三角形角平分线性质与判定例习题教学案例.doc

变出精彩 激活思维 ----三角形角平分线性质与判定例习题教学案例
湖北省襄阳市襄城区第二十五中学 陈玲
在减负背景下，讲究课堂教学的优质高效性是师生共同的追求目标.在减负教育新政的课改形势下，提高课堂教学质量的主阵地势必落到课堂上来，课堂要高效，教师就要认真备课，根据教学内容、学生情况，设计出能最大限度地激发学生学习兴趣、调动学生学习积极性的例习题。例习题教学是数学教学的重要组成部分，提高例题教学的有效性是提高教学质量的关键.通过例题教学，帮助学生理解知识，突出重点，突破难点，形成技能，提炼思想，培养能力，努力促进学生在知识与技能、数学思维、情感与态度等方面充分发展
以下笔者将学生在学完三角形角平分线性质与判定后所讲的一节习题课案例呈现如下：
一、教学目标
（一）知识与技能
1.熟练掌握角的平分线的性质与判定定理；
2.会利用角的平分线的性质与判定进行证明与计算.
（二）过程与方法
在应用角的平分线的性质与判定定理的过程中,进一步发展学生的推理证明意识和能力.
（三）情感、态度与价值观
在应用角的平分线的性质与角的平分线的判定定理的过程中,培养学生探究问题的兴趣、合作交流的意识、动手操作的能力与探索精神,增强解决问题的信心,获得解决问题的成功体验.
二、教学重点、难点
重点：角平分线的性质、判定的辨析，以及熟练运用。；
难点：通过习题进一步辨析角平分线的性质、判定，并进行熟练地运用　
三、教法学法
自主探索,合作交流的学习方式.
四、教学过程
（一） 复习、回顾
１角平分线的性质定理: 角平分线上的点到角两边的距离相等
角平分线的性质定理几何语言：
∵ OC平分∠BOA, PD⊥OA ，PE⊥OB ∴ PB=PD
2角平分线的判定定理: 到角的两边的距离相等的点在角的平分线上
角平分线的判定定理几何语言：
∵PD⊥OA ，PE⊥OB且PB=PD
∴OC平分∠BOA

母题：新人教版八上教材P的例题
如图, △ABC的角平分线BM,CN相交于点P,
求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等
证明：过点P作PD⊥AB于D，PE⊥BC于E，PF⊥AC于F
∵BM是△ABC的角平分线,点P在BM上,
∴PD=PE(角平分线上的点到这个角的两边距离相等)
同理,PE=PF.
∴PD＝PE=PF.即点P到三边AB、BC、CA的距离相等

变式1 如图所示，已知△ABC的角平分线BM，CN相交于点P，那么AP能否平分∠BAC？请说明理由．由此题你能得到一个什么结论？
分析：由题中条件可知，本题可以采用角的平分线的性质及判定来解答，因此要作出点P到三边的垂线段．
解：AP平分∠BAC．
结论：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等．
理由：过点P分别作BC，AC，AB的垂线，垂足分别是E、F、D．
∵BM是∠ABC的角平分线且点P在BM上，
∴PD＝PE（角平分线上的点到角的两边的距离相等）．
同理PF＝PE，∴PD＝PF．
∴AP平分∠BAC（到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上）．
变式2将变式1中的两内角平分线变成两外角平分线
如图，已知△ABC的外角∠CBD和∠BCE的平分线相交于点F，
求证：点F在∠DAE的平分线上．
证明：过点F作FG⊥AE于G，FH⊥AD于H，FM⊥BC于M
∵点F在∠BCE的平分线上， 　FG⊥AE， FM⊥BC
∴FG＝FM
又∵点F在∠CBD的平分线上， 　FH⊥AD， FM⊥BC
∴FM＝FH ∴FG＝FH∴点F在∠DAE的平分线上
在学生由相应的思想方法即“作垂线、证相等”的通法解决以上题目后，紧接着出示有关角平分线的夹角问题：
命题 如图１，点D是△ABC两个内角平分线的交点，则∠BDC =90°+∠A．
证明：如图１：
∵2∠1＝∠ABC，2∠２＝∠ACB，
∴2∠1＋2∠2＋∠A＝180°①
∠1＋∠2＋∠BDC=180°②
①－②得：
∠1＋∠2＋∠A＝∠BDC③
由②得：
∠1＋∠2=180°－∠BDC④
把③代入④得：
∴180°－∠BDC＋∠A＝∠BDC
∠BDC =90°+∠A．
点评 利用角平分线的定义和三角形的内角和等于180°，不难证明.
以下变式在学生独立思考的基础上以小组合作互学的方式达成学习目标。然后用多媒体进行展示：
变式1 : 如图２，点D是△ABC两个外角平分线的交点，则∠D=90°－∠A．
证明：如图２：
∵DB和DC是△ABC的两条外角平分线，
∴∠D=180°－∠1－∠2
=180°－（∠DBE+∠DCF）
=180°－（∠A+∠4+∠A+∠3）
=180°－ （∠A+180°）
=180°－ ∠A－90°
=90°－ ∠A；
点评 利用角平分线的定义和三角形的一个外角等于与它不相邻两外角的和以及三角形的内角和等于180°，可以证明.

