微波天线习题与解答.doc

微波与天线习题与解答

1. 一根特性阻抗为50 Ω、长度为0.1875m的无耗均匀传输线, 其工作频率为200MHz, 终端接有负载Zl=40+j30 (Ω), 试求其输入阻抗。
解:由工作频率f=200MHz得相移常数β= 2πf/c = 4π/3。将Zl=40+j30 (Ω), Zc=50 Ω, z = l = 0.1875m及β值代入公式， 有

讨论：若终端负载为复数, 传输线上任意点处输入阻抗一般也为复数,但若传输线的长度合适, 则其输入阻抗可变换为实数, 这也称为传输线的阻抗变换特性。

2.一根75Ω均匀无耗传输线, 终端接有负载Zl=Rl+jXl,欲使线上电压驻波比为3, 则负
载的实部Rl和虚部Xl应满足什么关系？
解: 由驻波比ρ=3, 可得终端反射系数的模值应为

于是

将Zl=Rl+jXl, Zc=75代入上式, 整理得负载的实部Rl和虚部Xl应满足的关系式为(Rl-125)2+Xl2=1002
即负载的实部Rl和虚部Xl应在圆心为(125, 0)、半径为100的圆上, 上半圆对应负载为感抗, 而下半圆对应负载为容抗。

3.设有一无耗传输线, 终端接有负载Zl=40-j30(Ω)
① 要使传输线上驻波比最小, 则该传输线的特性阻抗应取多少？
② 此时最小的反射系数及驻波比各为多少？
③ 离终端最近的波节点位置在何处？
解: ① 要使线上驻波比最小, 实质上只要使终端反射系数的模值最小, 即

其为零, 经整理可得402+302-Z2c=0 Zc=50Ω
将上式对Zc求导, 并令当特性阻抗Zc=50Ω时终端反射系数最小, 驻波比也为最小。
② 此时终端反射系数及驻波比分别为

③ 终端为容性负载, 故离终端的第一个电压波节点位置为

④ 终端负载一定时, 传输线特性阻抗与驻波系数的关系曲线如图所示。其中负载阻抗Zl=40-j30(Ω)。

特性阻抗与驻波系数的关系曲线

4.信源电压为Eg, 信源内阻抗Zg=Rg+jXg, 传输线的特性阻抗为Zc, 总长为l, 终端负载为Zl, 则始端输入阻抗Zin为

信源供给负载功率
求Pmax。

5.设无耗传输线的特性阻抗为50 Ω, 工作频率为300MHz, 终端接有负载Zl=25+j75(Ω), 试求串联短路匹配支节离负载的距离l1及短路支节的长度l2。
解:由工作频率f=300MHz, 得工作波长λ=1m。

终端反射系数 =0.333+j0.667=0.7454e j1.1071

驻波系数

第一波腹点位置
调配支节位置

短路支节的长度

6.设某矩形波导的尺寸为a=8cm, b=4cm; 试求工作频率在3 GHz时该波导能传输的模式。
解: 由 f=3 GHz，得

可见，该波导在工作频率为3GHz时只能传输TE10模。

7.用BJ—48铜波导做成矩形波导谐振腔，a=4.775cm， b=2.215cm，腔内填充聚乙烯介质(εr=2.25, tanδ=4×10-4)，其谐振频率f0=5 GHz。若谐振模式分别为TE101或TE102，其要求腔长应为多少，并求出它们的无载Q值。
解： 当用BJ—48波导传输f0=5GHz的电磁波时，其波数k应为

得到谐振时的腔长l(m=1, n=0)为

当工作在TE101模式时，其腔长应取为

当工作在TE102模式时，其腔长应取为

铜的导电率σ=5.813×107 S/m，则表面电阻为

而

对于TE101模式：
对于TE102模式：
对于TE101和TE102模式其介质损耗的Q值为

对于TE101模式：

对于TE102模式：
8.画出沿z轴放置的电基本振子的E平面和H平面方向图。
解: ① E平面方向图:
在给定r处, Eθ与φ无关; Eθ的归一化场强值为|Eθ|=|sinθ|，这是电基本振子的E平面方向图函数, 其E平面方向图如图(a)所示。
② H平面方向图:
在给定r处, 对于θ=π/2, Eθ的归一化场强值为|sinθ|=1, 也与φ无关。因而H平面方向图为一个圆, 其圆心位于沿z方向的振子轴上, 且半径为1, 如图 (b)所示。

图 (a) 电基本振子E平面方向图； (b) 电基本振子H平面方向图； (c) 电基本振子立体方向图
9.确定沿z轴放置的电基本振子的方向系数。
解:天线方向系数的一般表达式为

由上式可以看出, 要使天线的方向系数大, 不仅要求主瓣窄, 而且要求全空间的旁瓣电平小。电基本振子的归一化方向函数为: |F(θ, φ)|=|sinθ|将其代入方向系数的表达式得

若以分贝表示, 则D=10log101.5=1.76dB。可见, 电基本振子的方向系数是很低的。

10.确定电基本振子的辐射电阻。
解:设不考虑欧姆损耗, 则电基本振子的远区场为
辐射功率为

所以辐射电阻为

11.画出两个沿x方向排列间距为λ/2且平行于z轴放置的振子天线在等幅同相激励时的H面方向图。
解: 由题意知, d=λ/2, ζ=0, H面方向图得到二元阵的H面方向图函数为
画出H面方向图如图 所示。

