函数与零点教案.doc

函数的零点
【教学目标】
1、了解函数零点的概念及函数零点的等价描述；
2、能利用二次函数的图象与判别式的符号，判断一元二次方程根的存在性及根
的个数；
3、理解判断函数零点存在性的结论并能研究简单的函数零点的存在性问题；
4、体现、感受并理解方程和函数图象在零点问题中的应用，渗透数形结合思想，
运用数形结合来研究和解决数学问题，并能应用从特殊到一般的数学方法去探索和认识数学知识。

【教学重难点】
1、重点：理解零点的概念利用二次函数的图象与判别式的符号，判断一元二次方程根的存在性及根的个数；应用函数零点存在性的结论研究函数零点的存在问题
2、难点：理解判断函数零点的存在性的结论

【教学过程】
（一）、问题情境
（1）画出二次函数的图象,并写出图象与x轴交点的横坐标。
说明：通过学生熟悉的二次函数图象入手，让学生体会二次函数图象与x轴交点的数值与方程根的对应关系，方程的实数根就是的函数值为0时自变量x的值,建立初步的数形结合数学思想。（课件展示函数图象）
（2）画出二次函数、与的图象,并写出图象与x轴交点的横坐标。
说明：通过两小题让学生认识到当二次函数的图象在x轴上方时，与之对应的方程无解，当二次函数的图象恰好与x轴相交时，与之对应的方程有相等的实数根，建立初步的函数与方程数学思想。
提出二次函数零点的概念（我们把使二次函数的值为0的实数x称为二次函数的零点）。
（二）、合作探究
探究二次函数的零点、二次函数的图象与一元二次方程的实数根之间的关系？

Δ>0
Δ=0
Δ<0
方程根的

的图象

的零点

说明：小组合作探究，由学生回答，教师对答案给予鼓励性的评价。通过完成以上问题,让学生体会从具体到一般函数图象与x轴交点与相应方程根的关系。如果学生有困难，教师可作一下点拨,结合二次函数的图象,推广到一般函数零点的定义。
板书课题:函数的零点
（三）、意义建构
函数的零点概念：我们把使函数的值为0的实数称为函数的零点（zeropoint）。
注：（1）零点不是点。

（2）等价关系
函数y=f(x)的零点

方程f(x)=0实数根（数）

函数y=f(x)的图象与x轴交点的横坐标（形）
有了上述的关系，就可用函数的观点看待方程，方程的根即函数的零点，可以把解方程的问题互化为思考函数图象与x轴的交点问题。这正是函数与方程思想的基础。
说明：通过对概念的陈述，让学生了解函数零点的概念及性质，对函数零点的概念有了完整的认识，达到质的飞跃。
（四）、数学运用
例1：求证：二次函数 有两个不同的零点

变式：证明在上是否存在零点

思考：如何判断一个函数在是否存在零点

3、零点存在性判定定理：若函数y=f（x）在区间[a，b]上的图象是一条不间断的曲线，且，则函数y=f（x）在区间（a，b）上有零点

讨论：（1）若f(a)·f(b)<0,函数y＝f(x)在区间(a,b)上就存在零点吗？
（2）若函数y=f(x)在区间[a,b]上连续，且f(a)·f(b)<0，则f(x)在区间(a,b)内会是只有一个零点么?
（3）若函数y=f(x)在区间[a,b]上连续，且f(a)·f(b)>0，则f(x)在区间(a,b)内就一定没有零点么？
（4）在什么条件下，函数y＝f(x)在区间(a,b)上可存在唯一零点？