河北省石家庄市2011届高三数学第一次模拟考试-理-旧人教版.doc

绝密★启用前 试卷类型：A
2011年石家庄市高中毕业班第一次模拟考试试卷理科数学

说明：
1. 本试卷共4页，包括三道大题，22道小题，共150分.其中第一道大题为选择题.
2. 所有答案在答题卡上作答，在本试卷和草稿纸上作答无效.答题前请仔细阅读答题卡上的“注意事项”，按照“注意事项”的规定答题.
3. 做选择题时，如需改动，请用橡皮将原选答案擦干净，再选涂其它答案.
参考公式：
如果事件4、5互斥，那么 球的表面积公式
P(A+B) =P(A) +P(B)
如果事件A、B相互独立，那么 其中表示球的半径
P(A . B) =P(A) • P(B) 球的体积公式
如果事件A在一次试验中发生的概
率是p，那么n次独立重复试验中事
件A恰好发生k次的概率 其中R表示球的半径

一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1. 已知i是虚数单位，复数的虚部为
A. -1 B. 1 C.i D. -i
2. 若.，则=
A. ( -2,2) B. ( -2,1) C. (0,2) D. ( -2,0)
3. 右图中的小网格由等大的小正方形拼成，向量a等于
A., B.
C. D.
4. 已知，且，则的值为
A. B. C. D.
5. 已知椭圆的焦点分别是，P是椭圆上一点，若连结F1,F2,P三点恰好能构成直角三角形，则点P到y轴的距离是
A. B. 3 C. D.
6. 若多项式则的值为
A. 10 B.45 C. -9 D. -45
7. 已知a,b，c成等差数列，则直线zx-by+c=0被曲线，截得的弦长的最小值为
A. B. 1 C. D.2
8. 已知且则下列结论正确的是
A. B. C. D.
9. 设x、y满足约束条件，若目标函数z=ax+by(a>0，b>0)的最大值为6，则的最小值为
A. 1 B. 3 C. 2 D.4
10对于非空数集A，若实数M满足对任意的恒有，则称M为A的上界;若A的所有上界中存在最小值，则称此最小值为A的上确界，那么下列函数的值域中具有上确界的是
A. B. y = - ()x C. y =X D. y = lnx;
11.在直三棱柱中，，=AC =AA1 =1，D、F分别为棱AC,AB上的动点（不包括端点），若C1F丄B1D，则线段DF长度的取值范围为
A. B.
C. D.
12.设函数.，其中[x]表示不超过x的最大整数，如[-1.2] = -2，
[1.2] =1，[1] =1，若直线与函数y=f(x)的图象恰有三个不同的交点，则k的取值范围是
A. B. C. D.
二、填空题：本大题共4个小题，每小题5分,共20分.
13. 已知直线与直线，若，则实数a的值是______
14. 三棱锥P -ABC中，，PB丄平面ABC，AB= BC =2,PB =2,则点B到平
面PAC的距离是______.
15. 用直线y = m和直线y =x将区域分成若干块.现在用5种不同的颜色给这若干块染色，每块只染一种颜色,且任意两块不同色，若共有120种不同的染色方法，则实数m的取值范围是____________.
16. 已知中，角A ,B、C的对边长分别是a、b、c，且满足，BE与CF分别为边AC、AB上的中线，则BE与CF夹角的余弦值为______.
三、解答题：本大题共6小题,共70分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤.
17. (本小题满分10分）
在ΔABC中，角A,B,C的对边长分别是a、b,c,若.
(I)求内角B的大小；
(II)若b=2,求面积的最大值.

18. (本小题满分12分）
如图所示，五面体ABCDE中，正的边长为1，AE丄平面ABC, CD//AE，且CD =AE.
(I)设CE与平面ABE所成的角为a,AE=k(k>0)，若，求A的取值范围；
(II)在（I )的条件下，当k取得最大值时，求平面BDE与平面ABC所成角的大小.

19.(本小题满分12分）
已知函数.
(I)求函数.的单调区间；
(II)若.，求a的取值范围

20.(本小题满分12分）
在“环境保护低碳生活知识竞赛”第一环节测试中，设有A、B,C三道必答题，分值依次为20分，30分，50分.竞赛规定：若参赛选手连续两道题答题错误，则必答题总分记为零分;否则各题得分之和记为必答题总分.已知某选手回答A,B、C三道题正确的概率分别为，且回答各题时相互之间没有影响.
(I )若此选手可以自由选择答题顺序，求其必答题总分为50分的概率.
(II)若此选手按A,B,C的顺序答题，求其必答题总分的分布列和数学期望.

21 (本小题满分12分）
已知椭圆的上、下顶点分别为是椭圆上两个不同的动点.
(I )求直线A1M与A2N交点的轨迹C的方程；
(II)若过点F(0，2)的动直线l与曲线C交于A,B两点，，问在y轴上是否存在定点E使得？若存在，求出E点的坐标；若不存在，说明理由.

22 (本小题满分12分）
已知数列中，.
(I)求证：当且；
(II)求证：（e为自然对数的底数，参考数据ln3< 1.1 ,ln4 <1.4).

