资源描述
(时间60分钟，满分80分)
一、选择题(共6个小题，每小题5分，满分30分)
1．已知数列{an}的前n项和Sn＝an2＋bn(a、b∈R)，且S25＝100，则a12＋a14等于( )
A．16 B．8
C．4 D．不确定
解析：由数列{an}的前n项和Sn＝an2＋bn(a、b∈R)，可得数列{an}是等差数列，S25＝＝100，解得a1＋a25＝8，所以a1＋a25＝a12＋a14＝8.
答案：B
2．数列{an}的通项公式an＝，若前n项的和为10，则项数为( )
A．11 B．99
C．120 D．121
解析：∵an＝＝－，
∴Sn＝－1＝10，∴n＝120.
答案：C
3．1－4＋9－16＋…＋(－1)n＋1n2等于( )
A. B．－
C．(－1)n＋1 D．以上答案均不对
解析：对n赋值验证，只有C正确．
答案：C
4．已知函数f(x)＝x2＋bx的图象在点A(1，f(1))处的切线的斜率为3，数列{}的前n项和为Sn，则S2 010的值为( )
A. B.
C. D.
解析：∵f′(x)＝2x＋b，
∴f′(1)＝2＋b＝3，∴b＝1，∴f(x)＝x2＋x，
∴＝＝－，
∴S2 010＝1－＋－＋…＋－
＝1－＝.
答案：D
5．已知数列{an}的前n项和Sn＝n2－6n，则{|an|}的前n项和Tn＝( )
A．6n－n2 B．n2－6n＋18
C. D.
解析：由Sn＝n2－6n得{an}是等差数列，且首项为－5，公差为2.
∴an＝－5＋(n－1)×2＝2n－7，
∴n≤3时，an＜0，n＞3时an＞0，
∴Tn＝.
答案：C
6．设数列{an}是首项为1公比为3的等比数列，把{an}中的每一项都减去2后，得到一个新数列{bn}，{bn}的前n项和为Sn，对任意的n∈N*，下列结论正确的是( )
A．bn＋1＝3bn，且Sn＝(3n－1)
B．bn＋1＝3bn－2，且Sn＝(3n－1)
C．bn＋1＝3bn＋4，且Sn＝(3n－1)－2n
D．bn＋1＝3bn－4，且Sn＝(3n－1)－2n
解析：因为数列{an}是首项为1公比为3的等比数列，所以数列{an}的通项公式an＝3n－1，则依题意得，数列{bn}的通项公式为bn＝3n－1－2，
∴bn＋1＝3n－2,3bn＝3(3n－1－2)＝3n－6，∴bn＋1＝3bn＋4.
{bn}的前n项和为：
Sn＝(1－2)＋(31－2)＋(32－2)＋(33－2)＋…＋(3n－1－2)＝(1＋31＋32＋33＋…＋3n－1)－2n＝－2n
＝(3n－1)－2n.
答案：C
二、填空题(共3个小题，每小题5分，满分15分)
7．已知数列{an}：，＋，＋＋，…，＋＋＋…＋，…，那么数列{bn}＝{}的前n项和Sn＝________.
解析：由已知条件可得数列{an}的通项公式为
an＝＝，
∴bn＝＝＝4(－)．
Sn＝4(1－＋－＋…＋－)
＝4(1－)＝.
答案：
8．对于数列{an}，定义数列{an＋1－an}为数列{an}的“差数列”，若a1＝2，{an}的“差数列”的通项为2n，则数列{an}的前n项和Sn＝________.
解析：∵an＋1－an＝2n，
∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1
＝2n－1＋2n－2＋…＋22＋2＋2
＝＋2＝2n－2＋2＝2n.
∴Sn＝＝2n＋1－2.
答案：2n＋1－2
9．数列{an}的前n项和为Sn且a1＝1，an＋1＝3Sn(n＝1,2,3，…)，则log4S10＝________.
