实变函数第二章.doc

习题2.1

1．若是区间中的全体有理点之集，求．
解 ；。
2．设，求．
解 ；
3．下列各式是否一定成立? 若成立，证明之，若不成立，举反例说明．
(1) ； (2) ；
(3) ； (4) ；
(5) ； (6)
解 (1) 不一定。如设，（单点集），则, 而但是，总有。
(2) 不一定。如 , , 则 而
(3) 不一定。如设，（单点集），则, 而但是，总有。
(4) 不一定。如，，则，而。
(5) 不一定。如, , 则, ，而
，.
(6) 成立。因为, , 所以, 。因此，有。设, 则存在，使得且,令,则。故有，即。因此，.
4．试作一点集，使得，而．
解 令，则，.
5．试作一点集，使得．
解 取，则。
6．证明：无聚点的点集至多是可数集．
证明 因为无聚点的点集必然是只有孤立点的点集，所以只要证明：任一只有孤立点的点集是最多可数。对任意的，都存在使得。有理开球（即中心为有理点、半径为正有理数的开球）使得，从而。显然，对于任意的，当时，有，从而。令，则得到单射。由于可数，所以，是最多可数。
7．无聚点的点集与只有孤立点的点集是否相同?
答 不相同。例如，点集只有孤立，但是有一个聚点：。
8．对无聚点的点集, 是否一定存在一个正数, 使得该点集中任意二点间的距离大于?
答 不一定。例如，取
，
则无聚点。但是，这说明：不存在一个正数, 使得该点集中任意二点间的距离大于。
9．点集的聚点与点列的极限点有何异同? 证明：若，则存在且 使得．
证明 不同。聚点是针对点集的概念，而极限点（子列的极限）是针对点列的概念。对于一个点列，可以得到一个点集。 如果, 则必是点列的极限点。反之不真。如取，则1是点列的极限点，但它不是点集的聚点（因为没有聚点）。对于可数点集
，
得到点列。显然，点集的聚点与点列的极限点是相同的。
设，则对, 中有的无限个点。任取一点。令，则中有的无限个点。任取一点。如此下去, 可得点列满足：
，().
易见，是的各项互不相同的点列且。可见，。
10．证明：的充要条件是对任意，含有一个异于的的点．
证明 必要性显然.
充分性. 对, 在中有一点, 而。令
,
在中有一点且。令
,
在中有且。这样继续下去，得到中各项互不相同的点列使得。从而，，由上题知.
11．使得．
证明 必要性。设，则。显然，且。
充分性 设使得，则使得当时有，从而。可见，。
12. 设点列,,证明: .
证明 由可知：对任意的使得当时, 有; 当时, 。令, 则当时, 有且. 从而，当时，有
。
所以。由的任意性知，.
13. 设点列,,证明: ,有
(1) ;
(2) .
证明 （1）由, 可知对任意的使得当时，有; 当时，有.令, 则当时, 有
且.
所以，当，有
。
从而.
（2）因为