变式2 :如图3，点E是△ABC一个内角平分线与一个外角平分线的交点，则∠E=∠A．
证明：如图3：
∵∠1=∠2，∠3=∠4，
∠A+2∠1=2∠4①
∠1+∠E=∠4②
①×代入②得：
∠E=∠A．
点评 利用角平分线的定义和三角形的一个外角等于与它不相邻两外角的和，很容易证明.

变式3　如图４，点E是△ABC一个内角平分线BE与一个外角平分线CE的交点，证明:AE是△ABC的外角平分线.
证明：如图3：
∵BE是∠ABC的平分线,可得：EH=EF
CE是∠ACD的平分线, 可得：EG=EF
∴过点E分别向AB、AC、BC所在的直线引垂线，所得的垂线段相等.
即EF=EG=EH
∵EG=EH
∴AE是△ABC的外角平分线．
点评 利用角平分线的性质和判定能够证明．

熟悉和掌握以上题目的结论能轻松地解答一些相关的比较复杂的问题，下面来试试看．
练习1如图5，PB和PC是△ABC的两条外角平分线．
①已知∠A=60°，请直接写出∠P的度数是 .
②三角形的三条外角平分线所在的直线形成的三角形按角分类属于 三角形？
解析：①由命题1的变式1的结论直接得：∠P=90°－ ∠A=90°－ ×60°=60°
②根据命题命题1的变式1的结论∠P=90°－ ∠A，知三角形的三条外角平分线所在的直线形成的三角形的三个角都是锐角，则该三角形是锐角三角形．
 点评 此题直接运用命题2的结论很简单．同时要知道三角形按角分为锐角三角形、直角三角形和钝角三角形．
练习２ 如图6，在△ABC中，延长BC到D,∠ABC与∠ACD的角平分线相较于点，∠BC与∠CD的平分线交与点，以此类推，…，若∠A=96°，则∠=          度．
解析：由命题1的变式2的结论不难发现规律∠∠A．
可以直接得：∠=×96°=3°． 
 点评　此题是要找出规律的但对要有命题命题1的变式2的结论作为基础知识．
练习３如图7，△ABC的外角∠ACD的平分线CP的内角∠ABC平分线BP交于点P，若∠BPC=40°，则∠CAP=_______________．
 解析：此题直接运用命题1的变式3的结论可以知道ＡＰ是△ABC的一个外角平分线，结合命题1的变式2的结论知道∠BAC=2∠BPC, CAP=(180°－∠BAC )= (180°－2∠BPC )=50°．
点评　若熟悉命题1的变式1和2的结论解决此题易如反掌，否则将是一道在考试的时候花时间也不一定做的出来的题目．
练习4　如图，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，∠BAC=30°，∠ACB的平分线与∠ABC的外角平分线交与E点，连接AE，则∠AEB=          度．

解析：由题目和命题1的变式3的结论可以知道AE是△ABC的一个外角平分线, 结合命题1的变式1的结论知道∠AEB=∠ACB－∠ACB=90°－×90°=45°
点评  从上面的做题过程来看题目中给出的“∠A=30°”这个条件是可以不用的．
（以上四个练习课堂上未解决完的留作作业继续探究）
小结：数学学习离不开解题，但不能陷入题海，不能让学生成为解题的机器.对做过的题目要进行反思总结，并站在一定的高度加以审视，从中发掘题目的精髓，看清问题的本质，对数学有思有悟，这样，学生才能从更高的观点，用更宽的视野，更理性的眼光，去思考解决数学问题，让数学课堂不断出新出奇出彩，充分挖掘教材的例习题之间的内在联系，使之形成习题串，由此及彼，举一反三，不仅激发学生探究的激情，也培养了学生的思维能力，真正实现了让数学课堂例习题教学真实高效.
不足之处的反思
教学过程应注重师生互动，学会从学生的角度思考问题，与学生共同交流解题思路，及时发现学生中的典型错误，教师也应在课堂上适时地进行“诱错”、“示错”，然后引导学生进行“辨错”、“识错”、“明错”、“改错”，让学生从“错误”走向“正确”.教师应深深地意识到，“错误”与“正确”都是教学上的重要资源.不应对学生产生的错误思路进行简单的否决，而应该将错就错，错中求正，败中求胜，有效防止类似错误的再次发生，提高解题正确率.
 通过这堂课，感觉自身的课堂教学还有很多地方有待于改进和完善。尤其是对课堂语言的锤炼，不仅仅是表达清楚，更要言简意赅，把更多的时间留给学生，让学生在课堂上有更多的时间去思考。还要注意，发挥学生的主体性不应停留在口头上，还要在实际操作时充分体现教师是学生学习的引导者，学生是学习的真正的主人。更要在实际教学中始终贯彻先学后教的模式，更好地培养学生的合作精神与个人能力。