高三数学第一轮复习：立体几何复习—空间中的垂直关系(理)人教实验版(B).doc

高三数学第一轮复习：立体几何复习—空间中的垂直关系（理）人教实验版（B）

【本讲教育信息】
一. 教学内容：
立体几何复习：空间中的垂直关系

二. 教学目的
掌握空间中的垂直关系及其应用

三. 知识分析
【知识梳理】
【空间中的垂直关系】
1、空间任意直线互相垂直的一般定义
如果两条直线相交于一点或经过平移后相交于一点，并且交角为90°，则称这两条直线互相垂直．
2、直线与平面垂直
（1）空间直线与平面垂直的定义：
如果一条直线（AB）和一个平面（）相交于点O，并且和这个平面内过交点（O）的任何直线都垂直，我们就说这条直线和这个平面互相垂直，记作，直线AB叫做平面的垂线，平面叫做直线的垂面，交点叫做垂足．垂线上任一点到垂足间的线段，叫做这点到这个平面的垂线段．垂线段的长度叫做这点到平面的距离．
（2）直线与平面垂直的判定定理：
定理：如果一条直线与平面内的两条相交直线垂直，则这条直线与这个平面垂直．
推论：如果在两条平行直线中，有一条垂直于平面，那么另一条也垂直于这个平面．
（3）直线与平面垂直的性质定理：
定理：如果两条直线垂直于同一个平面，那么这两条直线平行．
另外，一条直线垂直于一个平面，那么它就和平面内的所有直线都垂直．
3、平面与平面的垂直
（1）定义：如果两个相交平面的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂直，就称这两个平面互相垂直．平面、互相垂直，记作．
（2）平面与平面垂直的判定定理：
定理：如果一个平面过另一个平面的一条垂线，则两个平面互相垂直．
（3）平面与平面垂直的性质定理
定理：如果两个平面互相垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面．
★★ 几点说明 ★★
1、直线和平面垂直、平面和平面垂直是直线与平面、平面与平面相交的特殊情况，对这种特殊位置关系的认识，既可以从直线和平面、平面和平面的交角为90°的角度讨论，又可以从已有的线线垂直、线面垂直关系出发进行推理和论证，还可以利用向量把几何推理和论证过程转化为代数运算过程．
2、无论是线面垂直还是面面垂直，都源自于线与线的垂直，这种转化为“低维”垂直的思想方法，在解题时非常重要，在处理实际问题的过程中，可以先从题设条件入手，分析已有的垂直关系，再从结论入手分析所要证明的垂直关系，从而架起已知与未知之间的“桥梁”。
3、在线面垂直和面面垂直的判定定理中，有一些非常重要的限制条件，如“两条相交直线”，那一个平面经过另一个平面的一条垂线”等，这既为证明指明了方向，同时又有很强的制约性，所以使用这些定理时，一定要注意体现逻辑推理的规范性．
4、空间中直线与直线垂直、直线与平面垂直、平面与平面垂直三者之间可以相互转化，每一种垂直的判定都是从某种垂直开始转向另一种垂直，最终达到目的，其转化关系为：

5、注意掌握好以下几个相似结论：
（1）垂直于同一个平面的两条直线平行．
（2）垂直于同一条直线的两个平面平行．
（3）垂直于同一个平面的两个平面平行或相交．
（4）垂直于同一条直线的两条直线平行、相交或者异面．

★空间中的垂直关系★★
【线线垂直的判定】
例1. 如图所示，ABCD为正方形，SA垂直于ABCD所在的平面，过A且垂直于SC的平面分别交SB、SC、SD于E、F、G．
求证：AE⊥SB，AG⊥SD．

分析：要证AE⊥SB，只要证明AE垂直于SB所在的平面SBC，因SC⊥面AEFG，BC⊥面SAB，所以易得结论．同理要证AG⊥SD，只需证明AG⊥面SDC即可．
证明：∵SA⊥平面ABCD
∴SA⊥BC
又BC⊥AB，，
∴BC⊥平面SAB，又AE平面SAB
∴BC⊥AE
∵SC⊥平面AEFG
∴SC⊥AE
又BC
∴AE⊥平面SBC
∴AE⊥SB，同理可证AG⊥SD
点评：本题的证明过程很具有代表性．即证明线线垂直，可先证线面垂直，而已知的线面垂直又可以产生有利于题目的线线垂直，在线线垂直和线面垂直的相互转化中，平面在其中起着至关重要的作用，由于线线垂直是相互的，应充分考虑线和线各自所在平面的特征，以顺利实现证明需要的转化．
证明线线垂直的常用方法有：
（1）利用定义：同一平面内相交成直角时，两直线互相垂直，异面直线成直角时，两条异面直线互相垂直．
（2）利用线面垂直：一条直线与一平面垂直，这条直线垂直于平面内任一直线．
（3）利用向量：把证明两直线垂直问题转化为两直线的方向向量垂直的问题．

