资源描述
2022-2023学年九上数学期末模拟试卷
考生请注意：
1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。
2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。
3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。
一、选择题（每题4分，共48分）
1．抛物线y＝(x﹣4)2﹣5的顶点坐标和开口方向分别是( )
A．(4，﹣5)，开口向上 B．(4，﹣5)，开口向下
C．(﹣4，﹣5)，开口向上 D．(﹣4，﹣5)，开口向下
2．若关于的方程有两个相等的实数根，则的值是（ ）
A．-1 B．-3 C．3 D．6
3．已知则（ ）
A． B． C． D．
4．如图，△ABC中，D为AC中点，AF∥DE，S△ABF：S梯形AFED=1：3，则S△ABF：S△CDE=（ ）
A．1：2 B．2：3 C．3：4 D．1：1
5．在Rt△ABC中，∠C=90°，如果，那么的值是( )
A． B． C． D．3
6．如果，那么下列比例式中正确的是（ ）
A． B． C． D．
7．如图，一次函数的图象与反比例函数（为常数且）的图象都经过，结合图象，则不等式的解集是（ ）
A． B．
C．或 D．或
8．-2019的相反数是（ ）
A．2019 B．-2019 C． D．
9．如图，AB是⊙O的切线，B为切点，AO与⊙O交于点C，若∠BAO=40°，则∠OCB的度数为（ ）
A．40° B．50° C．65° D．75°
10．如图，网格中小正方形的边长为1个单位长度，△ABC的顶点均在小正方形的顶点上，若将△ABC绕着点A逆时针旋转得到△AB′C′，点C在AB′上，则的长为（ ）
A．π B． C．7π D．6π
11．如图，为⊙O的直径，弦于，则下面结论中不一定成立的是（ ）
A． B．
C． D．
12．毕业前期，某班的全体学生互赠贺卡，共赠贺卡1980张.设某班共有名学生，那么所列方程为( )
A． B．
C． D．
二、填空题（每题4分，共24分）
13．在一个不透明的盒子中装有8个白球，若干个黄球，它们除颜色不同外，其余均相同．若从中随机摸出一个球，它是白球的概率为，则黄球的个数为______．
14．已知是一元二次方程的一个根，则的值是______.
15．抛物线y＝x2﹣4x的对称轴为直线_____．
16．若点、在同一个反比例函数的图象上，则的值为________．
17．已知一个圆锥底面圆的半径为6cm，高为8cm，则圆锥的侧面积为_____cm1．（结果保留π）
18．如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，点D，E分别是AB，AC的中点，点F是AD的中点．若AB=8，则EF=_____．
三、解答题（共78分）
19．（8分）某大型商场出售一种时令鞋，每双进价100元，售价300元，则每天能售出400双．经市场调查发现：每降价10元，则每天可多售出50双．设每双降价x元，每天总获利y元．
（1）如果降价40元，每天总获利多少元呢？
（2）每双售价为多少元时，每天的总获利最大？最大获利是多少？
20．（8分）如图，已知抛物线y＝﹣+bx+4与x轴相交于A、B两点，与y轴相交于点C，若已知A点的坐标为A（﹣2，0）．
（1）求抛物线的解析式及它的对称轴方程；
（2）求点C的坐标，连接AC、BC并求线段BC所在直线的解析式；
（3）在抛物线的对称轴上是否存在点Q，使△ACQ为等腰三角形？若存在，求出符合条件的Q点坐标；若不存在，请说明理由．
21．（8分）如图，已知，是的中点，过点作.求证：与相切.
22．（10分）如图，已知BC^AC，圆心O在AC上，点M与点C分别是AC与⊙O的交点，点D是MB与⊙O的交点，点P是AD延长线与BC的交点，且AD×AO=AM×AP，连接OP．
（1）证明：MD//OP；
（2）求证：PD是⊙O的切线；
（3）若AD=24，AM=MC，求的值．
23．（10分）计算：2cos30°﹣2sin45°+3tan60°+|1﹣|．
24．（10分）试证明：不论为何值，关于的方程总为一元二次方程.
