线性控制系统的运动分析讲解PPT课件.ppt

第二章第二章 线性控制系统的运动分析线性控制系统的运动分析1.线性定常齐次状态方程的解2.矩阵指数函数3.状态转移矩阵4.线性定常非齐次状态方程的解2024/1/31 2024/1/31 周三周三1 1.预备知识预备知识预备知识预备知识 ：线性定常系统的运动线性定常系统的运动线性定常系统的运动线性定常系统的运动1 1、自由运动、自由运动：线性定常系统在没有控制作用，即u0时，由初始状态引起的运动称自由运动。齐次状态方程的解齐次状态方程的解：2 2、强迫运动：、强迫运动：线性定常系统在控制u作用下的运动，称为强迫运动。非齐次状态方程的解：非齐次状态方程的解：2024/1/31 2024/1/31 周三周三2 2.第一节第一节 线性定常齐次状态线性定常齐次状态方程的解方程的解2024/1/31 2024/1/31 周三周三3 3.满足初始状态 的解是：一、直接求解：一、直接求解：一、直接求解：一、直接求解：1、标量齐次微分方程：满足初始状态 的解是：满足初始状态 的解是：2、齐次状态方程其中：定义为矩阵指数函数，和A一样也是nn阶方阵 线性定常齐次状态方程的求解方法线性定常齐次状态方程的求解方法：直接求解，拉氏变化求：直接求解，拉氏变化求解解2024/1/31 2024/1/31 周三周三4 4.求解过程求解过程：仿标量方程求解将式(4)代入式(1)，即可得到通解为：（5）式(3)左右两边t的同次幂的系数两两相等得：（4）(1)(2)代入状态方程得：（3）设齐次状态方程的解为当 时，由上式可得 此处（1）式(1)左右求导得：（2）标量齐次状态方程2024/1/31 2024/1/31 周三周三5 5.二、拉氏变换求解：二、拉氏变换求解：两边取拉氏变换得：整理得：齐次状态方程：初始状态为：与直接求解的结果(5)比较，由解的唯一性得：仿标量系统得：拉氏反变换得：（6）本节本节小结小结：2024/1/31 2024/1/31 周三周三6 6.第二节第二节 矩阵指数函数的性质矩阵指数函数的性质和计算方法和计算方法2024/1/31 2024/1/31 周三周三7 7.一、矩阵指数函数的性质：一、矩阵指数函数的性质：一、矩阵指数函数的性质：一、矩阵指数函数的性质：2、证明证明：矩阵指数函数定义中，令t0即可得证3、总是非奇异的，必有逆存在，且：证明证明：1、设A为nn阶矩阵，t1为t2两个独立自变量，则有：证明证明：根据定义证明2024/1/31 2024/1/31 周三周三8 8.5、对 有：4、对于nn阶方阵A和B：如果A和B可交换，即AB=BA，则 如果A和B不可交换，即AB BA，则6、如果P是非奇异阵，即 存在，则必有：证明证明：根据定义证和 注意注意：用途用途：此性质经常用于计算2024/1/31 2024/1/31 周三周三9 9.7、如果A是nn阶对角阵，则 也是nn阶对角阵：则有：如果：证明证明：根据定义证2024/1/31 2024/1/31 周三周三1010.8、如果 是mm阶的约当块：则有：证明证明：略。根据定义证。2024/1/31 2024/1/31 周三周三1111.其中 是约当块其中 是对应约当块 的矩阵指数函数。9、当A是约当矩阵时：则有：例如例如：2024/1/31 2024/1/31 周三周三1212.二、矩阵指数函数的计算二、矩阵指数函数的计算二、矩阵指数函数的计算二、矩阵指数函数的计算：直接求解法：根据定义 拉氏变换求解：标准型法求解：对角线标准型和约当标准型非奇异变换 待定系数法：凯莱哈密顿（简称C-H）定理求出的解不是解析形式，适合于计算机求解。1 1、根据矩阵指数函数的定义求解：根据矩阵指数函数的定义求解：对所有有限的t值来说，这个无穷级数都是收敛的 2024/1/31 2024/1/31 周三周三1313.2 2、用拉氏变换法求解：、用拉氏变换法求解：关键是必须首先求出（sI-A）的逆，再进行拉氏反变换。