高数-大一-上学期知识要点.pdf

1总复习总复习(上上)一、求极限的方法：一、求极限的方法：1、利用运算法则与基本初等函数的极限；、利用运算法则与基本初等函数的极限；、定理、定理 若若,则则lim(),lim()f xAg xB(加减运算加减运算)lim()()f xg xAB(乘法运算乘法运算)lim()()f x g xABg(除法运算除法运算)()0,lim()f xABg xB若推论推论 1:(为正整数为正整数)lim(),lim()lim()nnnf xAf xf xAn推论推论 2:lim()lim()cf xcf x结论结论 1:,lim,mmmmnnxnnamnba xa xaxamnb xb xbxbmn L LL L当当当当当当0 00 01 10 01 11 11 10 01 11 10 0结论结论 2:是基本初等函数，其定义区间为是基本初等函数，其定义区间为 D，若，若，则，则()f x0 xD 00lim()()xxf xf x2、利用等价无穷小代换及无穷小的性质；、利用等价无穷小代换及无穷小的性质；定义定义 1:若若或（或（）0lim()0 xxf xlim()0 xf x则称则称是当是当(或或)时的无穷小时的无穷小.()f x0 xxx 定义定义 2:是自变量在同一变化过程中的无穷小是自变量在同一变化过程中的无穷小:,若若,则称则称与与是是等价等价无穷小无穷小,记为记为.lim1:性质性质 1：有限个无穷小的和也是无穷小：有限个无穷小的和也是无穷小.性质性质 2:有界函数与无穷小的乘积是无穷小有界函数与无穷小的乘积是无穷小.2推论推论 1:常数与无穷小的乘积是无穷小常数与无穷小的乘积是无穷小.推论推论 2:有限个无穷小的乘积也是无穷小有限个无穷小的乘积也是无穷小.定理定理 2(等价无穷小替换定理等价无穷小替换定理)设设,且且存在存在,则则lim .limlimlimlim (因式因式替替换换原原则则)常用等价无穷小常用等价无穷小:sin,tan,arcsin,arctan,xxxxxxxx 2121 cos,1,11,ln 1,xxx exxxxx1ln,xaxa0 x3、利用夹逼准则和单调有界收敛准则；、利用夹逼准则和单调有界收敛准则；准则准则 I(夹逼准则夹逼准则)若数列若数列(n=1,2,)满足下列条件满足下列条件:,nnnxyz(1);(,)nnnyxzn 1 1 2 2 3 3 L L(2),limlimnnnnyza 则数列则数列的极限存在的极限存在,且且.nxlimnnxa 准则准则 II:单调有界数列必有极限单调有界数列必有极限.4、利用两个重要极限。、利用两个重要极限。0sinlim1xxx10lim(1)xxxe1lim(1)xxex5、利用洛必达法则。、利用洛必达法则。未定式为未定式为类型类型.0,0,003 定理定理(时的时的型型):设设xa00(1);lim()lim()0 xaxaf xF x(2)在某在某内内,及及都存在且都存在且;(,)U ao()f x()F x()0F x ()(3)lim()xafxFx 存存在在(或或为为无无穷穷大大)()()limlim()()xaxaf xfxF xFx 则则，二、求导数和微分：二、求导数和微分：1.定义定义导数导数：函数：函数在在处的导数：处的导数：()yf x0 xx0000000()()()()()limlim.xxxf xf xf xxf xfxxxx 函数函数在区间在区间 I I 上的导函数：上的导函数：()yf x0()()()lim.xf xxf xdyf xxdx 函数的微分函数的微分：().dyfx dx2.2.导数运算法则（须记住导数运算法则（须记住 P140P140 导数公式导数公式）函数和差积商求导法则函数和差积商求导法则：函数：函数、可导，则：可导，则：()u x()v x4()()()()u xv xu xv x()()()()()().u x v xu x v xu x v x2()0)uu vuvv xvv反函数求导法则反函数求导法则：若：若的导数存在且的导数存在且，()xy()0y则反函数则反函数的导数也存在且为的导数也存在且为 ()yf x1().