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热 学 习 题 课 (2010.7.27)

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Ⅰ 教学基本要求
1.了解气体分子热运动的图象。理解理想气体的压强公式和温度公式。通过推导气体压强公式，了解从提出模型、进行统计平均、建立宏观量与微观量的联系到阐明宏观量的微观本质的思想和方法。能从宏观和统计意义上理解压强、温度、内能等概念。了解系统的宏观性质是微观运动的统计表现。
2.了解气体分子平均碰撞频率及平均自由程。
3.了解麦克斯韦速率分布率及速率分布函数和速率分布曲线的物理意义。了解气体分子热运动的算术平均速率、方均根速率。了解波耳兹曼能量分布律。
4.通过理想气体的刚性分子模型，理解气体分子平均能量按自由度均分定理，并会应用该定理计算理想气体的定压热容、定体热容和内能。
5.掌握功和热量的概念。理解准静态过程。掌握热力学过程中的功、热量、内能改变量及卡诺循环等简单循环的效率。
6.了解可逆过程和不可逆过程。了解热力学第二定律及其统计意义。

Ⅱ 内容提要
一、气体动理论(主要讨论理想气体)
1.状态方程 pV=( M/Mmol)RT
pV/T= 常量 p=nkT
2.压强公式

3.平均平动动能与温度的关系

4.常温下分子的自由度
单原子 i=t=3
双原子 i=t+r=3+2=5
多原子 i=t+r=3+3=6
5.能均分定理
每个分子每个自由度平均分得能量 kT/2
每个分子的平均动能
理想气体的内能：E=( M/Mmol) (i/2)RT；
6.麦克斯韦速率分律：

7.平均碰撞次数
8.平均自由程
二、热力学基础
1.准静态过程(略)

2.热力学第一定律
Q= (E2－E1)+A dQ=dE+dA
准静态过程的情况下
dQ=dE+pdV
3.热容 C=dQ/dT
定体摩尔热容 CV,=(dQ/dT)V/ν
定压摩尔热容 Cp,=(dQ/dT)p/ν
比热容比 g=Cp,/CV,
对于理想气体：
CV,=(i/2)R Cp,=[(i/2)+1]R
Cp,-CV,=R g=(i+2)/i
4.几个等值过程的DE、 A、 Q
等体过程 DE= (M/Mmol)CV,DT
A=0 Q=(M/Mmol)CV,DT
等压过程 DE= (M/Mmol)CV,DT
A= p(V2-V1) Q=(M/Mmol)Cp,DT
等温过程 DE=0 A=(M/Mmol)RTln(V2/V1)
Q =(M/Mmol)RTln(V2/V1)
绝热过程 pV g=常量
Q=0 DE= (M/Mmol)CV,DT
A= -(M/Mmol)CV,DT=(p1V1-p2V2)/( g-1)
5.循环过程的效率及致冷系数：
h=A/Q1=1-Q2/Q1 w=Q2/A=Q2/(Q1-Q2)
卡诺循环: hc=1-T2/T1 wc=T2/(T1-T2)
6.可逆过程与不可逆过程(略)
7.热力学第二定律两种表述及其等价性(略)
8.熵 S=klnW
熵增原理 孤立系统中 DS ＞0

Ⅲ 练习九至练习十四参考答案

练习九 理想气体状态方程 热力学第一定律
一.选择题 B A B D B

二.填空题
1. N/V, M/Mmol, N=N0M/Mmol.
2. 体积、温度和压强；分子的运动速度(或分子运动速度、分子的动量、分子的动能).
3. 166J.

三.计算题
1. (1) pV= (M/Mmol)RT
V= M RT /(Mmolp)=0.082m3
(2) 剩下氧气 M ¢= p¢VMmol/( RT¢ )
= (p¢/ p)(T/T ¢) M=0.067㎏
漏出氧气 DM=M－M ¢=0.033㎏

2. (1) 由V=,得p=a2/V2,所以
A=
(2) 由状态方程p1V1/T1= p2V2/T2知
T1/T2=( p1V1)/( p2V2)
= (V1a2/V12)/( V2 a2/V22)
= V2/V1

练习十 等值过程 绝热过程
一.选择题 A D D B C

二.填空题
1. 124.7J, －84.3J, －8.43J/(mol·K).
2. A, DT DE, Q.
3. －4.19×105J, 2.09×103J.