【线面垂直的判定及性质】
例2. 如图，已知PA垂直于矩形ABCD所在平面，M、N分别是AB、PC的中点，若∠PDA=45°，求证：MN⊥平面PCD．
分析：要证MN⊥平面PCD，只需证明MN垂直于平面PCD内的两条相交直线．因为∠PDA=45°，∠PAD=90°，所以PA=AD，连接MC，易证Rt△PAM≌Rt△CBM，则MP、MC，故MN⊥PC，由中点想中点，取CD的中点E，易证CD⊥ME，从而CD⊥面MNE，故CD⊥MN，因此MN⊥平面PDC．
解析：方法一：PA⊥平面ABCDPA⊥AD，∠PDA=45°PA=AD=BC，
又M是AB的中点，

设E为CD的中点，连接ME，EN，

方法二：如图，取PD的中点F，连接AF，NF，
∵F、N分别为PD、PC的中点，
∴
又∵
∴，即
∴四边形AFNM为平行四边形
∴MN//AF
∵PA⊥平面ABCD且∠PDA=45°
∴△PAD为等腰直角三角形
∴AF⊥PD ①
又∵CD⊥AD，CD⊥PA
∴CD⊥平面PAD，∴CD⊥AF ②
由①②知AF⊥平面PDC
∴MN⊥平面PDC

方法三：向量法
∵四边形ABCD为矩形，且PA⊥平面ABCD，∠PDA=45°
∴PA、AD、AB两两互相垂直
且PA=AD
以A为坐标原点建立如图所示的空间坐标系
设PA=AD=a，AB=b，
则A（0，0，0），P（0，0，a），B（b，0，0），C（b，a，0），D（0，a，0）
∵M、N分别为AB、PC的中点
∴
∴

即MN⊥CD，MN⊥PC
又PC
∴MN⊥平面PCD

点评：证明线面垂直的方法：
（1）利用线面垂直的定义：证一直线垂直于平面内任一直线，这条直线垂直于该平面．
（2）用线面垂直的判定定理：证一直线与一平面内的两条相交直线都垂直，这条直线与平面垂直．
（3）利用线面垂直的性质：两平行线中的一条垂直于平面，则另一条也垂直于这个平面．
（4）用面面垂直的性质定理：两平面垂直，在一个平面内垂直于交线的直线必垂直于另一个平面．
（5）用面面平行的性质定理：一直线垂直于两平行平面中的一个，那么它必定垂直于另一个平面．
（6）用面面垂直的性质：两相交平面同时垂直于第三个平面，那么两平面的交线垂直于第三个平面．
（7）利用向量证明．

【面面垂直的判定】
例3. 如图，四棱锥P—ABCD的底面是边长为a的菱形，∠ABC=60°，PC⊥面ABCD，PC=a，E是PA的中点．

（1）求证：面BDE⊥面ABCD；
（2）求点E到面PBC的距离；
（3）求二面角A—EB—D的平面角的正切值．
（1）证明：设O是AC、BD的交点，连接EO．
∵ABCD是菱形，
∴O为AC、BD的中点，
又E为PA的中点，
∴EO//PC，又PC⊥面ABCD，
∴EO⊥面ABCD，
∴面BDE⊥面ABCD

（2）解：EO//PC，，EO//面PBC
∴点O到面PBC的距离等于点E到面PBC的距离，
作OF⊥BC于F．
∵PC⊥面ABCD，，
∴面PBC⊥面ABCD，
于是OF⊥面PBC，OF的长等于O到面PBC的距离．
由条件可得
∴E到面PBC的距离为
（3）解：作OG⊥EB于G，连接AG
∵OE⊥AC，BD⊥AC
∴AC⊥面BDE
∴AG⊥EB
∴∠AGO是二面角A—EB—D的平面角
∵OE=
∴EB=a

又
∴
即所求二面角的正切值为
点评：垂直和平行关系在立体几何问题中无处不在，对垂直和平行关系证明的考查是高考每年必考的内容，多以简单几何体尤其是棱柱、棱锥为主，或直接考查垂直和平行关系的判断及证明，或通过求角和距离间接考查，试题灵活多样．因此，在平时的复习中要善于总结、归纳并掌握此类问题的通性通法，加强空间想象能力，逻辑思维能力及语言表达能力的训练．在证明两平面垂直时，一般方法是先从现有的直线中寻找平面的垂线，若这样的直线图中不存在，则可通过作辅助线来解决；而作辅助线则应有理论根据并且要有利于证明，不能随意添加．在有平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直，要熟练掌握“线线垂直”、“线面垂直”、“面面垂直”间的转化条件和转化运用，这种转化方法是本节内容的显著特征．掌握转化思想方法是解决这类问题的关健．

