参数方程与极坐标方程复习.doc

教师辅导讲义

课 题
参数方程和极坐标方程

教学目标

能够把参数方程、极坐标方程、直角坐标方程三者互化，并学会应用
教学内容
参数方程
基础知识点击：
1、 曲线的参数方程
在取定的坐标系中，如果曲线上任意一点的坐标x,y都是某个变数t的函数， (1) 并且对于t的每一个允许值，由方程组(1)所确定的点M(x,y)都在这条曲线上，那么方程组(1)叫做这条曲线的参数方程.
联系x、y之间关系的变数叫做参变数，简称参数.
2、 求曲线的参数方程
求曲线参数方程一般程序：
(1) 设点：建立适当的直角坐标系，用(x,y)表示曲线上任意一点M的坐标；
(2) 选参：选择合适的参数；
(3) 表示：依据题设、参数的几何或物理意义，建立参数与x，y的关系
式，并由此分别解出用参数表示的x、y的表达式.
(4) 结论：用参数方程的形式表示曲线的方程
3、 曲线的普通方程
相对与参数方程来说，把直接确定曲线C上任一点的坐标（x,y）的方程F（x,y）＝0叫做曲线C的普通方程.
4、 参数方程的几个基本问题
(1) 消去参数，把参数方程化为普通方程.
(2) 由普通方程化为参数方程.
(3) 利用参数求点的轨迹方程.
(4) 常见曲线的参数方程.
5、曲线的普通方程与曲线的参数方程的区别与联系
曲线的普通方程＝0是相对参数方程而言，它反映了坐标变量与y之间的直接联系；而参数方程 t是通过参数t反映坐标变量与y之间的间接联系.曲线的普通方程中有两个变数，变数的个数比方程的个数多1；曲线的参数方程中，有三个变数两个方程，变数的个数比方程的个数多1个.从这个意义上讲，曲线的普通方程和参数方程是“一致”的.
6、 几种常见曲线的参数方程
（1）圆的参数方程
(ⅰ)圆的参数方程为(为参数)的几何意义为“圆心角”
(ⅱ)圆的参数方程是
（为参数）的几何意义为“圆心角”
（2）椭圆的参数方程
(ⅰ)椭圆 () 的参数方程为 （为参数）
(ⅱ)椭圆 ()的参数方程是
（为参数）的几何意义为“离心角”
（3）双曲线的参数方程
(ⅰ)双曲线 的参数方程为 （为参数）
(ⅱ)双曲线的参数方程是
（为参数）的几何意义为“离心角”
（4） 抛物线的参数方程
(p>0) 的参数方程为
（t为参数） 其中t的几何意义是抛物线上的点与原点连线的斜率的倒数（顶点除外）.

例题补充：
1．将参数方程化为普通方程为（ ）
（A）xy＝1 （B）xy＝1 （xy>0） （C）y＝ （D）y＝ (x>0)

2.直线与直线x＋y＝0的交点到点（－1，2）的距离为 。

3．求下列参数方程所表示的曲线：
（1）； （2）

变式1：（2005上海高考理6）将参数方程（为参数）化为普通方程，所得方程是______

2、（2009上海卢湾二模理7）将参数方程（为参数，）化为普通方程，所得方程是 ．

4． 参数方程 (t是参数)表示的图形是（ ）。
（A）直线 （B）射线 （C）线段 （D）圆

5.分别在下列两种情况下，把参数方程（其中是常数）化为普通方程：
（1），；（2），；

6.参数方程表示的曲线的图形是（ ）

（A） （B） （C） （D

7.参数方程(a>b>0)表示的曲线是（ ）
（A）y轴左侧的半个椭圆 （B）y轴右侧的半个椭圆
（C）x轴上方的半个椭圆 （D）x轴上方的半个椭圆

8. 抛物线 (t为参数)，则它在y轴正半轴上的截距是（ ）。
（A）1 （B）2 （C）4 （D）不存在

9. 曲线的参数方程为 (0≤t≤5)，则曲线是（ ）。
（A）线段 （B）直线 （C）圆 （D）双曲线的一支

10．斜率为的动直线与圆C: (x－1)2＋y2＝1相交于A、B两点，求弦AB的中点M的轨迹方程。

11．已知直线和圆；
（1）时，证明与总相交。
（2）取何值时，被截得弦长最短，求此弦长

12．过原点的直线与抛物线y=x2－2x＋2相交于A、B两点，则弦AB的中点P的轨迹方程是（ ）。
（A）y=2x2－2x (|x|>) （B）y=2x2－2x (|x|<)
（C）y=2x2＋2x (|x|>) （D）y=2x2＋2x (|x|<)

13．按下列条件，把化为参数方程：
以曲线上的点与圆心的连线和轴正方向的夹角为参数。

以曲线上的点与原点的连线和轴正方向的夹角为参数

14.将曲线的普通方程化为参数方程。

15、已知实数、满足，（1）求的最大值；（2）求的最小值．

变式：1、若点P在圆上运动，则的最大值为

2、（2009静安二模理）已知是椭圆上的一个动点，则的最大值是 ．

16、若实数满足，则的最小值为

17、（09上海•闵行二模）已知椭圆（为参数）上的点到它的两个焦点、的距离之比，且，则的最大值为 [答]（ ）
(A) . (B) . (C) . (D) .

