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三角函数专题讲义
一、终边相同的角：
1、角的顶点在原点，始边在轴的正半轴上，角的终边在第几象限，就说过角是第几象限的角。若角的终边在坐标轴上，就说这个角不属于任何象限，它叫象限界角。
2、①与角终边相同的角的集合：
与角终边在同一条直线上的角的集合： ；
与角终边关于轴对称的角的集合： ；
与角终边关于轴对称的角的集合： ；
与角终边关于轴对称的角的集合： ；
②一些特殊角集合的表示：
终边在坐标轴上角的集合： ；
终边在一、三象限的平分线上角的集合： ；
终边在二、四象限的平分线上角的集合： ；
终边在四个象限的平分线上角的集合： ；
3、象限角：第一象限角： ；
第三象限角： ；
第一、三象限角： ；
4、正确理解角：
“间的角”= ； “第一象限的角”= ；
“锐角”= ； “小于的角”= ；
例1、已知0°<θ<360°，且θ角的7倍角的终边和θ角终边重合，求θ.

例2、已知集合A={第一象限角}，B={锐角}，C={小于90°的角}，下列四个命题：
①A=B=C ②AC ③CA ④A∩C=B,其中正确的命题个数为 ；

例3、若角α是第三象限角，则角的终边在 ，2α角的终边在 .

二、弧度制
1、弧度与角度的互化：
2、弧长公式： ；扇形面积公式： ；
例4、圆的半径变为原来的3倍，而所对弧长不变，则该弧所对圆心角是原来圆弧所对圆心角的 倍.
例5、已知扇形的周长为20 cm,当它的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？

例6、如下图，圆周上点A依逆时针方向做匀速圆周运动.已知A点1分钟转过θ(0＜θ＜π)角，2分钟到达第三象限，14分钟后回到原来的位置，求θ.

三、任意角的三角函数：
1、任意角的三角函数定义：
以角的顶点为坐标原点，始边为轴正半轴建立直角坐标系，角的终边与单位圆的交点为，
则 ； ；
定义拓展：在角的终边上任取一个异于原点的点，点到原点的距离记为，则 ； ； ；
2、各象限角的各种三角函数值正负符号：一全二正弦,三切四余弦

例7、角的终边上一点，则 。
例8、试写出所有终边在直线上的角的集合并指出上述集合中-1800~1800之间的角.

例9、sin2cos3tan4的值 （ ）
(A)大于0 (B)小于0 (C)等于0 (D)不确定
例10、在△ABC中,若cosAcosBcosC<0，则△ABC是（ ）
(A)锐角 (B)直角(C)钝角 (D)锐角或钝角
例11、若sinθ·cosθ＞0, 则θ是第 象限的角;
2、在单位圆中画出角的正弦线、余弦线、正切线；
x
y
O
a
x
y
O
a
x
y
O
a
y
O
a

例12、比较，，，的大小关系： 。

四、同角三角函数的关系与诱导公式：
1、同角三角函数的关系：
平方关系是 商式关系是
例13、已知sinαcosα=,且<α<，则cosα－sinα的值为

例14、已知=,则tanα的值是

例15、若tanθ=,π<θ<π,则sinθ·cosθ的值

例16、若α是三角形的一个内角，且sinα+cosα=,则为

例17、已知tanα=2,则2sin2α－3sinαcosα－2cos2α= ;

例18、设是第二象限角,则=

例19、化简(α为第四象限角）= ;

例20、sinx= ,cosx=,x∈(,π),求tanx

例21、已知关于的方程的两根为和：
（1）求的值； （2）求的值．

2、诱导公式：
： ， ， ；
： ， ， ；
： ， ， ；
： ， ， ；
： ， ， ；
： ， ， ；
： ， ， ；
： ， ， ；
： ， ， ；
诱导公式可用概括为： ， 。
例22、已知sin(π+α)=,且α是第四象限角，则cos(α－2π)的值是

例23、= . 化简= .

例24、sin2(－x)+sin2(+x)= .

例25、是否存在角α、β，α∈(-,)，β∈(0,π)，使等式sin(3π-α)=cos(-β),
cos (-α)=—cos(π+β)同时成立？若存在，求出α、β的值;若不存在，请说明理由.