3 3、标准型法求解标准型法求解：思路思路：根据矩阵指数函数性质6：对A进行非奇异线性变换，得到：联立上两式，得到：有二种标准形式：对角线矩阵、约当矩阵2024/1/31 2024/1/31 周三周三1414.其中：P为使A化为对角线标准型的非奇异变换矩阵。（1）当A的特征值 为两两相异时：对角线标准型对角线标准型对角线标准型法求矩阵指数函数的步骤：对角线标准型法求矩阵指数函数的步骤：1）先求得A阵的特征值 。2）求对应于 的特征向量 ，并得到P阵及P的逆阵。3）代入上式即可得到矩阵指数函数的值。2024/1/31 2024/1/31 周三周三1515.（2）当A具有n重特征根 ：约当标准型约当标准型 其中：Q为使A化为约当标准型的非奇异变换矩阵。约当标准型法求矩阵指数函数的步骤约当标准型法求矩阵指数函数的步骤：此时的步骤和对角线标准型情况相同：求特征值、特征向量和变换阵Q。说明：对于所有重特征值 ，构造约当块，并和非重特征值一起构成约当矩阵。根据矩阵指数函数的性质8和9，求得 。2024/1/31 2024/1/31 周三周三1616.4 4、待定系数法、待定系数法：将 化为A的有限项多项式来求解：说明说明：在证明有关矩阵方程的定理或解决有关矩阵方程的问题时，凯莱-哈密尔顿定理是非常有用的。设nn维矩阵A的特征方程为：（1 1）凯莱哈密顿（以下简称）凯莱哈密顿（以下简称C-HC-H）定理：定理：则矩阵A满足其自身的特征方程，即：2024/1/31 2024/1/31 周三周三1717.由定理知由定理知：A所有高于(n-1)次幂都可由A的0(n-1)次幂线性表出。并令 即可得到如下的结论结论：即：将此式代入 的定义中：其中：为t的标量函数，可按A的特征值确定。（2 2）将）将 化为化为A A的有限项多项式来求解的有限项多项式来求解根据C-H定理，可将 化为A的有限项表达式，即封闭形式：2024/1/31 2024/1/31 周三周三1818.1）A的特征值 两两相异时，注意求逆推导推导：利用了A可化为对角阵的矩阵指数函数求法。注意注意：推导时可看到：2024/1/31 2024/1/31 周三周三1919.注意求逆2）A的特征值为 (n重根）推导推导：此时只有一个方程：缺少n-1个独立方程，对上式求导n-1次，得到其余n-1个方程说明说明：不管特征值互异、还是具有重根，只需要记住式(3)。特征值互异时，对于每个特征值，直接得到方程(3)；特征值为n重根时，则式(3)针对 求导n-1次，补充缺少的n-1个方程。联立求出系数。2024/1/31 2024/1/31 周三周三2020.例例：求以下矩阵A的矩阵指数函数 解解：1）用第一种方法定义求解：(略）2）用第二种方法拉氏变换法求解：2024/1/31 2024/1/31 周三周三2121.3）用第三种方法标准型法求解：得：，具有互异特征根，用对角线标准型法。且A为友矩阵形式。先求特征值：2024/1/31 2024/1/31 周三周三2222.2024/1/31 2024/1/31 周三周三2323.4）用第四种方法待定系数法求解.在第3种方法中已经求得特征根，所以得：求得矩阵指数函数如下：2024/1/31 2024/1/31 周三周三2424.或者或者：由 和 得到：从而求出系数2024/1/31 2024/1/31 周三周三2525.例例：求以下矩阵A的矩阵指数函数分析：分析：用CH定理求解先求特征值：求得：当 时，有当 （二重根）时，有上式对 求导1次，得到另一个方程：2024/1/31 2024/1/31 周三周三2626.得到方程组：写成矩阵形式为：整理得：2024/1/31 2024/1/31 周三周三2727.可以求出：所以：可以求出矩阵指数函数。本节小结本节小结：矩阵指数函数的：矩阵指数函数的9 9个性质，个性质，4 4种计算方法种计算方法2024/1/31 2024/1/31 周三周三2828.