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第六章 广义逆矩阵
当A是n阶方阵，且detA≠0时，A的逆矩阵才存在，此时线性方程组Ax=b的解可以简洁地表示为x=．近几十年来，由于解决各种问题的需要，人们把逆矩阵的概念推广到不可逆方阵或长方矩阵上，从而产生了所谓的广义逆矩阵．这种广义逆矩阵具有通常逆矩阵的部分性质，并且在方阵可逆时，它与通常的逆矩阵相一致；而且这种广义逆矩阵可以给出线性方程组(包括相容的和矛盾的方程组)各种“解”的统一描述．
1920年，E.H.Moore首先以比较抽象的形式给出了广义逆矩阵的概念，由于不知道它的应用，所以一直未受到重视．直到1955年R.Penrose利用四个矩阵方程给出广义逆矩阵的更简便实用的定义后，它才引起普遍关注，并得到迅速发展．目前，广义逆矩阵已形成了一套既系统又完整的理论，并在许多学科得到广泛的应用．
§6.1 广义逆矩阵的概念
定义6.1 设A∈，如果X∈满足下列四个Penrose方程
(1)AXA=A；
(2)XAX=X；
(3)；
(4)
的某几个或全部，则称X为A的广义逆矩阵，满足全部四个方程的广义逆矩阵X称为A的Moore-Penrose逆．
显然，如果A是可逆矩阵，则满足四个Penrose方程．
按照这一定义，可以分为满足一个、二个、三个或四个Penrose方程的广义逆矩阵，一共有类．
以下定理表明，Moore-Penrose逆是存在并且惟一的，从而上述的15类广义逆矩阵都是存在的．
定理6.1 设，则A的Moore-Penrose逆存在且惟一．
证 设rankA＝r．若r＝0，则A是m×n零矩阵，可以验证n×m零矩阵满足四个Penrose方程．若r>0，由定理4．19知，存在m阶酉矩阵U和n阶酉矩阵V使得

其中∑=diag，而是A的非零奇异值．记

则易验证X满足四个Penrose方程，故A的Moore-Penrose逆存在．
再证惟一性．设X，Y都满足四个Penrose方程，则(为了叙述简明，在等号上注明了推演时所依据的方程号)

从而A的Moore-Penrose逆是惟一的．
证毕
需要指出的是只要A不不可逆矩阵，则除Moore-Penrose逆以外的其他14类广义逆矩阵都不是惟一的．
定义6.2 设，若满足Penrose方程中的第(i)，(j)，…，(l)等方程，则称X为A的{i，j，…，l}-逆，记为，其全体记为A{i，j，…，l}．A的惟一的Meore-Penrose逆记为，也称之为A的加号逆．
在上述15类广义逆矩阵中，应用较多的是以下5类：
A{1}， A{1，2}， A{1，3}， A{1，4}，
由于{1}-逆是最基本的，而惟一且同时包含在15类广义逆矩阵集合中，所以与在广义逆矩阵中占有十分重要的地位．以下主要对这两类广义逆矩阵进行讨论．
§6.2 {1}-逆及其应用
一、{1}-逆的计算及有关性质
利用定理4.14的结果可以方便地求出{1}-逆．
定理6.2 设(r>0)，且有和n阶置换矩阵P使得

则对任意矩阵

是A的{1}-逆；当L=O时，X是A的{1，2}-逆．
证 因为

容易验证，由式(6.1)给出的矩阵X满足AXA=A．所以X∈A{1}．
当L=O时，易知式(6.1)的矩阵X还满足XAX=A，故X∈A{1，2}．
证毕
需要指出的是，式(6.1)中矩阵L任意变化时，所得到的矩阵X并非是满足AXA=A的所有矩阵，即只是A{1}的一个子集．
例6．1 已知矩阵，求．
解 4．8已求得
，
使得

从而由式（6．1），得

利用等价标准形可以求出{1}-逆的全体．
定理6．3 设，且和使得

则
，
（6．2）

证 可知

令X=TS．直接验证知AXA=A，即X∈A{1}．反之，若X∈A{1}，
可设

由AXA=A，得

当，而，和为适当阶的任意矩阵时，上式成立．故式(6．2)右边给出了A的所有{1}-逆．
证毕
推论 设，则A有惟一{1}-逆的充分必要条件是m=n，且rankA=n，即A可逆．这个惟一的{1}-逆就是．
下面定理给出了{1}-逆的一些性质．
定理6．4 设，，则
(1)，；
(2)，
其中λ∈C，且
（6．3）
(3)当，时，有；
(4)；
(5)；
(6)的充分必要条件是rankA=m；
(7)的充分必要条件是rankA=n．
证 (1)～(3)由定义直接得到；
(4)rankA＝rank；
(5)与(4)的证明类似；
(6)如果，则由(5)，得