五、三角恒等变形
1、两角和与差的正弦、余弦和正切公式：
⑴ ；
⑵ ；
⑶ ；
⑷ ；
⑸
（变形：）；
⑹
（变形：）．
2、二倍角的正弦、余弦和正切公式：
⑴ ；
（变形： ； ）
⑵ = =
（变形：，）；
⑶．
3、化一公式：，其中．
例26、化简：=
例27、已知tanα，tanβ是方程两根，且α，β，则α+β等于( )
(A) (B)或 (C)或 (D)
例28、 ( )

例29、求下列各式的值：⑴ ; ⑵tan17°+tan28°+tan17°tan28°

例30、 已知锐角a,b满足cosa=,cos(a+b)=,求cosb.

例31、已知，（1）求的值；（2）求的值

例32、 已知∈,∈且sin(+)=,cos=-.求sin.

例33、化简sin2·sin2+cos2cos2-cos2·cos2.

六、三角函数的图象和性质
1、正弦函数、余弦函数和正切函数的图象与性质：
函
数
性
质

图象

定义域

值域

最值
当 时，；
当时，．
当时，
；
当
时，．
既无最大值也无最小值
周期性

奇偶性
奇函数
偶函数
奇函数
单调性
在
上是增函数；
在
上是减函数．
在上是增函数；
在
上是减函数．
在
上是增函数．
对称性
对称中心

对称轴

对称中心

对称轴

对称中心

无对称轴
2、三角函数的图像变换
(1)先相位后周期：
函数的图象上所有点向左（右）平移个单位长度，得到函数的图象；再将函数的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象；再将函数的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的倍（横坐标不变），得到函数的图象．
(2)先周期后相位：
函数的图象上所有点的横坐标伸长（缩短）到原来的倍（纵坐标不变），得到函数的图象；再将函数的图象上所有点向左（右）平移个单位长度，得到函数的图象；再将函数的图象上所有点的纵坐标伸长（缩短）到原来的倍（横坐标不变），得到函数的图象．
3、函数的性质：
①振幅：；②周期：；③频率：；④相位：；⑤ 初相：．
例34、 对于函数y=sin(π-x），下面说法中正确的是 ( )
(A) 函数是周期为π的奇函数 (B) 函数是周期为π的偶函数
(C) 函数是周期为2π的奇函数 (D) 函数是周期为2π的偶函数
例35、函数值sin1,sin2,sin3,sin4的大小顺序是
例36、函数y=2cosx(0≤x≤2π)的图象和直线y=2围成一个封闭的平面图形，则这个封闭图形的面积是（ ）
(A) 4 (B)8 (C)2π (D)4π
例37、.函数y=cosx的图象向左平移个单位，横坐标缩小到原来的，纵坐标扩大到原来的3倍，所得的函数图象解析式为 ( )
(A) y=3cos(x+) (B) y=3cos(2x+) (C) y=3cos(2x+) (D) y=cos(x+)
例38、要得到函数的图像。可以由诱导公式先把它变成( ) 然后由的图像先向 平移 个单位，再把各点的纵坐标不变，横坐标变为原来的 倍，最后把各点的横坐标不变，纵坐标变为原来的 倍, 就可以得到的图像.
例39、函数部分图象如图所示，则函数为（ ）
A． B．
C． D．

例40、已知f(x)=5sinxcosx-cos2x+（x∈R）
⑴求f(x)的最小正周期；⑵求f(x)单调区间；⑶求f(x)图象的对称轴，对称中心。

例41、已知函数f(x)=cos+2sin·sin.
(1)求函数f(x)的最小正周期和图象的对称轴方程;(2)求函数f(x)在区间上的值域.
七、解三角形
1、内角和定理：三角形三角和为.（）
2、正弦定理：(R为三角形外接圆的半径).
注意正弦定理的一些变式：；
；；
3、余弦定理：.
4、三角形面积公式：（其中为三角形内切圆半径）.
例42、（1）已知△ABC中，a＝4，b＝4，A＝30°，求角B,C 以及边c的值
（2）中，，，求边的长

例43、在中，若，判断的形状

例44、在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c，并且a2=b(b+c).
（1）求证：A=2B；（2）若a=b,判断△ABC的形状.

例45、 在△ABC中，a、b、c分别表示三个内角A、B、C的对边，如果（a2+b2）sin（A-B） =（a2-b2）sin（A+B），判断三角形的形状.

例46、 在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，已知a+b=5，c=，
且4sin2-cos2C=.(1)求角C的大小；（2）求△ABC的面积.

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