所以
。
因此，。

习题2.2

1．点集为闭集当且仅当中的收敛点列的极限仍然属于．
证明 必要性. 设为闭集, 即。取任一收敛点列, 且
.
下证. 事实上, 若存在使得, 则；否则，对任一都有。因为, 所以对任意，中必有的异于的点。从而，由习题2.1.10可知:是的聚点, 所以.
充分性. 设中任何一个收敛点列必收敛于中的一点, 则对任意的, 存在点列使得, 由假设知。所以, 即为闭集.
2．证明：是含于内的一切开集的并．
证明 设, 为所有含于内的开集所组成的集合, 则(任意的).
记, 下证。一方面, 显然是一个含于的开集, 所以。另一方面, ，有,从而。但是(为开集), 所以.因此， 。因此.
3．证明：是包含的一切闭集的交．
证明 设为所有包含了的闭集之集, 则(任意的). 记，下证. 一方面，显然是一个含的闭集，所以。另一方面, 对，有，从而。但 (为闭集), 所以（）。 因此，. 故.
4．设是非空有界闭集，令证明：．
证明 使得。从而
,
于是，因此. 再由的任意性知.
同理可得：使得 所以. 因此，
知. 由的任意性知.
5．设是渐张开集列，令，点集是有界闭集且．证明：存在自然数，当时，有．
证明 由是有界集, , 必存在使得. 又因为, 所以. 取则当时，有.
6．证明：中的任何闭集都可表示为可数个开集的交；中的任何开集都可表示为可数个闭集的并．
提示：考虑．
证明 当为空集时，显然。下设为非空集。令，则，从而. 另一方面， 设，则有, 所以,使得, 即. 当, 则. 由于是闭集, 必有. 因此. 综上可知：。
对中的任何开集，为闭集，从而由已证结论知：存在一列开集使得，所以.显然，都是闭集。
7．设是中的点集，证明：是闭集．
证明 因为且,所以,故是闭集.
8．设是两个有界闭集，证明：

是中的有界闭集．
证明 有界性. 因为有界, 所以存在使得对任意的,有对任意的, 有, 从而任意的，有
,
于是且有界的
闭性. 设为中的收敛点列，且
.
由于
,
可见，. 因为为闭集，所以，即, 故为闭集.
9．两个完备集的交集是否一定是完备集？两个完备集的并集是否一定是完备集？可数多个完备集的并集呢？
证明 两个完备集的交集不一定是完备集，如不完备.
两个完备集的并集是完备集. 事实上，设完备，则

所以是完备的.
可数个完备集的并集不一定是完备集. 如：不完备.
10．若是中的开集，证明：．
11．设在整个数轴上有定义，其函数值只取整数，证明：的连续点之集是开集，间断点之集是闭集．
证明 设表示的连续点之集, 则, 有
。
对于，使得有. 因为为整数，所以，有。因此，, 故为开集. 进而，的间断点之集是闭集.
12．证明：直线上任何一列稠密开集的交集是稠密的型集,即若为开集且，则.
证明 设为直线上任一有限开区间，则由知：为非空开集，从而存在闭区间使得。再由知：为非空开集，从而存在闭区间使得。如此可得闭区间列满足：
。
根据闭区间套定理知：存在唯一一点。因为
，
从而，即。又由知，。因此，。所以，。这就证明了。
13. 全体有理点之集不是型集；全体无理点之集不是型集。
证明 假设全体有理点之集是型集，则存在开集使得=。由于，所以。令，则为开集且
，且
。
所以
。
记，则是开集且，但是，
。
这与习题12的结论矛盾. 这就证明了：全体有理点之集不是型集；从而，全体无理点之集不是型集。
14. 证明：中的全体无理点之集不是型集．
证明 假设不然，则存在闭集使得=。令，则为闭集，且
。
因此，
。
容易看出：都是闭集。因而，全体无理点之集也是型集。这与习题13的结论矛盾。
15．设是由中所有三进无穷小数表示不含1的点之集，证明：．
证明 对任一，令其三进无穷小数表示为

其中。令，则得到一个双射。从而，。

习题2.3

1．若开圆族覆盖了集，则对应的闭圆族是否一定覆盖?
答 不一定。例如，取令，则。但是，。假设，则
。
根据有限覆盖定理知：存在自然数使得
。
令，则。取有限开区间。从而，。于是，有
。
矛盾。这就证明。
2．若是开单位正方形，即，如果开球族覆盖了中的全体有理点之集，试问开球族是否一定覆盖?
答 不一定。例如，设中的全体有理点之集
，
取使得，作开球，则。假设，则。根据有限覆盖定理知：存在自然数使得
。
令，则。取有限开区间。从而，。于是，有