18、（05上海•理19）点A、B分别是椭圆长轴的左、右焦点，点F是椭圆的右焦点点P在椭圆上，且位于x轴上方，
（1）求P点的坐标；
（2）设M是椭圆长轴AB上的一点，M到直线AP的距离等于，求椭圆上的点到点M的距离d的最小值

19、（09年松江区二模）若椭圆:和椭圆: 满足，则称这两个椭圆相似，称为其相似比.
（1）求经过点，且与椭圆相似的椭圆方程;
（2）设过原点的一条射线分别与（1）中的两个椭圆交于A、B两点（其中点A在线段OB上），
求的最大值和最小值;

极坐标方程
基础知识点击：
一、极坐标方程与直角坐标方程的互化
1、极坐标系
在平面上取定一点O，以点O为端点引射线OX，再选定一个单位长度和旋转角的正方向，这样建立起来的坐标系叫做极坐标系，定点O叫做极点，射线OX叫做极轴，叫做点M的极坐标，其中叫做点M的极径，叫做点M的极角；（通常情况下）
2、曲线的极坐标方程
在极坐标系中，平面内的一条曲线可以用含有这两个变数的方程来表示，方程叫做这条曲线的极坐标方程；
3、极坐标和直角坐标的互化
把直角坐标系的原点，作为极点，x轴的正半轴作为极轴，并且取相同的单位长度，设M是平面内任意一点，它的直角坐标为（x，y），极坐标为，
则或

二、已知曲线的极坐标方程,判断曲线类型
常见的直线和圆的极坐标方程及极坐标系中的旋转不变性:
1、直线的极坐标方程(a>0)
(1)过极点,并且与极轴成α角的直线的极坐标方程:=α;
(2)垂直于极轴和极点间的距离为a的直线的极坐标方程:cos=a;
(3)平行于极轴和极轴间的距离为a的直线的极坐标方程:sin=a;
(4)不过极点,和极轴成角,到极点距离为a的直线的极坐标方程:
sin(α-θ)=a.
2、圆的极坐标方程(a>0)
(1)圆心在极点,半径为a的圆的极坐标方程: =a;
(2)圆心在(a,0),半径为a的圆的极坐标方程: =2acos;
(3)圆心在(a,),半径为a的圆的极坐标方程: =;
(4)圆心在(a,),半径为a的圆的极坐标方程: =2asin;
(5)圆心在(a,),半径为a的圆的极坐标方程: =;
(6)圆心在(a, 0),半径为a的圆的极坐标方程: =2acos(-0).
3、极坐标系中的旋转不变性:
曲线f(,+)=0是将曲线f(,)=0绕极点旋转||角(时,按顺
时针方向旋转,时,按逆时针方向旋转)而得到.

习题补充：
一、直角坐标方程、参数方程与极坐标方程的互化
1、(1998年上海)以直角坐标系的原点O为极点,x轴的正半轴为极轴建立极坐标系,若椭圆两焦点的极坐标分别是(1,),(1,),长轴长是4,则此椭圆的直角坐标方程是_______________.

2、(1995年上海)把直角坐标系的原点作为极点,x轴的正半轴作为极轴,并且在两种坐标系中取相同的长度单位.若曲线的极坐标方程是,则它的直角坐标方程是___________.

3、(2003全国)圆锥曲线的准线方程是
(A) (B) (C) (D)

4、(1998年全国)曲线的极坐标方程=4sin化成直角坐标方程为
(A) x2+(y+2)2=4 (B) x2+(y-2)2=4
(C) (x-2)2+y2=4 (D) (x+2)2+y2=4

5、(2002北京)已知某曲线的参数方程是(为参数)若以原点为极点,x轴的正半轴为极轴,长度单位不变，建立极坐标系，则该曲线的极坐标方程是
(A) (B) (C) (D)

6、(2007海南宁夏)⊙O1和⊙O2的极坐标方程分别为，．
(I)把⊙O1和⊙O2的极坐标方程化为直角坐标方程；
(II)求经过⊙O1，⊙O2交点的直线的直角坐标方程．

7、(2004北京春)在极坐标系中，圆心在(且过极点的圆的方程为
(A) (B) (C) (D)

8、 (1999年上海)极坐标方程52cos2+2-24=0所表示的曲线焦点的极坐标为__________.

