数列知识点归纳.doc

数列
一、等差数列性质总结

1. 等差数列的定义式：（d为常数）（）；
2．等差数列通项公式：
， 首项:，公差:d
推广： ． 从而；
3．等差中项
（1）如果，，成等差数列，那么叫做与的等差中项．即：或
（2）等差中项：数列是等差数列
4．等差数列的前n项和公式：

（其中A、B是常数，所以当d≠0时，Sn是关于n的二次式且常数项为0）
特别地，当项数为奇数时，是项数为2n-1的等差数列的中间项
（项数为奇数的等差数列的各项和等于项数乘以中间项）
5．等差数列的判定方法
（1） 定义法：若或(常数) 是等差数列．
（2） 等差中项：数列是等差数列．
（3） 数列是等差数列（其中是常数）。
（4）数列是等差数列,（其中A、B是常数）。
6．等差数列的证明方法
定义法：若或(常数) 是等差数列
等差中项性质法：．
7.提醒：
（1）等差数列的通项公式及前和公式中，涉及到5个元素：、、、及，其中、称作为基本元素。只要已知这5个元素中的任意3个，便可求出其余2个，即知3求2。
（2）设项技巧：
①一般可设通项
②奇数个数成等差，可设为…，…（公差为）；
③偶数个数成等差，可设为…，,…（注意；公差为2）
8.等差数列的性质：
（1）当公差时，
等差数列的通项公式是关于的一次函数，且斜率为公差；
前和是关于的二次函数且常数项为0.

（2）若公差，则为递增等差数列，若公差，则为递减等差数列，若公差，则为常数列。

（3）当时,则有，特别地，当时，则有.

（4）若、为等差数列，则都为等差数列，其中
(5) 若{}是等差数列，则 ，…也成等差数列
（6）数列为等差数列,每隔k (k)项取出一项()仍为等差数列

（7）设数列是等差数列，d为公差，是奇数项的和，是偶数项项的和，是前n项的和
当项数为偶数时，则
当项数为奇数时，则

（其中是项数为2n-1的等差数列的中间项）．

（8）、的前和分别为、，则.

（9）等差数列的前n项和，前m项和，则前m+n项和
则

(10) 求的最值
法一：因等差数列前项是关于的二次函数，故可转化为求二次函数的最值，但要注意数列的特殊性。
法二：（1）“首正”的递减等差数列中，前项和的最大值是所有非负项之和
即当 由可得达到最大值时的值．
（2） “首负”的递增等差数列中，前项和的最小值是所有非正项之和。
即 当 由可得达到最小值时的值．
或求中正负分界项
注意：解决等差数列问题时，通常考虑两类方法：
①基本量法：即运用条件转化为关于和的方程；
②巧妙运用等差数列的性质，一般地运用性质可以化繁为简，减少运算量．

二、等比数列性质总结
1、等比数列的定义: ，
注意：（1）．公比一定是由后项比前项（相邻的两项）所得，而不能用前项比后项来求；
（2）．由公比知，等比数列{}中的每一项都不为零；
（3）. 在等比数列中，
当，q >1时，数列是递增数列； 当，，数列是递增数列；
当，时，数列是递减数列； 当，q >1时，数列是递减数列；
当时，数列是常数列； 当时，数列是摆动数列.
（4）若一个数列既为等差数列又为等比数列为非零常数列.
（5）等比数列的奇数项的符号相同；偶数项的符号相同.
2、等比数列的通项公式：
推广为：
注意：(1)等比数列的计算问题中，首项和公比是基本量；
(2) 有以下几种方法可以计算公比
① ② ③
其中，若公式②③中的指数，为偶数，开方求公比，要根据题意选取正确的符号。

3、等比中项：若,,是等比数列，则叫做与的等比中项.
由等比数列的定义可知:.
注意：（1）同号；也是的等比中项；均为非零常数；
（2）任意两数的等比中项不一定存在且不唯一；所以，是,,成等比数列的必要非充分条件；

4、等比数列的性质：
(1) 下标和性质：下标和相等，则对应项的积相等；
使用条件：等式两边项的个数相同，且项数之和相同.
在等比数列，
① 若且，则；反之是否成立？No！
若,则成立吗? NO!
若,则成立吗? YES!
② 从等比数列中抽取等距离（即下标成等差）的项组成的新数列仍是等比数列，如：；
(2) ①若是以为公比的等比数列，则数列，，等也为等比数列，公比分别为，但不一定是等比数列.
② 若数列、为项数相同的等比数列，则也是等比数列.