因此，这与矛盾。这就证明了。
3．证明：平面不可能被任意多个互不相交的开圆覆盖．
证明 假设平面可以被一族互不相交的开圆覆盖，即，则对任一，有。所以，为闭集，这是不可能的。
4．设集合上的一个-代数, 为任一映射, 证明：
(1) 是上的一个-代数；
(2) 以下等价:
(i) ，即； (此时，称为可测空间上的一个随机变量)
(ii) ，有，即
(iii) ，即.
证明 （1） 因为，所以。设，则，从而，即。可见，。设，则。从而，。因此，。故是上的一个-代数。
（2） ：显然。
：设（iii）成立，则，由定理2.3.4知：是有限或可数个开区间

之并，其中，即，从而
。
因此，（ii）成立。所以，。因为Borel代数是包含所有开集的最小-代数，所以由（1）知，即（i）成立。

习题2.4

1．证明：在中既开又闭的点集只有和Ø．
证明 设是中既开又闭的点集，如果它不是和Ø，则由界点存在定理（定理2.1.3）知它至少有界点。因为它是闭集，所以。又因为是开集，所以存在。这与是的界点矛盾。因此，或。
2．在中构造一个无处稠密（即闭包无内点）的完备集，使其邻接区间的总长度等于定数．
解 应用与构造康托集类似的方法。
第一步：在中去掉以中点为中心、长度为的开区间，得到两个闭区间：
；
第二步：在这两个闭区间中，去掉以中点为中心、长度为的两个开区间
，。
得到四个闭区间：。
第三步：在这四个闭区间中，去掉以中点为中心、长度为的四个开区间，得到个闭区间：。
……
第n步：在上一步余下的个闭区间中，去掉以中点为中心、长度为的个开区间，得到个闭区间：。
。
如此继续……。
将最后余下的点集记为，去掉的所有开区间的并记为，则
。
类似于Cantor集的证明方法，可以证明为无处稠密的完备集，其邻接区间的总长度为
。
3．举例说明，平面上有些开集不可能是可数个互不相交的开区间(开矩形)的并．
解 例如，就不能表示为可数个互不相交的开区间(开矩形)的并。假设，其中为平面上互不相交的开区间，则为闭集。从而，。这与是开集矛盾。

习题2.5

1．开集的连续像是否一定为开集?
解 不一定; 如 ，.
2．无界闭集的连续像是否一定是闭集?
解 不一定; 如 ，.
3．证明：闭集的连续像是型集；开集的连续像也是型集．
证明 (1) 设是闭集，为连续函数，

其中是有界闭集. 则. 因为有界闭集的连续像仍是有界闭集，所以为有界闭集, 是型集.
(2) 由习题2.2 (6)知，任何开集可表示为可数个闭集的并. 设, 则
.
由(1)知: 为型集，再由可数个型集的并仍为型集， 为型集.
4． 设是上的连续函数．证明：点集是闭集，其中．
证明 设, 其中.
因为为开集，所以为开集，故为闭集.
5．证明：有界闭集上的连续函数是一致连续的．
证明 设为有界闭集，为上的连续函数，假设不一致连续，则存在，任意，存在, 当使得.
令()，, 有,
当取遍所以正整数时，得到点列, , 有界点列存在收敛数列，且, 同时有，所以
,
故, 所以, 而
与
矛盾.
6．证明：函数连续的充分必要条件是：任意开区间的原像是中的开集．
7．证明：函数连续的充分必要条件是：任意闭集的原像是中的闭集．
证明 必要性. 设函数是连续的，是闭集，则是开集，从而由定理2.5.3知，为开集。由于，所以为开集，从而为中的闭集。
充分性. 设任意闭集的原像是中的闭集．则对任一开集G，为闭集，从而为闭集。于是，为开集。由定理2.5.3知，是连续。
8．证明：一致收敛的连续函数列的极限是连续函数．
证明 设为上的连续函数列，且在上一致收敛于，则对任给的，存在自然数，使得当时，对于一切都有
。
取定，则对于任意的，我们有