反之，如果rankA=m．则由(5)知，=rankA=m．又是m阶方阵，从而它是可逆矩阵．注意到，两边同乘即得；
同理可证(7)．
证毕
二、{1}-逆的应用
利用{1}-逆可以求解矩阵方程及线性方程组．
定理6.5 设，，．则矩阵方程AXB=D有解的充分必要条件是
(6.4)

其中，，当矩阵方程有解时，其通解为
(任意) (6．5)
证 如果式(6．4)成立，则是AXB=D的解．反之，如果AXB=D有解，则

将式(6．5)代入矩阵方程AXB＝D的左边并利用式(6.4)及｛1｝-逆的定义，可推出等于D，这说明式(6．5)是矩阵方程AXB＝D的解．反之，设是AXB＝D的任一解，则有

它相当于在式(6．5)中取．故式(6．5)给出了AXB＝D的通解．
证毕
推论1 设，，则有

证 由定理6．5可知，AXA＝A的通解为
(任意)
令，代入上式得

证毕
上述推论用某一个给定的，便给出了集合A｛1｝的全部元素．
推论2 设，．则线性方程组Ax＝b有解的充分必要条件是
(6．6)
其中A(1)∈A｛1｝．如果Ax＝b有解，其通解为
(6．7)
从式(6．7)可以看出：Ax＝b的通解由两部分构成，其中是Ax＝b的一个特解，而()y为Ax＝0的通解．
例6．2 用广义逆矩阵方法求解线性方程组

解 令 A=，b=
例6．1已求得A的｛1｝-逆为(取α=β=0)

容易验证

所以线性方程组有解，且通解为

（）
推论2表明，利用某个{1}-逆可以解决线性方程组的求解问题．反之，利用线性方程组的解也可以给出{1}-逆．
定理6．6 设，，．若对于使得线性方程组Ax=b有解的所有b，x=Xb都是解，则．
证 记为A的第j列，则线性方程组Ax=都有解(因为就是解)．由于是线性方程组的解，即

从而

故X∈A｛1｝
证毕
三、由{1}-逆构造其他的广义逆矩阵
利用{1}-逆可以构造出其他的广义逆矩阵．
定理6．7 设，Y，Z∈A{1}．记X＝YAZ，则X∈A{1，2}．
证 由定义直接得到．
证毕
因为在Penrose方程(1)和(2)中，A与X的位置是对称的，所以X∈A{1，2}与A∈X{1，2}是等价的，即A和X总是互为{1，2}-逆，这与通常逆矩阵所具有的性质=A类似，因此也经常称之为自反广义逆矩阵．
引理6．1 设，，且rank(AB)＝rankA．则存在矩阵，使得A＝ABW．
证 将A按列分块为A＝()，考虑线性方程组
(j=1,2,…,n) (6．8)
因为
rank(AB)≤rank(AB，)=rank(AB，)
=rank[A(B，)]≤rankA=rank(AB)
所以rank(AB，)=rank(AB)，即式(6．8)的诸线性方程组都有解，设
(AB) (j=1，2，…，n)， W=()
则有
A=()=AB()=ABW
证毕
在式(6．1)中取L=O，即有X∈A{1，2}，此时rankX=r=rankA．这个结论具有一般性．
定理6．8 设，则的充分必要条件是rankX=rankA．
证 若X∈A{1，2}，则有
rankA=rank(AXA)≤rankX=rank(XAX)≤rankA
即rankX=rankA．
反之，若X∈A{1}，且rankX=rankA．由定理6.4知
rankX=rankA=rank(XA)
从而根据引理6.1，存在矩阵，使得X=XAW，故
XAX=XA(XAW)=XAW=X
即X∈A{1，2}．
证毕
为了构造{1，2，3}-逆和{1，2，4}-逆，要用到与的{1}-逆．
定理6．9 设，，，则
Y={1，2，3}， Z={1，2，4}
证 由定理1.26知
rank()=， rank()=rankA
根据引理6．1，存在，使得
或
于是
AYA=
即Y∈A{1}．由{1}-逆的性质知rankY≥rankA，又有
rankY=rank
故由定理6．8得Y∈A{1，2}．又因为
AY=
=
可见，故Y∈A{1，2，3}．
同理可证Z∈A{1，2，4}．
证毕
定理6．10 设，且．则

证 记．由定理6．7知X∈A{1，2}．又因为

所以
所以

可见X∈A{1，2，3，4}．由于A{1，2，3，4}只含一个元素，故．
证毕
§6．3 Moore-Penrose逆
一、的计算及有关性质
定理6．1给出了利用奇异值分解求的方法．这里给出的利用满秩分解求的方法较为简便．
定理6．11 设(r>0)，且A的满秩分解为
A=FG (，)
则

