声波加pml边界条件.docx

雷克子波

因计算机资源有限，不便在太大的区域做PML的计算，一般只在边界上取有限宽度的区域作为PML计算区域。根据相关文献的研究，PML边界区域最少长度应为半个波长[6]。本文综合考虑了效果与开销等因素，选取了边界上50层作为PML的计算区域。常规计算区域与PML边界区域的如图2-4所示。

衰减系数

式中为PML层的厚度，为层内的点距PML与非PML的边界的距离，为纵波速度，那么在PML边界区域内，对于式（2-13）即为理论反射系数，一般取0.001较为合适，为方向的空间步长。
，可看作为在常规的计算方程基础上，减去一项进行PML的阻尼修正项。因本文中只考虑各项同性介质中的地震波传播规律，故可做假设。在此利用一下三个假设：

因为以上三个近似精度均为时间方向上的近似，且时间精度均为二阶精度，因交错网格技术的时间精度为二阶，故以上近似不影响本式的计算精度。
故可得：
（2-18a）
同理：
（2-18b）
（2-18c）
此为在PML边界区域内的弹性声波应力-速度方程组。

%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
%%交错网格---非均匀介质二维声波方程(一阶压力--速度)、2阶时间差分、2阶空间差分精度
%%加上边界
%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%%
close all;clear,clc
tic
%%***********************震源为Ricker子波*********
dtt=0.0001;
tt=-0.06:dtt:0.06;
fm=30;
A=0.01;
wave=A*(1-2*(pi*fm*tt).^2).*exp(-(pi*fm*tt).^2);
plot(wave),title('震源子波--Ricker子波');
%%***********************************************
%% 模型参数设置
dz=5; % 纵向网格大小，单位m
dx=5; % 横向网格大小，单位m
dt=0.0001; % 时间步长，单位s
T=0.5; % 波动传播时间，单位s
wave(round(T/dt))=0; % 将子波后面部分补零
% %% 研究区域
% z=-750:dz:750; x=-1000:dz:1000;
pml=50; % 吸收层的网格数
plx=pml*dx; % 上下吸收层的厚度
plz=pml*dz; % 左右吸收层的厚度
z=-750-plz:dz:750+plz;
x=-1000-plx:dx:1000+plx; % 采样区间
n=length(z); m=length(x); % 采样点数
z0=round(n/2); x0=round(m/2); % 震源位置
Vmax=0; % 纵波最大速度

%%Setting Velocity & Density
zt=-750-plz:dz/2:750+plz;
xt=-1000-plx:dx/2:1000+plx; % 速度与密度采样区间
nt=length(zt); mt=length(xt); % 速度与密度采样点数目
V=zeros(n,m); % 介质速度,m/s
d=zeros(nt,mt); % 介质密度,kg/m^3

%%均匀介质模型
for i=1:n
for k=1:m
V(i,k)=2.0e3;
end
end
for i=1:n
for k=1:m
d(2*i,2*k)=2.3e3;
end
end

% % %%层状介质模型
% % for i=1:n
% % for k=1:m
% % if i < round(n/3)
% % V(i,k)=2.3e3;
% % else
% % V(i,k)=3.0e3;
% % end
% % end
% % end
for i=1:n-1
for k=1:m-1
d(2*i+1,2*k)=(d(2*i,2*k)+d(2*(i+1),2*k))/2;
d(2*i,2*k+1)=(d(2*i,2*k)+d(2*i,2*(k+1)))/2;
end
end
for i=1:n
for k=1:m
if V(i,k) > Vmax
Vmax=V(i,k);
end
end
end
%%**********************衰减系数************************
%% ddx、ddz 即，x方向和z方向的衰减系数
R=1e-6; % 理论反射系数
ddx=zeros(n,m); ddz=zeros(n,m);