因此，

又由在处连续知，存在正数，使得当时，有
，
从而
。
所以在连续。又由的任意性可知，在上连续。
9．证明：有界闭集上的连续函数是有界的且可以取到最大、最小值．
证明 设函数在有界闭集上连续。
先证明在上有上界。如果在无上界，则对于每个自然数，存在使得。这样就得到一个全部属于内的点列。由于有界，所以为点。于是，有收敛子列，记。由于是闭集，所以属于。由于在处连续，因此，。但依照的选法，当时，有，这就得到矛盾。故在上有上界。
同理可证，在上必有下界，因此，函数在有界闭集上有界。
下证在上取到最大与最小值。由已证结果知：函数的值域为非空有界数集.根据确界存在定理知: 有上确界与下确界。记,则只需证明:存在两点使得。假设,则函数

在有界集上连续且恒正。从而，由已证结论知：存在正数使得.于是,对任一点有.从而,这与矛盾。这就证明了:存在一使得.同理可证: 存在一使得.证毕.
10．证明：有界函数在点连续的充分必要条件是．
证明 必要性。设在点处连续，则使得
，
即
。
因此，当时，有。从而
当时，有。这证明了
。
充分性。设，即。于是，使得当时，有。任取，则且

特别，。由此可见，当明，有
。
故设在点处连续。

习题2.6

1．设非空，证明：
(1) ；
(2) 是上的连续函数．
证明 (1) 设, 则任意, 有。对取下确界有：
,
所以.同理可得：, 因此
.
(2) 任意, 取，则由（1）知：当时, 有.
因此，是上的连续函数（其实，为一致连续函数！）．
2．设，非空，证明：
(1) ；
(2) 是连续函数．
证明 (1) 因为

,
所以.
(2) 设，，取，则当时，由（1）知
，
所以在处连续。
3．若是任意两个不相交的闭集，证明：存在两个不相交的开集和，使得，．
证明 由上题的（2）知函数与都是上的连续函数，从而

是上的连续函数。记
,
,
则与为开集（定理2.5.3）且，。显然.
4．证明推论2.6.1．
推论2.6.1 若是非空闭集，点 则；若是两个非空闭集，至少一个是有界集，若Ø，则．
证明 令，则。根据定理2.6.1知：存在使得。因为所以。于是。
因为是两个非空闭集，至少一个是有界集，所以根据定理2.6.1知：存在使得。由于Ø，所以，因此
。
5．证明定理2.6.3．
定理2.6.3 对的任意非空真子集，有
(1) ；
(2) ；
(3) ；
(4) ；
(5) ．
证明 （1） 设，则对任一自然数，存在。于是
。
故。
设，则对任一自然数，存在使得。显然，所以。
（2） 设，则存在。因此，。所以
。
设，取，则。因此，。
（3） 设，则对任一自然数，存在。于是
。
可见，。
设，则对任一自然数，存在使得。于是，。所以，。
（4） 因为，所以由（2）知（4）成立。
（5） 由于，所以

6．设为的所有非空有界闭集之集, 对任意的,定义
，
即，

证明: （1），令
，
则
与

都是非空有下界的数集且
，
；
（2），有
；
（3）设，则，；
（4），有
；
（5） 为集合上的一个距离(称为Hausdorff距离),即满足距离的三条公理(§2.1).
证明 （1）设，则有界，从而存在开球。任取令，则。可见，。所以非空，显然它下界0。由于当时，有，所以当且时，有。从而，。
（2） 设，且，则由（1）知
，从而
。
（3）设，则

从而，。假设。取使得
。
于是，。因此，，这与矛盾。这就证明了。同理，。
（4）设，则由（2）与（3）知

（5） (i) 设，则
，
因此，由定理2.6.3(1)知：。
(ii) 显然
(iii) 设，对任一正数，令。设则。又存在。因此，
。
由此可见：。所以，。同理。再由（4）知，
。
根据的任意性知。故为集合上的一个距离。

