2014年第10届“IMC国际数学竞赛”.doc

IMC
M A T H
2014年第10届“IMC国际数学竞赛”（中国赛区初赛）
The 10th IMC International Mathematics Contest (China),2014
五年级初赛试题
姓名_____________ 学校_____________ 得分____________

一、填空题I（每小题6分，共60分）
1. 计算：=_________；
答案： 7
解答： 原式=；
2. 计算：=_________；
答案：
解答： 原式=
；
´
5
4
1
0
2
6
3. 右图是一个乘法竖式，那么三位数的乘数是_________；
答案： 928
解答： 1）2014=2014´1=1007´2，仅此两种可能；
2）由于14´4=56，14´5=70，十位不会是6，
被乘数不能是2014，必为奇数，即1007；
3）1007´8=8056，1007´9=9063，1007´928=934496；
故三位乘数为928。

…
…
…
…
…
…
…

…
17
16
15
14
13
…

…
18
5
4
3
12
…

…
19
6
1
2
11
…

…
20
7
8
9
10
27

…
21
22
23
24
25
26

…
…
…
…
…

4. 将1~7这七个数字不重复地组成一个七位数，且这个七位数的任意两个相邻数字所组成的两位数都可以表示为两个一位数的乘积，那么这个七位数最大为_________；
答案： 7216354
解答： 1）含7的两位数只有27=3´9，72=8´9，故7只能与2相邻，且为了最大应放在首位；
2）易验证1只能放在2的后面，即为721□□□□；
3）1后面最大写6，即为7216□□□；
4）3、4、5中，5不能跟在6后面，3不能跟在4、5后面，4不能跟在3后面；
综上，最大为7216354。

5. 把1~81按照右表规律排列，那么与1和81所在一条斜线上的所有数之和为_________；
答案： 289
解答： 1）从1、9、25…可见奇数的平方都在1的右下45°方向，
故81在表格的最右下角；
2）1的左上45°方向都是“偶数的平方+1”，22+1~82+1；
故总和 =12+(22+1)+32+(42+1)+52+(62+1)+72+(82+1)+92
=(12+22+32+¼+92)+4=289。

A
B
C
D
E
F
G
H
I
A
B
C
D
E
F
G
H
6. 如图，已知长方形ABCD，长为8、宽为6，E、F、G、H为四边上的点，且EF//GH//AC，EH//FG//BD，那么四边形EFGH的周长为_________；
答案： 20
解答： 1）易知四边形EFGH为平行四边形；
2）构造矩形IFCG，易见EF+FG= AI +IC=AC，
即四边形EFGH周长为AC+BD；
3）根据勾股定理，AC2=BD2=62+82=102，即AC=BD=10cm；
故周长为20cm；

7. 甲、乙两人同时判断一个四位数是否为11的倍数。甲用正确的方法判断是11的倍数，乙误用“各位数字之和能被11整除”来判断，结果也判断是11的倍数。如果这个四位数的各位数字互不相同，那么这个数的最小值是_________；
答案： 2398
解答： 设这个数奇数位数字之和为a，偶数位数字之和为b
则11|(a+b)，11|(a-b)，得到11|a且11|b；
又知11=2+9=3+8=4+7=5+6，故这个四位数最小为2398。

A
B
C
D
A
B
8. 如图，沿路线从A点到B点，每个点至多经过一次，共有_________种走法；（不需要最短路线）
答案： 64
解答： 1）C、D两点不能同时经过，故有2种选择；
2）A到C有22种方法，C到B有23种方法；
3）A到D有22种方法，D到B有23种方法；
故共有2´22´23=64种方法；

B
A
D
C
9. 某单位为不到100名员工发放福利，共有2014个苹果和4102个桔子，每名员工得到苹果一样多，桔子也一样多，且剩余的苹果和桔子数量相同，那么这个单位最多共有_______名员工；
答案： 87
解答： 设该单位共有N名员工；
N|(4102-2014)=2088=23´32´29，
最大N=3´29=87人，验证：2014=23´87+13，4102=47´87+13

10. 如图，两个同心圆，大圆面积为942cm2，小圆面积为314cm2，A、B、C、D分别是大圆周上的四等分点，那么阴影部分的面积为_________；（取3.14）
答案： 143
解答： S阴影=(S正方形ABCD-S小圆)¸2=(942¸p´2-314)¸2=143；

二、填空题II（每小题8分，共40分）
11. A、B两港之间相距48千米，水从A流向B，速度为5千米/时，甲、乙两船上午8:00同时从A、B两港出发，相向而行，恰在两港中点两船相遇。乙船遇到甲船后立即返回B港，到达B港后又驶向A港，离开B港3千米又与甲船再次相遇，那么甲船到达B港时刻为____:____；
答案： 9:36
解答： 设甲、乙在静水中速度分别为x、y千米/时，
，解得
甲船顺流行驶48千米用时48¸(25+5)=1.6（时），即1时36分
所以甲到达B港的时刻是8:00+1:36=9:36。

B
A
D
C
E
O
12. 如图，△ABC中，AB=3BD，AC=2CE，连接BE、CD，形成的两个阴影三角形的面积之差为5，那么两块空白面积相差为_________；
答案： 25
解答： 1）阴影面积差相当于△BCE与△BCD的面积差
S△BCE=S△ABC，S△BCD=S△ABC，S△ABC= =60；
2）空白面积差相当于△ACD与△BCE的面积差
S△ACD=S△ABC，故面积差为=25；

13. 将2´3的方格用红、黄、蓝、绿四种颜色染色（可以不全用），每格只染一种颜色，且要求每行两格颜色互不相同，每列三格互不相同，共有_________种不同染色方法；
答案： 264
解答： 1）先染第一列，有A43=24种方法；
2）若第二列不含第四种颜色，则颜色与第一列对位错排，共有2种方法；
否则从三个位置选一个染第四种颜色，再选原来的三色中的两种，位置唯一，
共(1+2)´C32=9种方法；
所以一共有，24´(2+9)=264种。

第一次
第二次
第三次
第四次
第五次
速度比
4:3
6:3
9:3
4.5:3
6.75:3
圈数比
4:3
2:1
3:1
3:2
9:4

14. 甲、乙两人同时从环形跑道上A点出发，背向而行。开始甲的速度4米/秒，乙的速度3米/秒，每当两人同时回到A点时，甲就把速度提高一半，但甲的速度极限是10米/秒，如果提速会超过极限他就改成减速一半。那么当第5次两人同时回到A点时，甲一共跑了_________圈；
答案： 11
解答：

根据表中数据分析，甲一共跑了4+2+3+3+9=21圈。

15. 有编号为A1~A6的六名棋手，实力排名分别为A1>A2>A3>A4>A5>A6，实力靠前的选手必定能胜实力靠后选手。现在安排一次比赛，每场两名棋手对弈，要求每名棋手恰好比赛3场，胜2场即可被评为“优秀棋手”，那么最多会有_________名棋手被评为“优秀棋手”；
答案： 4名
解答： 1）比赛的总场次6´3¸2=9场；
2）9¸2=4¼1，故最多有4名优秀棋手（如果5名至少10场）；
具体构造： A1胜A2、A3、A4； A2胜A5、A6，负A1；
A3胜A5、A6，负A1； A4胜A5、A6，负A1；
A5负A2、A3、A4； A6负A2、A3、A4；