25．（12分）计算
（1）tan60°﹣sin245°﹣3tan45°+cos60°
（2）+tan30°
26．某校组织了主题为“我是青奥志愿者”的电子小报作品征集活动，先从中随机抽取了部分作品，按，，，四个等级进行评分，然后根据统计结果绘制了如下两幅不 完整的统计图，请根据图中的信息，解答下列问题：
（1）求一共抽取了多少份作品？
（2）此次抽取的作品中等级为的作品有 份，并补全条形统计图；
（3）扇形统计图中等级为的扇形圆心角的度数为 ；
（4）若该校共征集到 800 份作品，请估计等级为的作品约有多少份？
参考答案
一、选择题（每题4分，共48分）
1、A
【解析】根据y＝a（x﹣h）2+k，a＞0时图象开口向上，a＜0时图象开口向下，顶点坐标是（h，k），对称轴是x＝h，可得答案．
【详解】由y＝(x﹣4)2﹣5，得
开口方向向上，
顶点坐标(4，﹣5)．
故选：A．
【点睛】
本题考查了二次函数的性质，利用y＝a（x﹣h）2+k，a＞0时图象开口向上，在对称轴的左侧，y随x的增大而减小，在对称轴的右侧，y随x的增大而增大；a＜0时图象开口向下，在对称轴的左侧，y随x的增大而增大，在对称轴的右侧，y随x的增大而减小，顶点坐标是（h，k），对称轴是x＝h.
2、C
【分析】根据方程有两个相等的实数根，判断出根的判别式为0，据此求解即可．
【详解】∵关于的方程有两个相等的实数根，
∴，
解得：．
故选：C．
【点睛】
本题考查了一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．
3、A
【解析】根据特殊角的三角函数值求解即可.
【详解】∵，
∴，
故选：A.
【点睛】
本题考查了特殊角的三角函数值，比较简单，熟记特殊角的三角函数值是解题的关键.
4、D
【分析】本题考查了平行四边形性质，相似三角形的性质和判定的应用，注意：相似三角形的面积比等于相似比的平方．
【详解】△ABC中，∵AF∥DE，
∴△CDE∽△CAF，
∵D为AC中点，
∴CD：CA=1：2，
∴S△CDE：S△CAF=（CD：CA）2=1：4，
∴S△CDE：S梯形AFED=1：3，
又∵S△ABF：S梯形AFED=1：3，
∴S△ABF：S△CDE=1：1．
故选D．
【点睛】
本题考查了中点的定义，相似三角形的判定与性质，根据相似三角形的性质得出S△CDE：S△CAF=1：4是解题的关键．
5、A
【解析】一个角的正弦值等于它的余角的余弦值．
【详解】∵Rt△ABC中, ∠C=90°，sinA=，
∴cosA===，
∴∠A+∠B=90°，
∴sinB=cosA=.
故选A.
【点睛】
本题主要考查锐角三角函数的定义，根据sinA得出cosA的值是解题的关键.
6、C
【分析】根据比例的性质，若，则判断即可.
【详解】解：
故选：C.
【点睛】
本题主要考查了比例的性质，灵活的利用比例的性质进行比例变形是解题的关键.
7、C
【分析】根据一次函数图象在反比例函数图象上方的的取值范围便是不等式的解集．
【详解】解：由函数图象可知，当一次函数的图象在反比例函数（为常数且）的图象上方时，的取值范围是：或，
∴不等式的解集是或.
故选C．
【点睛】
本题是一次函数图象与反比例函数图象的交点问题：主要考查了由函数图象求不等式的解集．利用数形结合是解题的关键．
8、A
【分析】根据只有符号不同的两个数是互为相反数解答即可.
【详解】解：-1的相反数是1．
故选A．
【点睛】
本题考查了相反数的定义，解答本题的关键是熟练掌握相反数的定义，正数的相反数是负数，0的相反数是0，负数的相反数是正数.
9、C
【详解】∵AB是⊙O的切线，∴AB⊥OA，即∠OBA=90°．
∵∠BAO=40°，∴∠BOA=50°．
∵OB=OC，∴∠OCB=．
故选C．
10、A
【分析】根据图示知∠BAB′＝45°，所以根据弧长公式l＝求得的长．
【详解】根据图示知，∠BAB′＝45°，
的长l＝＝π，
故选：A．
【点睛】
此题考查了弧长的计算、旋转的性质．解答此题时采用了“数形结合”是数学思想．
11、D
【分析】根据垂径定理分析即可．
【详解】根据垂径定理和等弧对等弦，得A. B. C正确，只有D错误.
故选D.
【点睛】
本题考查了垂径定理，熟练掌握垂直于弦(非直径)的直径平分弦且平分这条弦所对的两条弧是解题的关键.
12、D
【分析】根据题意得：每人要赠送（x-1）张贺卡，有x个人，然后根据题意可列出方程：（x-1）x=1．
【详解】解：根据题意得：每人要赠送（x-1）张贺卡，有x个人，
∴全班共送：（x-1）x=1，
故选：D．
【点睛】
此题主要考查了由实际问题抽象出一元二次方程，本题要注意读清题意，弄清楚每人要赠送(x-1)张贺卡，有x个人是解决问题的关键．
二、填空题（每题4分，共24分）
13、1
【解析】首先设黄球的个数为x个，然后根据概率公式列方程即可求得答案．
解：设黄球的个数为x个，
根据题意得：=2/3解得：x=1．
∴黄球的个数为1．
14、0
【分析】将代入方程中，可求出m的两个解，然后根据一元二次方程的定义即可判断m可取的值.