5、等比数列的判定方法：
(1) 定义法：对于任意，验证为同一常数；
(2) 等比中项法：验证成立；
(3) 通项公式法：验证，其中都为非零常数, .
6、等比数列设元技巧：
（1）三数成等比：设三数为；
（2）四个同符号的数成等比：设四数为

7、等比数列前项和公式：
注意：
（1） 等比数列前项和公式要注意分和两种情况；
（2） 等比数列的通项公式与前项和公式共涉及5个量，，，，，知道其中任意3个量就可求出另外2个量，注意前提条件是；

8、等比数列前项和的的性质：
公比不为－1的等比数列的依次项之和构成的新数列仍为等比数列，如：，，， .

9、等比数列前项和的函数特性：当时，等比数列的前项和公式，其中；
数列为非常值等比数列的充要条件是.

10、等差数列与等比数列间的联系
（1）若是各项为正的等比数列，则是等差数列（）；
（2）若是等差数列，则是等比数列（）

11、等差数列与等比数列的类比
等差数列
等比数列
加法
乘法
减法
除法
乘法
乘方
除法
开方
0
1
三、递推数列求通项
类型1
解法：把原递推公式转化为，利用累加法求解。
类型2
解法：把原递推公式转化为，利用累乘法求解。
类型3 （其中均为常数，）。
解法（待定系数法）：把原递推公式转化为：，其中，再利用换元法转化为等比数列求解。
类型4 递推公式为与的关系式(或).
解法：这种类型一般利用 与消去 或与消去进行求解。

四、数列求和
在解数列求和问题时，要注意观察所给数列的通项，由通项形式上的特点来选取合适的方法进行解答，也要注意分类讨论思想的运用。
第1类：错位相减法（等差等比）
这种方法是在推导等比数列的前n项和公式时所用的方法，这种方法主要用于求数列的前n项和，其中，分别是等差数列和等比数列。
第2类：裂项相消法
裂项法的实质是将数列中的每项（通项）裂成两项（或若干项），使之按某规律组合后，能消去若干项，最终达到求和的目的，通项一般可分解（裂项）如：
1、乘积形式，如：

2、根式形式，如：

第3类：分组求和法（等差等比）
有一类数列，既不是等差数列，也不是等比数列，若将这类数列通项适当拆开，可分为几个等差、等比或常见的数列，然后分别求和，再将每组的和合并即可。
五、数列极限
定义：一般地，如果当项数无限增大时，无穷数列的项无限趋近于某个常数（即无限趋近于），那么就说数列以为极限.记作.
注：（1）不是所有无穷数列都有极限，但如果有极限，则必是一个唯一确定的常数；
（2）改变数列的有限项，不会影响数列的极限存在性.

2、几个常用的数列极限：
（1）C= （C为常数）； （2）= ；
（3）
3、数列极限的四则运算法则： 如果，，那么
； ； 　
特别地，如果是常数，那么，
注：（1）运算法则使用的前提：1)、每一个已知数列都存在极限；2)、这些数列的个数必须是有限的。
（2）上述结论可推广到有限个数列的情形；
（3）数列极限的运算性质的实质：四则运算与极限运算可交换.
4. 常见数列极限类型及求法：
类型1：分式型 ，其中 f(n)，g(n) 都是关于 n 的多项式
方法：分子，分母同除以 n 的最高次幂，再利用
结论：
类型2：指数型数列极限
方法：分子，分母同除以绝对值最大的底数的 n 次方，再利用，
类型3、和（积）式型（由于有无穷多项，所以无法用数列极限的四则运算法则）
方法：对无穷多项的和(或积)求极限一般采用先化简即求和(或积)再求极限

类型4：根式型
方法：分子，分母有理化，再利用

5、当，无穷等比数列存在各项和：

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