第三节第三节 状态转移矩阵状态转移矩阵2024/1/31 2024/1/31 周三周三2929.一、线性定常系统的状态转移矩阵一、线性定常系统的状态转移矩阵一、线性定常系统的状态转移矩阵一、线性定常系统的状态转移矩阵线性定常系统的齐次状态方程：满足初始状态 的解是：满足初始状态 的解是：已知已知：线性定常系统的状态转移矩阵令：则有：2024/1/31 2024/1/31 周三周三3030.说明说明1 1：状态转移矩阵须满足以下条件，否则不是状态转移矩阵1）状态转移矩阵初始条件：2）状态转移矩阵满足状态方程本身：说明说明2 2：线性定常系统的状态转移矩阵就是矩阵指数函数本身说明说明3 3：状态转移矩阵的物理意义：从时间角度看，状态转移矩阵使状态向量随着时间的推移不断地作坐标变换，不断地在状态空间中作转移，故称为状态转移矩阵2024/1/31 2024/1/31 周三周三3131.二、状态转移矩阵的性质二、状态转移矩阵的性质二、状态转移矩阵的性质二、状态转移矩阵的性质1、对于线性定常系统：说说明明：此性质的含义是，从t0到t0的转移，相当于不转移，转移后的状态转移矩阵仍是它自己。不变性2、对于线性定常系统：3、对于线性定常系统：传递性说明说明：此性质表明，从t0到t2的转移可以分为两步：先从t0转移到t1，再从t1转移到t2。2024/1/31 2024/1/31 周三周三3232.4、对于线性定常系统：可逆性说明说明：此性质表明，状态转移过程在时间上可以逆转。说明说明：由性质1、3证明5、对于线性定常系统：分解性说明说明：由 去证明。6、对于线性定常系统：2024/1/31 2024/1/31 周三周三3333.三、与状态转移矩阵相关的问题三、与状态转移矩阵相关的问题三、与状态转移矩阵相关的问题三、与状态转移矩阵相关的问题1、已知齐次状态方程的解，求状态转移矩阵已知齐次状态方程的解，求状态转移矩阵：方法是利用 直接求解。2、利用矩阵指数函数的求解方法求状态转移矩阵利用矩阵指数函数的求解方法求状态转移矩阵。由 可得 3、已知状态转移矩阵，求系统矩阵已知状态转移矩阵，求系统矩阵A A阵阵说明说明：利用状态转移矩阵性质2求4、已知某时刻系统状态，求其它时刻的状态已知某时刻系统状态，求其它时刻的状态。本节本节小结小结：2024/1/31 2024/1/31 周三周三3434.例已知某二阶系统齐次状态方程为：，其解为：试求状态转移矩阵 。解：设 ，则：则有：所以：2024/1/31 2024/1/31 周三周三3535.第四节第四节 线性定常非齐次状线性定常非齐次状态方程的解态方程的解2024/1/31 2024/1/31 周三周三3636.若线性定常系统的非奇次状态方程的解存在，则解形式如下：一、直接求解法一、直接求解法一、直接求解法一、直接求解法初始状态引起的响应，零输入响应初始状态引起的响应，零输入响应输入引起的响应输入引起的响应,零状态响应零状态响应说明说明：与线性定常系统齐次状态方程的解不同，齐次状态方程的解仅由初始状态引起的响应组成。2024/1/31 2024/1/31 周三周三3737.证证：1）先把状态方程 写成3）对上式在 区间内进行积分，得:直接求解法的关键：求状态转移矩阵或矩阵指数函数2）两边左乘 ，再利用 的性质2024/1/31 2024/1/31 周三周三3838.对非齐次状态方程 两边进行拉氏变换得：二、拉氏变换求解法二、拉氏变换求解法二、拉氏变换求解法二、拉氏变换求解法整理得：结论：例例：已知状态方程为：其初始状态为：求系统在单位阶跃输入作用下状态方程的解。2024/1/31 2024/1/31 周三周三3939.解解：1）直接求解：(作为课后练习）2）拉氏变换法求解：先求先求由于：所以：2024/1/31 2024/1/31 周三周三4040.拉氏反变换得方程解为：本节本节小结小结：定常、时变系统状态转移矩阵，性质，求解方法可以得到：阶跃响应拉氏变换：2024/1/31 2024/1/31 周三周三4141.