二、判断方程所表示的曲线
1、(2007上海高考11)已知圆的方程，为圆上任意一点（不包括原点）。直线的倾斜角为弧度，，则的图象大致为
【解】
【解析】

2、(2009上海金山区二模15)极坐标方程：r = 2cosq表示的曲线是…………………………………………( )
(A)经过点(1,0)且垂直极轴的直线 (B)圆心为(1, 0)，半径为1的圆
(C)圆心为(1,)，半径为1的圆 (D)经过点(1, )且平行极轴的直线

3、(1994年全国)极坐标方程=cos(-)所表示的曲线是
(A) 双曲线 (B)椭圆 (C)抛物线 (D)圆

1
x
0
1
x
0
1
x
0
x
0
1
4、(2001年全国)极坐标方程=2sin(+)的图形是

(A) (B) (C) (D)
变式1、(2002江苏)极坐标方程与=的图形是
0
x
0
x
0
x
0
x

(A) (B) (C) (D)

5(1990年全国)极坐标方程4sin2=5所表示的曲线是
(A)圆 (B)椭圆 (C)双曲线的一支 (D)抛物线

变式:1、(1991年三南)极坐标方程4sin2=3表示的曲线是
(A)二条射线 (B)二条相交直线 (C) 圆 (D) 抛物线

2、(1987年全国)极坐标方程=sin+2cos所表示的曲线是
(A)直线 (B)圆 (C)双曲线 (D) 抛物线

3、(2001年广东、河南)极坐标方程2cos2=1所表示的曲线是
(A)两条相交直线 (B)圆 (C)椭圆 (D)双曲线

4、(2003北京)极坐标方程表示的曲线是
(A)圆 (B)椭圆 (C)抛物线 (D)双曲线

三、判断曲线位置关系
1、(2000年京皖春)直线=和直线sin(-)=1的位置关系
(A) 垂直 (B) 平行 (C) 相交但不垂直 (D) 重合

四、根据条件求直线和圆的极坐标方程
1、（2009青浦二模10）在极坐标系中,过圆的圆心,且垂直于极轴的直线的极坐标方程是 ．

2、(1992年上海)在极坐标方程中,与圆=4sin相切的一条直线的方程是
(A) sin=2 (B)cos=2 (C)cos= 4 (D) cos=- 4

3、(1993年上海)在极坐标方程中,过点M(2,)且平行于极轴的直线的极坐标方程是_______.

4、(1994年上海)已知点P的极坐标为(1,),那么过点P且垂直于极轴的直线的极坐标方程为

(A)=1 (B)=cos (C)= (D)=

5、 (2002北京春)在极坐标系中,如果一个圆的方程是r=4cosq+6sinq，那么过圆心且与极轴平行的直线方程是
(A) rsinq=3 (B) rsinq = –3 (C) rcosq =2 (D) rcosq = –2

6、(2000年全国)以极坐标系中点(1,1)为圆心,1为半径的圆的方程是
(A)=2cos(-) (B)=2sin(-) (C)=2cos(-1) (D)=2sin(-1)

五、求曲线中点的极坐标方程
1、 (2003上海)在极坐标系中，定点A(1,),点B在直线上运动，当线段AB最短时，点B的极坐标是_________.

2、（2009闸北二模10）在极坐标系中，定点A，点B在曲线上运动，当线段AB最短时，点B的极坐标是 ．

3、(2001年京皖蒙春)极坐标系中,圆=4cos+3sin的圆心的坐标是
(A) (,arcsin) (B)(5,arcsin) (C)(5,arcsin) (D)(,arcsin)

六、求距离
1、(2004上海7)在极坐标系中,点M(4,)到直线l:ρ(2cosθ+sinθ)=4的距离d= .

2、(2010上海调研试卷12)在极坐标系中，若过点且与极轴垂直的直线交曲线于两点 ，
则 。

3、（09虹口二模9）极坐标方程表示的圆:ρ=2cosθ-2sinθ的半径长为

4、（09南汇二模8）已知直线的极坐标方程为，则极点到这条直线的距离是

5、（09松江二模8）极坐标系中，曲线和相交于点，则＝ .

6、(2000年上海)在极坐标系中,若过点(3,0)且与极轴垂直的直线交曲线= 4cos于A、B两点，则|AB|=______.

7、(2004上海)在极坐标系中,点M(4,)到直线:的距离d=__________________.

8、(2007广东文)在极坐标系中，直线的方程为ρsinθ=3，则点(2,)到直线的距离为___________.

9、(1992年全国、1996年上海、09徐汇二模)极坐标方程分别是=cos和=sin的两个圆的圆心距是
(A) 2 (B) (C) 1 (D)

10、(1997年全国)已知直线的极坐标方程为sin(+)=,则极点到该直线的距离是_______.

七、判定曲线的对称性
例15、(1999年全国)在极坐标系中,曲线= 4sin(-)关于
(A) 直线=轴对称 (B)直线=轴对称
(C) 点(2, )中心对称 (D)极点中心对称

八、求三角形面积
1、(2006上海)在极坐标系中,O是极点，设点A(4,)，B(5,)，则△OAB的面积是 .

2、(2009上海10)在极坐标系中，由三条直线，，围成图形的面积是________. w.w.w.k.s.5.u.c.o.m

3、（09闵行二模5）在极坐标系中，两点的极坐标分别为、，为极点，则面积为 .

4、（09普陀二模7）在极坐标系中，设曲线和相交于点、，则＝ .

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