的成等比数列．…16分
[另解：因为，故，即，
，（以下同上）． ……………………………………14分]
20．(本小题满分16分)
已知函数.
( I )若, 求+在[2，3]上的最小值；
( II)若时, , 求的取值范围；
(III)求函数在[1，6]上的最小值.
解:(1)因为,且[2，3],所以,
当且仅当x=2时取等号,所以在[2，3]上的最小值为
(2)由题意知,当时,,即恒成立所以,即对恒成立,
则由,得所求a的取值范围是
(3) 记,则的图象分别是以(2a-1,0)和(a,1)为顶点开口向上的V型线,且射线的斜率均为.
①当,即时,易知在[1，6]上的最小值为
②当a<1时,可知2a－1<a,所以
(ⅰ)当,得,即时,在[1，6]上的最小值为
(ⅱ)当,得,即时,在[1，6]上的最小值为
③当时,因为2a－1>a,可知,
(ⅰ)当,得,即时,在[1，6]上的最小值为
(ⅱ)当且时,即,在[1，6]上的最小值为
(ⅲ)当时,因为,所以在[1，6]上的最小值
为
综上所述, 函数在[1，6]上的最小值为
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