【详解】解：将代入一元二次方程中，得
解得：
∵是一元二次方程
∴
解得
故m=0
故答案为：0.
【点睛】
此题考查的是一元二次方程的定义和解，掌握一元二次方程的二次项系数不为0和解的定义是解决此题的关键.
15、x＝1．
【分析】用对称轴公式直接求解.
【详解】抛物线y＝x1﹣4x的对称轴为直线x＝=﹣＝1．
故答案为x＝1．
【点睛】
本题主要考查二次函数的性质，掌握二次函数的对称轴公式x＝是本题的解题关键.．
16、
【分析】设反比例函数的解析式为（k为常数，k≠0），把A（3，8）代入函数解析式求出k，得出函数解析式，把B点的坐标代入，即可求出答案．
【详解】解：设反比例函数的解析式为 (k为常数,k≠0)，
把A(3,8)代入函数解析式得：k=24，
即，
把B点的坐标代入得：
故答案为−6.
【点睛】
考查待定系数法求反比例函数解析式，熟练掌握待定系数法是解题的关键.
17、60π
【解析】试题分析：先根据勾股定理求得圆锥的母线长，再根据圆锥的侧面积公式求解即可.
由题意得圆锥的母线长
∴圆锥的侧面积．
考点：勾股定理，圆锥的侧面积
点评：解题的关键是熟练掌握圆锥的侧面积公式：圆锥的侧面积底面半径×母线.
18、2
【详解】解：在Rt△ABC中，∵AD=BD=4，
∴CD=AB=4，
∵AF=DF，AE=EC，
∴EF=CD=2，
故答案为2.
三、解答题（共78分）
19、（1）如果降价40元，每天总获利96000元；（2）每双售价为240元时，每天的总获利最大，最大获利是98000元．
【分析】（1）根据题意即可列式求解；
（2）根据题意，得y=(400+5x)(300－x－100)，根据二次函数的图像与性质即可求解．
【详解】（1）根据题意知：每降价1元，则每天可多售出5双，
∴(400+5×40)×(300－40－100)
=600×160
=96000(元)
答：如果降价40元，每天总获利96000元．
（2）根据题意，得
y=(400+5x)(300－x－100)
=－5x2+600x+80000
=－5(x—60)2+98000
∵a =－5，开口向下，y有最大值，∴当x=60时，即当售价为300—60=240元时，
y有最大值 =98000元
答：每双售价为240元时，每天的总获利最大，最大获利是98000元．
【点睛】
此题主要考查二次函数的应用，解题的关键是根据题意写出函数关系式．
20、（1）y=-x2+x+2，x=1；（2）C（0，2）；y=−x+2；（1）Q1（1，0），Q2（1，2+），Q1（1，2-）．
【分析】（1）利用待定系数法求出抛物线解析式，利用配方法或利用公式x=−求出对称轴方程；
（2）在抛物线解析式中，令x=0，可求出点C坐标；令y=0，可求出点B坐标．再利用待定系数法求出直线BD的解析式；
（1）本问为存在型问题．若△ACQ为等腰三角形，则有三种可能的情形，需要分类讨论，逐一计算，避免漏解．
【详解】解：（1）∵抛物线y=-x2+bx+2的图象经过点A（-2，0），
∴-×（-2）2+b×（-2）+2=0，
解得：b=，
∴抛物线解析式为 y=-x2+x+2，
又∵y=-x2+x+2=-（x-1）2+，
∴对称轴方程为：x=1．
（2）在y=-x2+x+2中，令x=0，得y=2，
∴C（0，2）；
令y=0，即-x2+x+2=0，整理得x2-6x-16=0，解得：x=8或x=-2，
∴A（-2，0），B（8，0）．
设直线BC的解析式为y=kx+b，
把B（8，0），C（0，2）的坐标分别代入解析式，得：
，
解得，
∴直线BC的解析式为：y=−x+2．
∵抛物线的对称轴方程为：x=1，
可设点Q（1，t），则可求得：
AC=，
AQ=，
CQ=．
i）当AQ=CQ时，有=，
25+t2=t2-8t+16+9，
解得t=0，
∴Q1（1，0）；
ii）当AC=AQ时，有
t2=-5，此方程无实数根，
∴此时△ACQ不能构成等腰三角形；
iii）当AC=CQ时，有，
整理得：t2-8t+5=0，
解得：t=2±，
∴点Q坐标为：Q2（1，2+），Q1（1，2-）．
综上所述，存在点Q，使△ACQ为等腰三角形，点Q的坐标为：Q1（1，0），Q2（1，2+），Q1（1，2-）．
【点睛】
本题考查二次函数综合题，综合性较强，有一定难度，注意分类讨论是本题的解题关键．
21、详见解析.