()fxy复合函数求导法则复合函数求导法则(链式法则链式法则)：可导，可导，可导，可导，()ux()yf u则则可导，且可导，且()yfx.dydy dudxdu dx隐函数求导法则隐函数求导法则:参数方程求导法则参数方程求导法则:(),()xtyt若若则则.()0t()()dytdxt522()()()1()tdyddd ytdxdxdxdxdtdt3.3.微分运算法则微分运算法则三、求积分：三、求积分：1.概念概念：原函数、不定积分。：原函数、不定积分。定积分是一个数，是一个和的极限形式。定积分是一个数，是一个和的极限形式。1()lim()nbiiaif x dxfx性质性质 1：()0,()()aababaf x dxf x dxf x dx性质性质 2：()()()()bbbaaaf xg x dxf x dxg x dx性质性质 3：()(),().bbaakf x dxkf x dxk是常数性质性质 4：(去绝对值去绝对值,分分()()()ccbbaaf x dxf x dxf x dx 段函数积分段函数积分)性质性质 5：badxba62.计算公式：计算公式：P186 基本积分表；基本积分表；P203 常用积分公式；常用积分公式；第一换元法第一换元法(凑微分凑微分)：()()()()()()()uxuxfxx dxfx dxf u du 221arcsinarccos,1111(),2.dxdxdxxdxddxdxxxx 第二换元法：第二换元法：()2.()()()xtf x dxftt dt7 分部积分法：分部积分法：3.()()()()()()u x v x dxu x v xu x v x dxudvuvvdu)(反反对对幂幂指指三三”，前前,后后uv循循环环解出解出;递递推公式推公式有理函数积分：有理函数积分：分部化分部化简简;8混合法混合法(赋值赋值法法+特殊特殊值值法法)确定系数确定系数牛顿莱布尼茨公式：牛顿莱布尼茨公式：4.()()()()()()bbaaf x dxF bF aF xF xf x其中定积分换元法：定积分换元法：5.()()()()baf x dxftt dtab ()=（换元换限，配元（换元换限，配元(凑微凑微)不换限）不换限）定积分分部积分法：定积分分部积分法：6.()()()()()()bbbaaau x v x dxu x v xu x v x dx结论结论(偶倍奇零偶倍奇零)：9 若函数若函数为偶函数，则为偶函数，则。()f x0()2()aaaf x dxf x dx若函数若函数为奇函数，则为奇函数，则()f x()0aaf x dx注意注意:1.利用利用“偶倍奇零偶倍奇零”简化定积分的计算；简化定积分的计算；2.定积分定积分几何意义几何意义求一些特殊的积分求一些特殊的积分(如如)22204aaax dx 变限积分求导变限积分求导四、微分和积分的应用四、微分和积分的应用1.判断函数的单调性、凹凸性、求其极值、拐点、判断函数的单调性、凹凸性、求其极值、拐点、描绘函数图形描绘函数图形 判断单调性：判断单调性：第一步：找使第一步：找使 的点和不可导点。的点和不可导点。()0fx 第二步：以第二步：以驻点和不可导驻点和不可导点划分单调区间，在每个区间上讨论点划分单调区间，在每个区间上讨论的正负，的正负，函数递增，函数递增，()fx()0,fx()0,fx函数递减。函数递减。判断凹凸性：判断凹凸性：第一步：找使第一步：找使的点和不可导点。的点和不可导点。()0fx10 第二步：以这些点划分定义区间，在每个区间上讨论第二步：以这些点划分定义区间，在每个区间上讨论的正的正()fx负，负，是凹区间，是凹区间，是凸区间。，是凸区间。()0fx()0fx（拐点拐点：左右两边：左右两边的符号相反）的符号相反）()fx 判断函数极值：判断函数极值：第一步：找使第一步：找使 的点和不可导点。的点和不可导点。()0fx 第二步：判断这些点两边第二步：判断这些点两边的正负，若的正负，若左正右负左正右负极大值点极大值点()fx左负左负右正右正极小值点。极小值点。2.1 定积分的几何应用定积分的几何应用-求求面积，体积和弧长面积，体积和弧长 y=f上上(x)y=f下下(x)Ox yab 所求图形的面积为所求图形的面积为：()()baSfxfx dx下上Ox y()xy右()xy左cy所求图形的面积为：所求图形的面积为：()()dcSyy dy右左d ydy y11旋转体旋转体：由连续曲线：由连续曲线 y f(x)、直线、直线 x a、x b 及及 x 轴所围成的曲边梯轴所围成的曲边梯形绕形绕 x 轴旋转一周而成的立体。