第四章平面向量.doc

第三章 平面向量
一 向量、向量的加法与减法、实数与向量的积
知识要点：
A(起点)
B
（终点）
a
1．平面向量的有关概念:
（1）向量：既大小又有方向的量。
（2）向量的大小：向量的长度，通常称为模。，……
零向量：长度为零的向量，
单位向量：长度为1个单位长度的向量。
（3）平行向量（共线向量）：方向相同或相反的非零向量。∥∥。
零向量与任何向量平行。∥
(4) 相等向量：长度相等且方向相同的向量。相等向量的模相等，与起点无关。=
2. 平面向量的运算
O
A
B
a
a
a
b
b
b
（1）加法：

O
a
b
B
a
b
a-b
（2）减法

平行四边形定理: 平行四边形的四边平方和等于对角线的平方和。
三角形定理：任意两边之和大于等于第三边。
（3）实数与向量的乘积

规定：是一个向量:
（i）
(ii)当时，与同向；当时，与反向；当时，=。
（4）平面向量运算的坐标表示

3．平面向量基本定理：
如果，是同一平面内的两个不共线向量，那么对于这一平面内的任一向量，有且只有一对实数λ1，λ2使=λ1+λ2.
4．常用结论：
（1）已知非零向量
三点共线
（2）三角形的心
（I）重心：三顶点坐标为，重心为。
（i）重心()
(ii)
(iii)
(II)外心与垂心：
(III) 外心,重心与垂心：

题例

1．已知平面向量a =(x，1)，b =(—x，x2 )，则向量a+b
A．平行于x轴 　B．平行于第一、三象限的角平分线
C．平行于y轴 D．平行于第二、四象限的角平分线
2．已知向量，， ，若 则= ．
3．设是非零向量，若函数的图象是一条直线，则必有
A． B． C． D．
4．已知向量满足：，则等于（ ）
A 1 B C D
5.若非零向量满足，则（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
6．已知是所在平面内一点，为边中点，且，那么
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
7.为内一点，且满足，则为的( )
A 外心 B 内心 C 垂心 D 重心
8．已知点在所在平面内，且，
，则点依次是的__________.
9.的外接圆的圆心为O，两条边上的高的交点为H，，则实数m =

10．已知为所在平面内一点，满足，则点是的 （ ） A 外心 B 内心 C 垂心 D 重心
11．如图，在中，点是的中点，过点的直线分别交直线，于不同的两点，若，，则的值为 ．
12.的三内角所对边的长分别为设向量,,若,则角的大小为
(A) (B) (C) (D)
13．在四边形中，则，四边形的面积为
__________.
14.已知，点在内，且，设
，则等于______.
15.设为所在平面内的一点，并且，则与的面积之比等于.
16．在中，为的内心，且，则（）
17．已知向量和，且求的值.
18．设函数其中向量a=(m,cos2x),b=(1+sin2x,1),x∈R,且函数y=f(x)的图象经过点，
（Ⅰ）求实数m的值；
（Ⅱ）求函数f(x)的最小值及此时x的值的集合.
19．给定抛物线，是的焦点，过点的直线与相交于两点。
（1）设的斜率为1，求与夹角的大小；
（2）设，若，求在轴上的截距的变化范围。