【分析】证法一：连接，，，，连接交于点，利用线段垂直平分线的性质和垂径定理的推论证明垂直平分，然后利用垂径定理和平行线的性质求得，从而使问题得证；证法二：连接，，连接交于点，利用垂径定理的推论得到，，然后利用平行线的性质求得，从而使问题得证；证法三：过点作于点，延长交于点，利用垂径定理的推论得到是的中点，然后判断点与点是同一个点，然后然后利用平行线的性质求得，从而使问题得证.
【详解】证明：证法一：连接，，，，连接交于点.
∵，∴点在的垂直平分线上.
∵是的中点，∴，∴，
∴点在的垂直平分线上，
∴垂直平分，∴，
∵，∴，∴，
∵点为半径的外端点，
∴与相切.
证法二：连接，，连接交于点.
∵是的中点，∴，
∴，∴，∴，
∵，∴，∴，
∵点为半径的外端点，
∴与相切.
证法三：过点作于点，延长交于点，
∴，，∴是的中点，
∵点是的中点，∴点与点是同一个点.
∵，∴，∴，
∵点为半径的外端点，
∴与相切.
【点睛】
本题考查切线的判定及垂径定理的推论，掌握相关定理灵活应用解题是本题的解题关键.
22、（1）证明见解析；（2）证明见解析；（3）．
【分析】（1）根据两边成比例夹角相等两三角形相似证明，然后利用平行线的判定定理即可．
（2）欲证明PD是⊙O的切线，只要证明OD⊥PA即可解决问题；
（3）连接CD．由（2）可知：PC=PD，由AM=MC，推出AM=2MO=2R，在Rt△AOD中，，可得，推出，推出，，由，可得，再利用全等三角形的性质求出MD即可解决问题；
【详解】（1）证明：连接、、．
∵，，
∴，
∴，
∴，
（2）∴，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是的切线．
（3）连接．由（1）可知：，
∵，
∴，
在中，，
∴，
∴，∴，，
∵，
∴，
∵是的中点，
∴，
∴点是的中点，
∴，
∵是的直径，
∴，在中，
∵，，
∴，
∵，
∴，，
∴，
∴．
【点睛】
此题考查相似三角形的判定和性质、圆周角定理、切线的判定和性质，解题关键在于构造辅助线，相似三角形解决问题.
23、
【分析】分析：第一项利用30°角的余弦值计算，第二项利用45°角的正弦值计算，第三项利用60°角的正切值计算，第四项按照绝对值的意义化简，然后合并同类项或同类二次根式.
【详解】详解：原式=2×﹣2×+3﹣1
=﹣+3﹣1
=4﹣1．
点睛：本题考查了绝对值的意义和特殊角的三角函数值，熟记30°，45°，60°角的三角函数值是解答本题的关键.
24、证明见解析.
【分析】由题意利用配方法把二次项系数变形，根据非负数的性质得到＞0，根据一元二次方程的定义证明结论．
【详解】解：利用配方法把二次项系数变形有，
∵（m+1）2≥0，
∴，
因为，所以不论为何值，方程是一元二次方程.
【点睛】
本题考查的是一元二次方程的概念、配方法的应用，掌握一元二次方程的定义、完全平方公式是解题的关键．
25、 (1)0;(2)
【分析】（1）将特殊角的三角函数值代入求解；
（2）将特殊角的三角函数值代入求解．
【详解】（1）原式＝×﹣（）2﹣3×1+
＝3﹣﹣3+
＝0；
（2）原式＝
＝
＝
＝．
【点睛】
本题考查了特殊角的三角函数值，解答本题的关键是掌握几个特殊角的三角函数值．
26、（1）120份；（2）48，图见解析；（3）；（4）240份
【分析】（1）利用共抽取作品数等级数对应的百分比求解即可，
（2）求出抽取的作品中等级为的作品数，即可作图，
（3）利用等级为的扇形圆心角的度数等级为的扇形圆心角的百分比求解即可，
（4）利用该校共征集到800份作品乘等级为的作品的百分比即可．
【详解】解：（1）（份），
答：一共抽取了120份作品.
（2）此次抽取的作品中等级为的作品数份，如图，
故答案为：48.
（3），
故答案为：.
（4），（份）
答：估计等级为级的作品约有240份.
【点睛】
本题主要考查了条形统计图，扇形统计图及用样本估计总体，解题的关键是读懂统计图，能从统计图中获得准确的信息．
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