一元二次方程全章讲义.doc

(完整版)一元二次方程全章讲义
Ø 知识要点
1。一元二次方程
1）方程的等号两边都是整式,只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数为2（二次）的方程，叫做一元二次方程.
2）一元二次方程的一般形式： （a≠0）
为二次项,a为二次项系数；
bx为一次项,b为一次项系数;
c为常数项。
2.一元二次方程的根。
1）使方程左右两边相等的未知数的值就是这个一元二次方程的解，一元二次方程的解也叫做一元二次方程的根。
例1。如果2是方程的一个根，则常数b是多少?

3. 解一元二次方程
1）直接开平方法
（1）若一元二次方程易写为形式，当p＞0时,则,
例2。解下列方程

（2）若一元二次方程可写为形式，当p=0时，
(3)若一元二次方程可写为形式，当p＜0时，因为实数的平方不会是负数，所以x取任何实数时,等式都不成立，即原方程无实数根。
2）配方法
(1）通过配成完全平方形式来解一元二次方程的方法叫做配方法。
完全平方公式:
配成完全平方公式：
例3.填空

例4。解方程

移项

两边同时加

左边写成完全平方形式
配方法解一元二次方程的一般步骤：
(一移、二化、三配、四开)
1、 移项：将常数项移到右边，含有未知数的项移到左边
2、 二次项系数化为1：左右两边同时除以二次项系数
3、 配方:左右两边同时加上一次项系数一半的平方
4、开平方求根：利用平方根的定义直接开平

降次

,
解一次方程
，

例5.用配方法解下列方程

3）公式法
1）任何一个一元二次方程都可以写成一般形式： （a≠0）
则当时，有求根公式。
2） 推导过程
用配方法解：
解：移项、二次项系数化为1 得
配方得
为根的判别式
即
则
当时,、；
当时，；
当时，无意义，方程无实数根。
3）用公式法解一元二次方程的一般步骤:
1. 把方程化为一般形式，确定a、b、c的值；
2. 求出Δ=的值；
3. 当Δ＞0时，有两个不相等的实数根，即 ， ；
4. 当Δ=0时,有两个相等的实数根，即 ；
5. 当Δ＜0时,无实数根.
例6.如果关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根,那么k的取值范围为_______________.
例7.用公式法解下列方程。

4）因式分解法解一元二次方程
（1）先因式分解，使方程化为两个一次式的乘积等于0的形式，再使这两个一次式分别等于0，从而求得方程的两个根。
（2）用因式分解法解一元二次方程的一般步骤：①移项:将方程的右边化为0；②化积:将方程的左边因式分解,化为两个一次式的乘积；③转化：令每个一次式分别为0,得到两个一元一次方程；④求解：解这两个一元一次方程，它们的解就是一元二次方程的解。
（3）因式分解法解一元二次方程的常用方法:①提取公因式法:ab+ac=a（b+c)；②完全平方式法：；③平方差公式法：。
例8.用因式分解法解下列方程.

4。一元二次方程根与系数的关系（方程（a≠0））
根据公式法：,
1） 两根之和:
2） 两根之积：
例9.已知三角形一条边的长为3,它的另两条边的边长是关于x的一元二次方程的两个根，则三角形的周长为________.

中考真题
1、 一元二次方程的根是（ )
A。-1 B。2 C。1和2 D.-1和2
2、 若x=—2是关于x的一元二次方程的一个根，则a的值为( )
A.1或4 B.-1或—4 C。—1或4 D.1或-4
3、 等腰三角形一条边的长为3，它的另两条边的边长是关于x的一元二次方程的两个根，则k的值为（ ）
A.27 B。36 C.27或36 D。18
4、 设是方程的两个实数根，则的值为（ ）
A.5 B.—5 C.1 D.-1
5、 用配方法解方程时,配方后所得方程为( ）
A. B.
C。 D.
6、已知关于x的方程，下列说法正确的是( ）
A。当k=0时，方程无解
B.当k=1时，方程只有一个实数解
C。当k=-1时,方程有两个相等的实数解
D.当k不等于0时，方程总有两个不相等的实数解
7、 若,且一元二次方程有实数根，则k的取值范围是_______.
8、 已知关于x的方程(m≠0)。求证：方程总有两个实数根。