解析：∵an＋1＝3Sn，∴an＝3Sn－1(n≥2)．
两式相减得an＋1－an＝3(Sn－Sn－1)＝3an，
∴an＋1＝4an，即＝4.
∴{an}为a2为首项，公比为4的等比数列．
当n＝1时，a2＝3S1＝3，
∴n≥2时，an＝3·4n－2，
S10＝a1＋a2＋…＋a10
＝1＋3＋3×4＋3×42＋…＋3×48
＝1＋3(1＋4＋…＋48)＝1＋3×＝1＋49－1＝49.
∴log4S10＝log449＝9.
答案：9
三、解答题(共3个小题，满分35分)
10．等差数列{an}是递增数列，前n项和为Sn，且a1，a3，a9成等比数列，S5＝a.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若数列{bn}满足bn＝，求数列{bn}的前99项的和．
解：(1)设数列{an}的公差为d(d>0)，
∵a1，a3，a9成等比数列，∴a＝a1a9，
∴(a1＋2d)2＝a1(a1＋8d)，∴d2＝a1d，
∵d>0，∴a1＝d，①
∵S5＝a，
∴5a1＋·d＝(a1＋4d)2②
由①②得a1＝，d＝，
∴an＝＋(n－1)×＝n(n∈N*)．
(2)bn＝
＝·＝(1＋－)，
∴b1＋b2＋b3＋…＋b99
＝(1＋1－＋1＋－＋1＋－＋…＋1＋－)＝(99＋1－)＝275＋2.75＝277.75.
11．已知数列{an}的前n项和Sn和通项an满足Sn＝(1－an)．
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)若数列{bn}满足bn＝nan，求证：b1＋b2＋…＋bn<.
解：(1)当n≥2时，
an＝Sn－Sn－1＝(1－an)－(1－an－1)
＝－an＋an－1，
2an＝－an＋an－1
∴由题意可知an－1≠0，＝，
所以{an}是公比为的等比数列．
S1＝a1＝(1－a1)，a1＝.
an＝×n－1＝n.
(2)证明：bn＝nn，
设Tn＝1×1＋2×2＋3×3＋…＋n×n，①
∴Tn＝1×2＋2×3＋3×4＋…＋n×n＋1，②
①－②，化简得
∴Tn＝－n－nn＋1<.
12．已知数列{an}的前n项和Sn满足(p－1)Sn＝p2－an(p>0，p≠1)，且a3＝.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)设bn＝，数列{bnbn＋2}的前n项和为Tn，若对于任意的正整数n，都有Tn<m2－m＋成立，求实数m的取值范围．
解：(1)由题设知(p－1)a1＝p2－a1，
解得p＝a1或p＝0(舍去)．
由条件可知(p－1)S2＝(p－1)(a1＋a2)＝p2－a2，
解得a2＝1.
再由(p－1)S3＝(p－1)(a1＋a2＋a3)＝p2－a3，
解得a3＝.
由a3＝可得＝，故p＝3＝a1.
所以2Sn＝9－an，则2Sn＋1＝9－an＋1，
以上两式作差得2(Sn＋1－Sn)＝an－an＋1，
即2an＋1＝an－an＋1，
故an＋1＝an.
可见，数列{an}是首项为3，公比为的等比数列．
故an＝3()n－1＝32－n.
(2)因为bn＝＝＝，
所以bnbn＋2＝＝(－)，
Tn＝b1b3＋b2b4＋b3b5＋…＋bnbn＋2
＝[(1－)＋(－)＋(－)＋(－)＋…＋(－)]
＝(1＋－－)<.
故要使Tn<m2－m＋恒成立，只需≤m2－m＋，
解得m≤0或m≥1.
故所求实数m的取值范围为(－∞，0]∪[1，＋∞)．
- 5 -
用心 爱心 专心
展开阅读全文
浙ICP备2021020529号-1 | 浙B2-20240490 