for i=1:n
for k=1:m
%% 区域1
if i>=1 & i<=pml & k>=1 & k<=pml
x=pml-k;z=pml-i;
ddx(i,k)=-log(R)*3*Vmax*x^2/(2*plx^2);
ddz(i,k)=-log(R)*3*Vmax*z^2/(2*plz^2);
elseif i>=1 & i<=pml & k>m-pml & k<=m
x=k-(m-pml);z=pml-i;
ddx(i,k)=-log(R)*3*Vmax*x^2/(2*plx^2);
ddz(i,k)=-log(R)*3*Vmax*z^2/(2*plz^2);
elseif i>n-pml & i<=n & k>=1 & k<=pml
x=pml-k;z=i-(n-pml);
ddx(i,k)=-log(R)*3*Vmax*x^2/(2*plx^2);
ddz(i,k)=-log(R)*3*Vmax*z^2/(2*plz^2);
elseif i>n-pml & i<=n & k>m-pml & k<=m
x=k-(m-pml);z=i-(n-pml);
ddx(i,k)=-log(R)*3*Vmax*x^2/(2*plx^2);
ddz(i,k)=-log(R)*3*Vmax*z^2/(2*plz^2);
%% 区域2
elseif i<=pml & k>pml & k<m-pml+1
x=0;z=pml-i;
ddx(i,k)=0;ddz(i,k)=-log(R)*3*Vmax*z^2/(2*plz^2);
elseif i>n-pml & i<=n & k>pml & k<=m-pml
x=0;z=i-(n-pml);
ddx(i,k)=0;ddz(i,k)=-log(R)*3*Vmax*z^2/(2*plz^2);
%% 区域3
elseif i>pml & i<=n-pml & k<=pml
x=pml-k;z=0;
ddx(i,k)=-log(R)*3*Vmax*x^2/(2*plx^2);ddz(i,k)=0;
elseif i>pml & i<=n-pml & k>m-pml & k<=m
x=k-(m-pml);z=0;
ddx(i,k)=-log(R)*3*Vmax*x^2/(2*plx^2);ddz(i,k)=0;
end
end
end
% figure(1),imagesc(ddz),title('z方向衰减系数');
% figure(2),imagesc(ddx),title('x方向衰减系数');
%%**************************************************
%%**********************波场模拟********************
p0=zeros(n,m); p1=zeros(n,m);
px0=zeros(n,m); px1=zeros(n,m);
pz0=zeros(n,m); pz1=zeros(n,m);
K=zeros(n,m);
Vx1=zeros(nt,mt); Vx0=zeros(nt,mt);
Vz1=zeros(nt,mt); Vz0=zeros(nt,mt);

for t=dt:dt:T
p0(z0,x0)=dt*V(z0,x0)^2*wave(round(t/dt));
for i=2:n-1
for k=2:m-1
K(i,k)=d(2*i,2*k)*V(i,k)^2;
Vz1(2*i+1,2*k)=((1-0.5*dt*ddz(i,k))*Vz0(2*i+1,2*k)-dt*(p0(i+1,k)-p0(i,k))/(d(2*i+1,2*k)*dz))/(1+0.5*dt*ddz(i,k));
Vx1(2*i,2*k+1)=((1-0.5*dt*ddx(i,k))*Vx0(2*i,2*k+1)-dt*(p0(i,k+1)-p0(i,k))/(d(2*i,2*k+1)*dx))/(1+0.5*dt*ddx(i,k));

pz1(i,k)=((1-0.5*dt*ddz(i,k))*pz0(i,k)-K(i,k)*dt*(Vz1(2*i+1,2*k)-Vz1(2*i-1,2*k))/dz)/(1+0.5*dt*ddz(i,k));
px1(i,k)=((1-0.5*dt*ddx(i,k))*px0(i,k)-K(i,k)*dt*(Vx1(2*i,2*k+1)-Vx1(2*i,2*k-1))/dx)/(1+0.5*dt*ddx(i,k));

p1(i,k)=px1(i,k)+pz1(i,k);
end
end
p0=p1;
pz0=pz1;px0=px1;
Vz0=Vz1;Vx0=Vx1;
for i=1:n-2*pml
for k=1:m-2*pml
p(i,k)=p1(i+pml,k+pml);
end
end
% imagesc(p1),title('声波波场'),pause(0.0000001);
end
figure(1),imagesc(p1);title('声波波场--交错网格，2阶');
figure(2),imagesc(p);title('声波方程--交错网格、加边界');
% figure(2),imagesc(pz1);title('z分量');
% figure(3),imagesc(px1);title('x分量');
%%*************************************************
Toc

波场快照