【二面角的求法】
例4. 如图所示，在四面体ABCD中，AB⊥平面BCD，BCCD，∠BCD=90°，，E、F分别是AC、AD的中点．
（1）求证：平面BEF⊥平面ABC
（2）求平面BEF和平面BCD所成角的余弦值．

分析：对于问题（1）可采用“线面关系转化法”证明线面垂直；解决问题（2）可采用“定义法——作角、证明、求值”或面积射影公式求解．
（1）证明：利用线面、面面垂直的判定定理和性质定理．
如图所示，

（2）解：如图所示，作EH⊥BC于H，则EH⊥平面BCD．
因为三个平面BEF，ACD，BCD两两相交，且交线EF//CD，所以在平面BCD内过B作l//CD，则l是平面BEF与BCD的交线，
由BC⊥CD知BC⊥l，∴BE⊥l，
∴∠EBH是平面BEF与平面BCD所成二面角的平面角．
设AB=1，则
在Rt△EHB中，
∴
又∵∠EBH
∴
点评：有许多涉及求角与距离的问题（既可以用线面关系和解三角形理论求解，又可以用向量法求解，如果问题能通过一个基底或能建系求点，则可选用向量法，借助向量中的理论求解；否则可直接利用“”来研究，并在研究的基础上比较优劣，优化思维程序和解题方法．

【模拟试题】
1、已知直线m、n与平面、，给出下列三个命题：
①若m//,n//，则m//n；
②若m//,n⊥，则n⊥m；
③若m⊥，m//，则⊥．
其中真命题的个数是（ ）
A、0 B、1 C、2 D、3
2、设、、为平面，m、n、l为直线，则m⊥的一个充分条件是（ ）
A、⊥，=l，m⊥l
B、
C、
D、
3、给出下列四个命题：
①垂直于同一直线的两条直线互相平行；
②垂直于同一平面的两个平面互相平行；
③若直线、与同一平面所成的角相等，则、互相平行；
④若直线、是异面直线，则与、都相交的两条直线是异面直线．
其中假命题的个数是（ ）
A、1 B、2 C、3 D、4
4、已知正方体ABCD—，直线与平面所成的角的余弦值是（ ）
A、 B、 C、 D、
5、若三棱锥S—ABC的顶点S在底面上的射影H在△ABC的内部，且是△ABC的垂心，则（ ）
A、三条侧棱长相等 B、三个侧面与底面所成的角相等
C、H到△ABC三边的距离相等 D、点A在平面SBC上的射影是△SBC的垂心
6、如图，在正方形ABCD中，E、F分别是AB、BC的中点，现在沿DE、DF及EF把△ADE、△CDF、△BEF折起，使A、B、C三点重合，重合后的点记为P，那么在四面体P—DEF中，必有（ ）

A、DM⊥平面PEF B、PM⊥平面DEF
C、平面PDE⊥平面PEF D、平面PDE⊥平面DEF
7、正方形ABCD的边长是2，E、F分别是AB和CD的中点，将正方形沿EF折成直二面角（如图），M为矩形AEFD内一点，如果∠MBE = ∠ MBC，MB和平面BCF所成的角的正切值为，那么点M到直线EF的距离为_______________________

8、若正四棱锥的底面边长为cm，体积为4cm3，则它的侧面与底面所成的二面角的大小是_________
9、已知平面和平面交于直线l，P是空间一点，PA⊥，垂足为A，PB⊥，垂足为B，且PA=1，PB=2，若点A在内的射影与点B在内的射影重合，则点P到l的距离为______________．
10、如图，在底面为平行四边形的四棱锥P—ABCD中，AB⊥AC，PA⊥平面ABCD，且PA=AB，点E是PD的中点．
（1）求证：AC⊥PB；（4分）
（2）求证：PB//平面AEC；
（3）求二面角E—AC—B的大小．

11、如图，在棱长为1的正方形ABCD—中，P是侧棱CC1上的一点，CP=m．
（1）试确定m，使得直线AP与平面BDD1B1所成角的正切值为；
（2）在线段A1C1上是否存在一个定点Q，使得对任意的m，D1Q在平面APD1上的射影垂直于AP？并证明你的结论．

12、如图所示，AF、DE分别是⊙O、⊙O1的直径，AD与两圆所在的平面均垂直，AD=8，BC是⊙O的直径，AB=AC=6，OE//AD．
（1）求二面角B—AD—F的大小；
（2）求直线BD与EF所成的角．

【试题答案】
1、C 2、D 3、D 4、B 5、D 6、C
7、 8、30° 9、 10、（1）（2）略 （3）135°
11、（1） （2）Q为A1C1的中点
12、（1）45° （2）

用心 爱心 专心