第二章总练习题

1．证明：点集为开集当且仅当．
证明 设为开集，则，从而。设，则
。因此。故为开集。
2．证明：点集为闭集当且仅当．
证明 由知。
3．证明：点集是开集当且仅当对任意集都有
．
证明 设是开集，，为任一给定的正数，则使得。于是，。又因为所以。因此，
。所以，。这就证明了。
设对任意集都有，如果不是开集，则存在。由于，所以。这是不可能的。因此，必定是开集。
4．中所以开集之集的基数是什么? 一切闭集之集的基数是什么? 一切型、型集之集的基数是什么？
解 设为中所有开集之集。因为直线上的每个非空开集都可表示为可数多个开区间之并，将它们看成平面上点，并令，则得到单射，其中
，。
根据定理1.4.5可知。因此，。又因为，所以。这就证明了。
设为中所有闭集之集，定义为，则为双射，从而。
设为直线是一切型集之集，则
，
令，则得到单射
。
根据及定理1.4.5可知。因此，。又因为，所以，故。
设为直线是一切型集之集，定义为，则为双射，从而。
5．中一切完备集之集的基数是什么？
解 设为直线上所有完备集之集，则
。
从而，由习题4知：。
6．设是上的有界连续函数，且记其上、下确界为，证明：点集在上稠密．
证明 由介值定理知，从而。对任一，存在。取有理点列使得，则
。
因此，。可见，，所以。故点集在上稠密．
7．证明：上的实函数连续的充分必要条件是任一闭集的原像是闭集．
证明 必要性 设是上的连续函数，则对中的任一闭集，为开集，从而根据定理2.5.3知为闭集，于是是开集．
充分性 设任一闭集的原像是闭集，则对中的任一开集，为闭集，从而为开集，于是是闭集。根据定理2.5.3知是上的连续函数。证毕。
8．证明：函数在上连续的充分必要条件是对任意实数，点集
及
都是闭集．
证明 必要性 设是上的连续函数，则且时，有
。从而，，即。这就证明了是闭集。同理可证也是闭集。
充分性 假设在上的某一点处不连续，则存在点列及正数使得。从而，必有子列使得
，或。
不妨设为第一种情况，则。因为是闭集，所以，即，这是不可能的。这就证明了是上的连续函数。证毕.
9．设是上的函数，如果对任意点集，像集都是开集，问是否一定是连续函数?
解： 在每个上做集合.，令，.设G的构成区间为，
则 不连续

10．若集的点全是孤立点，证明：或是有限集或是可数集．
证明 对任意的，都存在使得。有理开球（即中心为有理点、半径为正有理数的开球）使得，从而。显然，对于任意的，当时，有，从而。令，则得到单射。由于可数，所以，是最多可数。
11. 设是一族有界闭集，如果其中的任意有限个点集具有非空的交，证明：Ø．
证明 假设。任取，则。根据有限覆盖定理知：存在有限个指标使得。从而，，矛盾。
12．证明：平面上存在可数个开圆盘，使得平面上任一开集，都可表示为其中的某些开圆盘的并．
证明 设

则平面上任一非空开集都表示为有限或可数个开圆盘之并。
13．设为任一集合，为的一些子集组成的集合．如果
(a) ；
(b) ；
(c) ，
则称为上的一个拓扑(Topology)，的元素称为中的开集(Open set)且称序对是一个拓扑空间(Topological space)．根据这个定义，证明：
(1) 及都是上的拓扑且上的任一拓扑都满足；
(2) 若记，则为上的一个拓扑．
证明 （1）. 因为
(a) ；
(b)
(c) ，
所以为上的拓扑。显然，是上的拓扑且上的任一拓扑都满足。
(2) 由的定义可知：当且仅当是中的开集。再根据开集的性质可知：(a), (b)及(c)都满足。