三.计算题
1.(1) V=常量,故 A=0
外界对气体所作的功 A′=–A=0
Q=DE=( M/Mmol)CV(T2－T1)=623J
(2) p=常量
A=p(V2-V1)=( M/Mmol)R(T2-T1)=417J
外界对气体所作的功 A′=–A=–417J
DE=(M/Mmol)CV(T2-T1)=623J
Q=A+DE=1.04´105J
(3)绝热 Q=0
DE=(M/Mmol)CV(T2-T1)=623J
A= -DE=-623J
外界对气体所作的功 A′=–A=623J

2. 绝热 Q=0
因pg－1T－g = 恒量,有
T2=(p2/p1)(g－1)/g T1
故 A=－DE=(M/Mmol)(i/2)R(T1－T2)
=(M/Mmol)(i/2)RT1[1－(p2/p1)(g-1)/g]
=4.74´103J

练习十一 循环过程 热力学第二定律
一.选择题 A B A D C

二.填空题
1. 33.3％; 50％; 66.7％.
2. 200J.
3. V2; (V1/V2)g -1T1; (RT1/V2)(V1/V2)g -1.

三.计算题
1. 单原子分子i=3, CV=3R/2, Cp=5R/2.
ca等温 Ta=Tc
ab等压 Va/Ta=Vb/Tb
Tb=(Vb/Va)Ta=(Vb/Va)Tc
(1)ab等压过程系统吸热为
Qab=(M/Mmol)Cp(Tb-Ta)= (5R/2)(Vb/Va-1) Tc
=-6232.5J
bc等容过程系统吸热为
Qbc=(M/Mmol)CV(Tc-Tb)= (3R/2)(1-Vb/Va)Tc
=3739.5J
ca等温过程系统吸热为
Qca=(M/Mmol)RTcln(Va/Vc)= RTcln2=3456J
(2)经一循环系统所作的净功
A= Qab+ Qbc+ Qca=963J
循环的效率h=A/Q1= A/( Qbc+ Qca)=13.4％

O
p
V
A
B
C
D
E
M
四.1.过C再作一条绝热线CM,过D作一条等容线DM,构成一个循环.因C在绝热线AB的下方,依热力学第二定律,知绝热线不能相交,故M必在绝热线AB的下方,即M在D的下方.因DM为等容线,有
TD＞TA ED＞EM
循环CDMC为正循环,对外作正功,即
A=ACD-ACM＞0
而 QCD=ED-EC+ ACD
QCM=EM-EC+ ACM=0
所以 QCD=QCD-QCM =ED-EM+ ACD- ACM＞0

练习十二 卡诺循环 卡诺定理
一.选择题 D A B A C

二.填空题
1. 500K.
2. 7.8 .
3. 不能, 相交, 1.

三.计算题
1.(1) T1/T2=Q1/Q2
T2=T1Q2/Q1=320K
(2) h=1－Q2/Q1=20%

2. (1) Ada=pa(Va－Vd)= －5.065´10－3J
(2) Eab=(M/Mmol)(i/2)R(Tb-Ta)
= (i/2)(pb－pa)Va=3.039´104J
(3) Abc=(M/Mmol)RTbln(Vc/Vb)
=pbVbln(Vc/Vb)=1.05´104J A=Abc+Ada=5.47´103J
(4) Q1=Qab+Qbc=DEab+Abc=4.09´104J
h=A/Q1=13.4%

练习十三 物质的微观模型 压强公式
一.选择题 C B D A B

二.填空题
1. 1.33×105Pa.
2. 210K; 240K.
3. 质点,忽略不计,完全弹性.

三.计算题
1．(1)因T等,有==6.21×10-21J
=4.83m/s
(2) T=2/(3k)=300K
2．=3kT/2
p=2n/3=2n(3kT/2)/3=nkT= (N/V) kT
=[(M/Mmol)NA/V] kT
=(M/Mmol)RT/V
得pV =(M/Mmol)RT

练习十四 理想气体的内能 分布律 自由程
一.选择题 B C D C C

二.填空题
1. (2), (1) .
2. 1:2:4.
3. 无关， 成正比.

三.计算题
1. (1) n=p/(kT)=2.45×1025m－3
(2) r=mn=mp/(kT)=1.31kg
(3)=5kT/2=1.04×10－20J
(4)设分子所占体积为球体，距离为d
1(m3)=n(4/3)p(d/2)3=p nd3/6
d=[6/(pn)]1/3=[6kT/(pp)]1/3=4.27×10－9m
或设分子所占体积为正方体体，
距离为d，则1(m3)=nd3
d=(1/n)1/3
=(kT/p)1/3=3.44×10－9m

2.
=500000A/3=1
A=3/500000
3000
54.8m/s

Ⅳ 课堂例题
一. 选择题
1.两瓶不同种类的理想气体，它们的温度和压强都相同，但体积不同，则单位体积内的气体分子数n，单位体积内的气体分子的总平动动能(EK/V)，单位体积内的气体质量r，分别有如下关系：
(A) n不同，(EK/V)不同，r 不同．
(B) n不同，(EK/V)不同，r 相同．
(C) n相同，(EK/V)相同，r 不同．
(D) n相同，(EK/V)相同，r 相同．