图 等幅同相二元阵(边射阵)
由图可见, 最大辐射方向在垂直于天线阵轴（即φ=±π/2）方向。 这种最大辐射方向在垂直于阵轴方向的天线阵称为边射式直线阵。这是由于在垂直于天线阵轴（即φ=±π/2）方向, 两个振子的电场正好同相相加, 而在φ=0和φ=π方向上, 由天线元的间距所引入的波程差为λ/2,相应的相位差为180°, 致使两个振子的电场相互抵消, 因而在φ=0和φ=π方向上辐射场为零。

12.画出两个沿x方向排列间距为λ/2 且平行于z轴放置的振子天线在等幅反相激励时的H面方向图。
解: 由题意知, d=λ/2, ζ=π, 二元阵的H面方向图函数为

画出的H面方向图如图所示。 可见方向图也呈“8”字形, 但最大辐射方向在天线阵轴线方向（这种最大辐射方向在阵轴线方向的天线阵称为端射式直线阵）。

图 等幅反相二元阵(端射阵)
这是因为在垂直于天线阵轴（即φ=±π/2）方向, 两个振子的电流反相, 且不存在波程差, 故它们的电场反相抵消, 而在φ=0和φ=π方向上, 由天线元的间距所引入的波程差所产生的相位差正好被电流相位差所补偿, 因而在φ=0和φ=π方向上两个振子的电场就同相相加了。

13.画出两个平行于z轴放置且沿x方向排列的半波振子, 在d=λ/4、ζ=-π/2时的H面和E面方向图。
解: 将d=λ/4、ζ=-π/2 代入公式，得到H面方向图函数为
H面方向图如图所示。由图可见, 在φ =0 时辐射最大, 而在φ =π时辐射为零, 方向图的最大辐射方向沿着阵的轴线（这也是端射阵）。

图 天线阵的H面方向图

将d=λ/4、ζ=π/2代入公式，得到E面方向图函数为

显然, E面的阵方向图函数必须考虑单个振子的方向性。

图 天线阵的E面方向图
由图可见, 单个振子的零值方向在θ=0°和θ=180° 处, 阵因子的零值在θ=270°处, 所以, 阵方向图共有三个零值方向, 即θ=0°、θ=180°、θ=270°, 阵方向图包含了一个主瓣和两个旁瓣。

14.由三个间距为λ/2的各向同性元组成的三元阵, 各元激励的相位相同, 振幅1∶2∶1, 讨论这个三元阵的方向图。

三元二项式阵
解: 这个三元阵可等效为由两个间距为λ/2的二元阵组成的二元阵。 这样, 元因子和阵因子均是一个二元阵。 根据方向图乘积定理，可得三元阵的H面方向图函数为

上述三元阵是天线阵的一种特殊情况, 即这种天线阵没有旁瓣, 称为二项式阵。 在N元二项式阵中, 天线元上电流振幅是按二项式展开的系数Nn分布的, 其中n=0, 1, …, N1。

三元二项式阵的H面方向图

15.间距为λ/2的十二元均匀直线阵
① 求归一化阵方向函数;
② 求边射阵的主瓣零功率波瓣宽度和第一旁瓣电平, 并画出方向图; 
③ 此天线阵为端射阵时, 求主瓣的零功率波瓣宽度和第一旁瓣电平, 并画出方向图。
解:十二元均匀直线阵函数为

其中 ψ=kdcos +ζ

十二元均匀直线阵归一化阵方向图

其第一零点发生在

将阵间距d=λ/2代入上式得ψ=πcos +ζ
对于边射阵, ζ=0, 所以, ψ=πcos 。
第一零点的位置为
第一旁瓣电平为20 lg 0.212=13.5 dB

十二元均匀边射阵方向图
对于端射阵, ζ=π, 所以, ψ=πcos +π。
第一零点的位置为π cos - π =
主瓣零功率波瓣宽度为2Δ =68°
第一旁瓣电平为20 lg 0.212=13.5dB
十二元均匀直线阵的第一旁瓣电平（13.5dB）比五元均匀直线阵的第一旁瓣电平（12dB）仅降低了1.5dB。

十二元均匀端射阵方向图

16.五元边射阵, 天线元间距为λ/2, 各元电流按三角形分布，其比值为1∶2∶3∶2∶1, 确定阵因子和归一化方向图, 并将第一旁瓣电平与均匀五元阵相比较。
解: 五元锥形阵的归一化阵因子为:

上式中, ψ=kd cos +ζ, 而ζ=0, d=λ/2, 所以

五元锥形阵的主瓣发生在ψ=0即 =±π/2处,旁瓣发生在
即 =0、π 处，此时|A(ψ)|=1/9, 其第一旁瓣电平为 19.2dB,而五元均匀边射阵的第一旁瓣电平为12dB,显然不均匀分布直线阵旁瓣电平降低了, 但主瓣宽度却增加了。

非均匀五元阵归一化阵因子方向图

17.利用史密斯圆图，求一段长度为0.1 λ 、终端短路的特性阻抗Zc=50 Ω无损耗传输线的输入阻抗。

18.有一根长度为0.434 λ和特性阻抗等于100 Ω的无损耗传输线，终端接有一个260+j180 Ω的阻抗。试求(a)电压反射系数；(b)驻波比；(c)输入阻抗；(d)线上驻波电压最大点的位置。

19.在一根特性阻抗为50 Ω ，终端接一个未知负载阻抗的无损耗传输线上，测得驻波比为3.0，相邻两个电压最小点之间的距离为20cm，第一个电压驻波最小点距离负载为5cm，试求：(a)反射系数；(b)负载阻抗；(c)等效线的长度和终端电阻，以使其输入阻抗等于Zl。