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第19章复习 ┃ 知识归纳
1．勾股定理
(1)勾股定理(毕达哥拉斯定理)的语言叙述：直角三角形两条直角边的________，等于斜边的________.
(2)勾股定理的数学表达式：如果直角三角形的两直角边用a、b表示，斜边用c表示，那么___________.
(3)勾股定理a2＋b2＝c2有如下几种变形：
变形①a2＝________；变形②b2＝________；变形③c＝________；变形④a＝________；变形⑤b＝________.
[易错点] (1)勾股定理适用范围，局限于直角三角形，锐角和钝角三角形不能用；(2)注意分清直角边和斜边，避免盲目代值而导致错误．
2．勾股定理的逆定理
如果三角形______________等于_________________，
那么这个三角形是直角三角形. 勾股定理和勾股定理的逆
定理是一对___________.

注意勾股定理及其逆定理的联系与区别．联系是二者都与三边关系a2＋b2＝c2有关；区别是前者是以一个三角形是直角三角形为条件，进而得到三边的平方关系，后者是以一个三角形三边的平方关系为条件，进而得到这个三角形是直角三角形．

3．勾股数
能够成为直角三角形三边长度的三个________，称为勾股数.

(1)常见的勾股数有3、4、5,5、12、13,8、15、17,7、24、25,9、40、41.同学们应熟记这些勾股数，因为它们不仅在勾股定理及其逆定理中广泛应用，而且还能帮助同学们分析思路，找到解决问题的途径和方法；(2)每组勾股数的相同整数倍也是勾股数．
► 考点一　勾股定理的验证
例1 如图19－1是边长为c的正方形，由四个两直角边为a、b的直角三角形和边长为(b－a)的正方形组成，因为大正方形的面积表示为________，大正方形的面积也可表示为________，所以________＝________，由此可得a2、b2、c2三者之间的关系：________.

图19－1
例2　如图19－2，将三个直角三角形拼成直角梯形(△CED是直角三角形)，梯形面积不变，所以，S梯形ABCD ＝________＝________，化简可验证________.

勾股定理的验证方法很多，利用拼图的方法验证勾股定理是将形的问题与数的问题联系起来，其主导思想是通过面积之间的关系，验证勾股定理，即用整体计算和分割计算面积的方法列出等式，然后化简，即可证得勾股定理．

►考点二　勾股定理及其逆定理在数学中的应用
例3 如图19－3，△ACB和△ECD都是等腰直角三角形，∠ACB＝∠ECD＝90°，D为AB边上一点，求证：
(1)△ACE≌△BCD；

(2)AD2＋DB2＝DE2.

由三边的平方关系可联想到勾股定理，若三边不在同一个三角形中，则设法转化到同一个三角形中去，再证明该三角形是直角三角形．有时需要通过作垂线构造直角三角形，进而运用勾股定理，使问题得以解决．
图19－3

► 考点三　勾股定理及其逆定理的实际应用
例4　某经济开发区有一块四边形空地ABCD，如图19－4所示，现计划在该空地上种上草皮，经测量∠B＝90°，AB＝300 m，AD＝1300 m，CD＝1200 m，BC＝400 m，请计算种植草皮的面积是多少？

图19－4

综合运用勾股定理和勾股定理的逆定理，将不规则图形转化为规则图形体现了转化思想，再就是要注意感知勾股数组从而进一步感知直角三角形的存在．
图19--10

练习
1. 笨笨拿着一根长竹竿进一个宽为3米的大门，他先横着拿，结果拿不进去，又竖起来拿，结果还是拿不进去，因为竹竿恰比大门高了1米．当他把竹竿斜着拿时，两端刚好顶着大门的对角，你能算出竹竿长多少米吗？

2. 如图19－9，在直线l上依次摆放着七个正方形，已知斜放置的三个正方形的面积分别为1.0,1.21,1.44，正放置的四个正方形的面积为S1、S2、S3、S4，则S1＋S2＋S3＋S4＝________.

图19－9
3. 如图19－10是一个圆柱体，它的高为40 cm，底面周长为60 cm.在圆柱的下底面A点处有一只蜘蛛，它想吃到上底面上与A点相对的B点处的苍蝇，需要爬行的最短距离是________cm.
4. 如图19－12所示，某住宅社区在相邻两楼之间修建一个上方是一个半圆，下方是长方形的仿古通道，现有一辆卡车装满家具后，高4米，宽2.6米，请问这辆送家具的卡车能否通过这个通道？
5.如图19－6所示，每个小方格都是边长为1的正方形，点A，B是方格纸的两个格点(即正方形的顶点)，在这个6×6的方格纸中，找出格点C，使△ABC为面积是1个平方单位的直角三角形，满足条件的点的个数是________．

6. 在△ABC中，AC＝2a，BC＝a2＋1，AB＝a2－1，其中a＞1，△ABC是不是直角三角形？如果是，哪一个角是直角？

7. 如果一个三角形的三边长分别为a＝m2－n2(m>n>0)，b＝2mn，c＝m2＋n2，求证：三角形是直角三角形

8. 如图，每个小正方形的边长为1，则∠ABC的度数是________．

9. 若最简二次根式与是同类二次根式，求a的值．
10. 不改变根式的大小，把(x－1)根号外的因式移入根号内，正确的是 (　　)
A. B.
C．－ D．－