轴旋转一周而成的立体。Oxba yx()yf xy旋转体：由连续曲线旋转体：由连续曲线 、()xy直线直线 y c、y d 及及 y 轴所围曲边梯轴所围曲边梯形绕形绕 y 轴旋转一周而成的立体轴旋转一周而成的立体 2()dcVydy V baf(x)2dxbaf(x)2dx。122.3 定积分的物理应用定积分的物理应用 变力沿直线做功；水变力沿直线做功；水(侧侧)压力；引力压力；引力 思路思路:建立坐标系，选取积分变量建立坐标系，选取积分变量(如如 x)，在，在x,x+dx上给出上给出微元微元第六第六 空间解析几何空间解析几何1.向量向量在坐标轴上的投影分别为：在坐标轴上的投影分别为：xyzaa ia ja krrrr；在坐标轴上的分量分别为：；在坐标轴上的分量分别为：。,xyza aa,xyza i a j a krrr，222|xyzaaaa(cos,cos,cos)|aaearrr2.利用坐标作向量的线性运算利用坐标作向量的线性运算(,),xyzaaaar(,),xyzbb bbr ，abrr(,)xxyyzzababab，ar(,)xyzaaa数量积数量积(数数):13|cos(,)xxyyzza ba ba ba ba ba br rrrr r向量积向量积(向量向量)xyzxyzijka baaabbb rrrrr，且且，构成右手系，构成右手系，a barrra bbrrra brr,a brr(几何意义几何意义:平行四边形的面积平行四边形的面积)|sin(,)a ba ba brrrrr r3向量之间的关系向量之间的关系 abrr0 xxyyzza ba ba ba br r/00yxzxyzxyzxyzijkaaaaba baaabbbbbbrrrrrrr（）4平面图形及其方程平面图形及其方程平面的法向量：和平面垂直的非零向量。平面的法向量：和平面垂直的非零向量。点法式方程：点法式方程：设平面过点设平面过点法向量法向量(其中其中0000(,)Mxyz(,)nA B Cr不全为不全为 0),则平面的方程为则平面的方程为,A B C000()()()0A xxB yyC zz14一般方程：一般方程：0AxByCzD 当当 D=0 时时,A x+B y+C z=0 表示表示 通过原点的平面通过原点的平面;当当 A=0 时时,B y+C z+D=0 表示平行于表示平行于 x 轴的平面轴的平面;Ax+Cz+D=0 表示平行于表示平行于 y 轴的平面轴的平面;Ax+By+D=0 表示平行于表示平行于 z 轴的平面轴的平面Cz+D=0 表示平行于表示平行于 xoy 面面 的平面的平面;Ax+D=0 表示平行于表示平行于 yoz 面面 的平面；的平面；By+D=0 表示平行于表示平行于 zox 面面 的平面的平面设平面设平面1 1的法向量为的法向量为，1111(,)nA B Cu r平面平面2 2的法向量为的法向量为，2222(,)nABCu u r则两平面夹角则两平面夹角 的余弦为的余弦为：。1212cosnnnn平面外一点平面外一点到平面到平面的距离：的距离：000,P xyz0AxByCzD000222AxByCzDdABC5 5空间直线及其方程空间直线及其方程一般方程一般方程：直线可视为两平面交线，其一般式方程为：直线可视为两平面交线，其一般式方程为：1111222200A xB yC zDA xB yC zD15方向向量方向向量:12snnrrr点向式方程点向式方程方向向量方向向量:(,)sm n pr参数方程参数方程 (求交点求交点),1111111pzznyymxxL 0212121ppnnmm,2222222pzznyymxxL212121ppnnmm.:),(1111pnms),(2222pnms 021ss21LL 21/LL021ss2121cosssss pzznyymxx000tpzztnyytmxx000,0DzCyBxACpBnAm :L L/0CpBnAmsin,pzznyymxx L:),(CBAn),(pnms 0 ns0nsnsns 16小结小结:通过通过向量的点积和叉积向量的点积和叉积，将，将对平面和直线的研究对平面和直线的研究转化为转化为法法向量和向量和方向方向向量的研究向量的研究.