E
2010-2011年度石家庄市第一次模拟考试
理科数学答案
一、 选择题：本大题共12个小题，每小题5分，共60分.
（A卷答案）:1-5 ADCDA 6-10 BDDAB 11-12 CD
（B卷答案）:1-5 BDCDB 6-10 ADDBA 11-12 CD
二、填空题: 本大题共4个小题，每小题5分，共20分
13．1或2 14. 15. 16. 0
三、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写文字说明，证明过程或演算步骤.
17.（本小题满分10分）
解：（I）解法一：
∵，由正弦定理得：
，
即.………………2分
在中，，
∴，………………3分
∴，∴.………………5分
解法二：
因为，由余弦定理，
化简得，……………2分
又余弦定理,……………3分
所以,又,有.……………5分
（II）解法一：
∵，∴，……………6分
.
∴，………………8分
∴．………………9分
当且仅当时取得等号．……………………10分
解法二：
由正弦定理知：，
.………………6分
∴,

，………………8分
∵，∴，
∴，………………9分
∴，
即的面积的最大值是.………………10分
18．(本小题满分12分)
解：方法一：
（Ⅰ）取中点,连结、,由为正三角形，得，又，则，可知，所以为与平面所成角．……………2分
，………………4分
因为，得，得.……………6分
（Ⅱ）延长交于点Ｓ，连，
可知平面平面=.………………………7分
由，且，又因为=1，从而，…………………8分
又面，由三垂线定理可知，即为平面与平面所成的角；……………………10分
则，
从而平面与面所成的角的大小为.………………12分
方法二：
解：
（Ⅰ）如图以C为坐标原点，CA、CD为y、z轴，垂直于CA、CD的直线CT为x轴，建立空间直角坐标系（如图），则
设，，，.……………2分
取AB的中点M，则，
易知,ABE的一个法向量为,
由题意.………………4分
由，则，
得.…………………6分
(Ⅱ)由（Ⅰ）知最大值为，则当时，设平面BDE法向量为，则
取，………………8分
又平面ABC法向量为，……………………10分
所以=，
所以平面BDE与平面ABC所成角大小……………………12分
19．(本小题满分12分)
解：(Ⅰ)的定义域为.…………………1分
=（），
设，只需讨论在上的符号.…………………2分
（1）若，即，由过定点，知在上恒正，故，在（0，+）上为增函数.…………………3分
（2）若，当时，即时，知（当时，取“=”），故，在（0，+）上为增函数；……………………4分
当时，由得，
当或时，，即，
当时，，即．
则在上为减函数，在，
上为增函数.………………5分
综上可得：当时，函数的单调增区间（0，+）;
当时，函数的单调增区间为，；
函数的单调减区间为.…………………6分
（Ⅱ）由条件可得，
则当时，恒成立，………………8分
令，则…………………9分
方法一：令，
则当时，，所以在（0，+）上为减函数.
又，
所以在（0，1）上，；在（1，+）上，．………10分
所以在（0,1）上为增函数；在（1，+）上为减函数.
所以，所以……………12分
方法二：当时，；
当时，．……………10分
所以在（0,1）上为增函数；在（1，+）上为减函数.
所以，所以………………12分
20．(本小题满分12分)
解：（Ⅰ）记总分得50分为事件D，记A，B答对，C答错为事件D1，记A，B答错，C答对为事件D2，则D=D1+D2，且D1，D2互斥.……………1分
又，………………3分
.…………………5分
所以.
所以此选手可自由选择答题顺序，必答题总分为50分的概率为.……………6分
（Ⅱ）可能的取值是.……………7分
表示A，B，C三题均答对，
则，……………8分
同理，，
，
，
，
，
所以，的分布列为

100
80
70
50
30
0
P

……………10分
所以的数学期望
.……………12分
21．(本小题满分12分)
解：（Ⅰ）方法一：设直线与的交点为，
∵是椭圆的上、下顶点，
∴…………………1分
，，
两式相乘得.………………………3分
而在椭圆（）上，
所以，即，所以.……………4分
又当时，不合题意，去掉顶点.
∴直线与的交点的轨迹的方程是；……………5分
方法二：设直线与的交点为，
∵是椭圆的上、下顶点，
∴…………………1分
∵共线，共线，
∴…………①
…………②…………………3分
①②得，
又∵即，
∴，即，
∴直线与的交点的轨迹的方程是；（）……………5分
（Ⅱ）假设存在满足条件的直线，由已知，其斜率一定存在，设其斜率为，
设，， ，
由得，
.…………………6分
，
∵，∴，
∵，∴，
∵，，
，
又∵，∴，
∴，
即.………………………8分
将，，代入上式并整理得，…………………9分
当时，，
当时，，恒成立，
…………………11分
所以，
在轴上存在定点，使得，点的坐标为．………12分
22.(本小题满分12分)
（I）证明：方法一：
∵，由得，
于是易得.………………2分
又，即
又∵，∴（）.…………………4分
方法二：数学归纳法
（1）当时，，命题成立.………………1分
（2）假设当（）时命题成立，即，
当时，

∴时命题成立.………………3分
由（1）（2）可知，当时，.…………………4分
（II）证明：由（I）知
,……………5分
两边取自然对数得：.………………6分
令，
则当时，恒成立，
∴为上的减函数，∴
∴在时恒成立，………………7分

即（），………………9分
故，，
，
……………………………
，以上各式相加得：
，（）…………10分
又∵，∴，∴（），………………11分
又∵，，
∴（）.…………………12分

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用心 爱心 专心