证 由定理1．26知，rank()=rankG=r，rank()=rankF=r，从而与都是r阶可逆矩阵．记

容易验证X满足四个Penrose方程，故X=．
证毕
推论 设．则当rankA=m时，有

而当rankA=n时，有

例6．3 求下列矩阵的Moore-Penrose逆：
(1)；（2）．
解 （1）例4．9已求得

于是

（2）
由于的惟一性，它所具有的一些性质与通常逆矩阵的性质相仿，归纳如下．
定理6．12 设，则
(1)；
(2)，
(3)，其中λ∈C，且如式(6．3)；
(4)；
(5)；
(6)；
(7)，；
(8)当U和V分别是m阶与n阶酉矩阵时，有

(9)的充分必要条件是rankA=m；
(10)的充分必要条件是rankA=n．
证 只证(6)，其余结论直接利用的定义或仿定理6．4证明．
记，由定理6．9知X∈A{1，2，3}．余下只要验证X满足Penrose方程(4)．因为

上式右边是Hermite矩阵，故，即X∈A{1，2，3，4}，从而．
同理可证．
证毕
应当指出，有关逆矩阵的另外一些性质对于一般不再成立：
对于同阶可逆矩阵A和B有，定理6．12中之(7)表明对矩阵A和，Moore-Penrose逆有类似的性质．但一般来说．该性质不成立．如，设A=(1 1)，B=，于是AB=(1)，而
，，
故

对可逆矩阵A有．当A是长方阵时，与的阶数不等．即使A为方阵，也不一定有．如，设，有，从而
，
可见．
二、在解线性方程组中的应用
利用{1}-逆已经解决了判断线性方程组是否有解及求通解的问题．由于是特殊的{1}-逆，所以相应地有
定理6.13 设，．则线性方程组Ax=b有解的充分必
要条件是

且通解为
（任意） (6．9)
由式(6．9)可知，如果线性方程组Ax＝b有解，则当且仅当，即rankA＝n时解惟一．在实际问题中，常需求出线性方程组的无穷多个解中2-范数最小的解，即

称为线性方程组Ax=b的极小范数解．
定理6．14 设，，且Ax=b有解．则它的惟一极小范数解为．
证 对于式(6．9)给出的Ax=b的通解x，有

可见，即是极小范数解．
再证惟一性．设是Ax=b的极小范数解，则，且
存在，使得

与前面推导过程类似，有

从而，即，从而．
证毕
当线性方程组无解时，往往希望求出它的最小二乘解(见式(3．12))．利用Moore-Penrose逆可以解决这一问题．
定理6.15设，，矛盾方程组Ax=b的全部最小二乘解为
（6.10）
证 由式（6.10）可求得对任意，有

于是这表明式（6.10）给出的z都是Ax=b的最小二乘解。
又设是Ax=b的任一最小二乘解，则有
与前面推导过程类似，有
从而=0，即，可见是线性方程组的解，由于，根据定理6.13知，上述方程组有解，且通解为
故可见式（6.10）给出了Ax=b的全部最小二乘解。
由定理6.15的推证过程可得如下结论。
推论1 设，，则设 是矛盾方程组Ax=b的最小二乘解的充分必要条件是，z 是方程组的解。
推论2 设，，则设 是矛盾方程组Ax=b的最小二乘解的充分必要条件是，z 是方程组的解。
证 若z是Ax=b的最小二乘解，由推论1知，z是的解，于是
即z是的解，则有
证毕
由式（6.10）可见，矛盾方程Ax=b的极小范数最小二乘解或最佳逼近解。
定理6.16 设，，则矛盾方程组Ax=b的唯一极小范数最小二乘解为。
证 由推论1知，Ax=b的极小范数最小二乘解就是的唯一极小范数解，根据定理6.14可求得 证毕
综上所述，可以得到利用Moore-Penrose逆求解线性方程组Ax=b的如下整齐的结论：
（1） Ax=b有解（或相容）的充分必要条件是；
（2） 是相容方程组Ax=b的通解，或是矛盾方程组Ax=b的全部最小二乘解；
（3） 是相容方程组Ax=b的唯一极小范数解，或是矛盾方程组Ax=b的唯一极小范数最小二乘解
例6.4 用广义逆矩阵方法判断线性方程组
是否有解？如果有解，求通解和极小范数解；如果无解，求全部最小二乘解和极小范数最小二乘解。
解 将线性方程组写成矩阵型式Ax=b,其中
例6.3已求得
由于所以方程组无解，全部最小二乘解为

极小范数最小二乘解为
15