参数方程习题课.doc

参数方程习题课
一、双基检测
1（09广东理14）若直线（t为参数）与直线垂直，则常数= .
【解析】将化为普通方程为,斜率,
当时,直线的斜率,由得;
当时,直线与直线不垂直.综上可知,.
2、5．（广东佛山顺德区10质量检测试题理）若直线 （为参数）被曲线 （为参数，）所截，则截得的弦的长度是____________.
3. （广东省惠州市2010届高三第三次调研理科）若P是极坐标方程为的直线与参数方程为（为参数，且）的曲线的交点，则P点的直角坐标为 .
【解析】直线的方程为，曲线的方程为，联立解方程组得，，根据的范围应舍去,故点的直角坐标为P。
二、例题精讲
例1圆M的参数方程为（R>0）.(1)求该圆的圆心的坐标以及圆M的半径。（2）当R固定，变化时。求圆心M的轨迹。并证明此时不论取什么值，所有的圆M都外切于一个定圆。
解：（1）依题意得 圆M的方程为 故圆心的坐标为M（。
（2）当变化时，圆心M的轨迹方程为（其中为参数）两式平方相加得
。所以所有的圆M的轨迹是圆心在原点。半径为2R的圆
由于所以所有的圆M都和定圆外切，和定圆内切。
〔点评〕本题中所给的方程中含有多个参数，像这样的问题有时容易分不清哪个是真正的参数，究竟在具体的题目中哪个是真正的参数应视题目给定的条件，分清参数。
例2已知A，B分别是椭圆的右顶点和上顶点，动点C在该椭圆上运动，求∆ABC的重心的轨迹的普通方程。
解：由动点C在椭圆上运动，可设C的坐标为（6cos,3）,点G的坐标为.
依题意可知：A（6，0），B（0，3） 由重心坐标公式可知
由此得：
即为所求。
〔点评〕①本题的解法体现了椭圆的参数方程对于解决相关问题的优越性。运用参数方程显得很简单。运算更简便。常用于解决有关最值问题。②“平方法”是消参的常用方法。
例3已知线段BB’=4，直线l垂直平分BB’，交BB’于点O，在属于l并且以O为起点的同一射线上取两点P，P’，使OP·OP’＝9，求直线BP与直线B’P’的交点M的轨迹方程。

解： 以O为原点，BB’为y轴，l为x轴建立直角坐标系，则B（0，2），B’（0，-2），

［注］这是一道参数法（引入a作为参数）求轨迹方程的典型题，注意体会参数在解决问题中的作用。
例4 如图，点A在直线x=5上移动，等腰△OPA的顶角∠OPA为120°（O，P，A按顺时针方向排列），求点P的轨迹方程。

分析一：若设A（5，t），即引入变量t，则可求点P的轨迹的参数方程。为此，只需寻找两个等量关系：（1）½PO½＝½PA½；（2）ÐAPO＝120°
解法一： 设A（5，t），P（x，y）

由<1><2>，消去t，可得点P的轨迹方程（此时发现：消去t显得多么繁杂，甚至不可能。因此此法应放弃，该选择新的方法）。
分析二： 若建立极坐标系，也许求点P的轨迹的极坐标方程更简明些。只需以O作为极点，Ox轴的正方向为极轴建立极坐标系。再寻找点P（r，q）与点A（r0，q0）的坐标之间的关系，可分别寻求r与r0的关系以及q与q0的关系。
解法二： 取O为极点，x正半轴为极轴，建立极坐标系，则直线x=5的极坐标方程为rcosq=5 设A（r0，q0），P（r，q）

把<2>代入<1>，得点P的轨迹的极坐标方程为：
错难题：
边长为的等边三角形的两个顶点A、B分别在正半轴与正半轴上移动，第三个顶点C在第一象限，求第三个顶点C的轨迹方程
设角为参数，（）
直线（为参数）的倾斜角为
参数方程（为参数）表示曲线是
解：两条射线，其方程
已知曲线（为参数）上的点M、N对应的参数分别为且，那么M、N间的距离为
若在单位圆上以角速度按逆时针方向运动，点也在单位圆上运动，其运动规律是角速度为 且 时针方向运动
解：，顺