直线与圆锥曲线的位置关系【专题复习】.doc

直线与圆锥曲线的位置关系
一．知识网络结构：

2.直线与圆锥曲线的位置关系：
⑴.从几何角度看：（特别注意）要特别注意当直线与双曲线的渐进线平行时，直线与双曲线只有一个交点；当直线与抛物线的对称轴平行或重合时，直线与抛物线也只有一个交点。
⑵.从代数角度看：设直线L的方程与圆锥曲线的方程联立得到。
①. 若=0，当圆锥曲线是双曲线时，直线L与双曲线的渐进线平行或重合；
当圆锥曲线是抛物线时，直线L与抛物线的对称轴平行或重合。
②.若，设。.时，直线和圆锥曲线相交于不同两点，相交。
b.时，直线和圆锥曲线相切于一点，相切。c.时，直线和圆锥曲线没有公共点，相离。
二．常考题型解读：题型一：直线与椭圆的位置关系：
例1.椭圆上的点到直线的最大距离是（ ）
A.3 B. C. D.
例2.如果椭圆的弦被点平分，则这条弦所在的直线方程是（ ）
A. B. C. D.
题型二：直线与双曲线的位置关系：
例3.已知直线与双曲线=4。
⑴若直线与双曲线无公共点，求k的范围；⑵若直线与双曲线有两个公共点，求k的范围；
⑶若直线与双曲线有一个公共点，求k的范围；⑷若直线与双曲线的右支有两个公共点，求k的范围；⑸若直线与双曲线的两支各有一个公共点，求k的范围。

题型三：直线与抛物线的位置关系：
例4.在抛物线上求一点P，使P到焦点F与P到点的距离之和最小。

题型四：弦长问题：
直线与圆锥曲线相交时的弦长问题是一个难点，化解这个难点的方法是：设而不求，根据根与系数的关系，进行整体代入。即当直线与圆锥曲线交于点，时，则==
==
可根据直线方程与圆锥曲线方程联立消元后得到的一元二次方程，利用根与系数的关系得到两根之和，两根之积的代数式，然后再进行整体带入求解。
例5.过双曲线的右焦点，倾斜角为的直线交双曲线于A、B两点，求。

题型五：中点弦问题：求以某定点为中点的圆锥曲线的弦的方程的几种方法：
⑴.点差法：将弦的两个端点坐标代入曲线方程，两式相减，即可确定弦的斜率，然后由点斜式得出弦的方程；
⑵.设弦的点斜式方程，将弦的方程与曲线方程联立，消元后得到关于x（或y）的一元二次方程，用根与系数的关系求出中点坐标，从而确定弦的斜率k，然后写出弦的方程；
⑶.设弦的两个端点分别为，则这两点坐标分别满足曲线方程，又为弦的中点，从而得到四个方程，由这四个方程可以解出两个端点，从而求出弦的方程。
例6.已知双曲线方程=2。⑴求以A为中点的双曲线的弦所在的直线方程；
⑵过点能否作直线L，使L与双曲线交于，两点，且，两点的中点为？如果存在，求出直线L的方程；如果不存在，说明理由。

题型六：圆锥曲线上的点到直线的距离问题：
例7.在抛物线上求一点，使它到直线L：的距离最短，并求这个最短距离。

练 习 题
1.（09上海）过点作倾斜角为的直线，与抛物线交于两点，则= 。
写出所涉及到的公式：
2.（09海南）已知抛物线C的顶点坐标为原点，焦点在x轴上，直线y=x与抛物线C交于A，B两点，
若为的中点，则抛物线C的方程为 。
3.（08宁夏海南）过椭圆的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于A、B两点，O为坐标
原点，则△OAB的面积为
4.（11全国）已知直线L过抛物线C的焦点，且与C的对称轴垂直，L与C交于A，B两点，，
P为C的准线上一点，则的面积为（ ）
A．18 B．24 C． 36 D． 48
5.（09山东）设斜率为2的直线过抛物线的焦点F,且和轴交于点A,若△OAF(O为坐标原点)的面积为4,则抛物线方程为( )
A. B. C. D.
6.（09山东）设双曲线的一条渐近线与抛物线y=x+1 只有一个公共点，则双曲线的离心率为( ).A. B. 5 C. D.
7.（10全国）设,分别是椭圆E：+=1（0﹤b﹤1）的左、右焦点，过的直线L与E相交于A、B两点，且，，成等差数列。⑴求⑵若直线L的斜率为1，求b的值。
8.（11江西）已知过抛物线的焦点，斜率为的直线交抛物线于（）两点，且．⑴求该抛物线的方程；⑵为坐标原点，为抛物线上一点，若，求的值．

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