2.下列各图所示的速率分布曲线，哪一图中的两条曲线能是同一温度下氮气和氦气的分子速率分布曲线？
3.容积恒定的容器内盛有一定量某种理想气体，其分子热运动的平均自由程为，平均碰撞频率为，若气体的热力学温度降低为原来的1/4倍，则此时分子平均自由程和平均碰撞频率分别为
(A) ＝，＝．
(B) ＝，＝．
(C) ＝2，＝2．
(D) ＝，＝．

4.如图所示，一绝热密闭的容器，用隔板分成相等的两部分，左边盛有一定量的理想气体，压强为p0，右边为真空．今将隔板抽去，气体自由膨胀，当气体达到平衡时，气体的压强是(注：Cp/CV)
(A) p0．
(B) p0 / 2．
(C) 2γp0．
(D) p0 / 2γ．

5.1mol理想气体从p－V图上初态a分别经历如图所示的(1) 或(2)过程到达末态b．已知Ta<Tb，则这两过程中气体吸收的热量Q1和Q2的关系是
(A) Q1> Q2>0． (B) Q2> Q1>0．
(C) Q2< Q1<0． (D) Q1< Q2<0．

6.一定量的理想气体，其状态在V－T图上沿着一条直线从平衡态a改变到平衡态b(如图)．
(A) 这是一个等压过程．
(B) 这是一个升压过程．
(C) 这是一个降压过程．
(D) 数据不足，不能判断这是哪种过程
二. 填空题
1.用绝热材料制成的一个容器，体积为2V0，被绝热板隔成A、B两部分，A内储有1 mol单原子分子理想气体，B内储有2 mol刚性双原子分子理想气体，A、B两部分压强相等均为p0，两部分体积均为V0，则(1) 两种气体各自的内能分别为EA＝________；EB＝________；

(2) 抽去绝热板，两种气体混合后处于平衡时的温度为T＝______．
2.有摩尔理想气体，作如图所示的循环过程acba，其中acb为半圆弧，b-a为等压线，pc=2pa．令气体进行a-b的等压过程时吸热Qab，则在此循环过程中气体净吸热量Q_______Qab．(填入：＞，＜或＝)
3.由绝热材料包围的容器被隔板隔为两半，左边是理想气体，右边真空．如果把隔板撤去，气体将进行自由膨胀过程，达到平衡后气体的温度__________(升高、降低或不变)，气体的熵__________(增加、减小或不变)．
4.给定的理想气体(比热容比g为已知)，从标准状态(p0、V0、T0)开始，作绝热膨胀，体积增大到三倍，膨胀后的温度T＝____________，压强p＝__________．
三. 计算题
1. 温度为25℃、压强为1 atm的1 mol刚性双原子分子理想气体，经等温过程体积膨胀至原来的3倍． (普适气体常量R＝8.31 ，ln 3=1.0986)
(1) 计算这个过程中气体对外所作的功．
(2) 假若气体经绝热过程体积膨胀为原来的3倍，那么气体对外作的功又是多少？

2. 见书p283 8.7

3.1 mol双原子分子理想气体作如图的可逆循环过程，其中1－2为直线，2－3为绝热线，3－1为等温线．已知T2 =2T1，V3=8V1 试求：
(1) 各过程的功，内能增量和传递的热量；(用T1和已知常量表示)
(2) 此循环的效率．

4.1 mol 氦气作如图所示的可逆循环过程，其中ab和cd是绝热过程， bc和da为等体过程，已知 V1 = 16.4 L，V2 = 32.8 L，pa = 1 atm，pb = 3.18 atm，pc = 4 atm，pd = 1.26 atm，试求：
(1)在各态氦气的温度．
(2)在态氦气的内能．

(3)在一循环过程中氦气所作的净功． (1 atm = 1.013×105 Pa)

附Ⅴ 力学课堂例题解答

一.选择题 C C C A A C

二.填空题
1. mgb, mgbt.
2. 零 , 正 , 负.
3. , .
4. 3v0 / (2l).
三.计算题

1.略
2略
3.略
4.解：对棒和滑块系统，在碰撞过程中，由于碰撞时间极短，所以棒所受的摩擦力矩<<滑块的冲力矩．故可认为合外力矩为零，因而系统的角动量守恒，即
m2v1l＝－m2v2l＋ ①
碰后棒在转动过程中所受的摩擦力矩为
②
由角动量定理
③
由①、②和③解得