第三章(2)柯西积分公式、解析函数的导数PPT课件.ppt

3.3 柯西积分公式分析:1.定理3.4(柯西积分公式)注：（1）对于解析函数，只要边界上的函数值给定，则区域内的函数值也就完全确定；对于实变函数，无论函数怎样，区间端点的函数值完全不能决定区间内部的函数值。D2.证由于f(z)在 z0连续,任给e 0,存在d 0,当|z-z0|d 时,|f(z)-f(z0)|e.设以 z0为中心,R 为半径的圆周K:|z-z0|=R全部在C的内部,且R d.根据闭路变形原理,该积分的值与R无关,所以只有在对所有的R 积分为值为零才有可能。K3.注:(2)计算积分例1：解:0-124.0-125.6.例2:解:根据柯西积分公式,根据求导法则,根据柯西定理,7.3.4 解析函数的导数 一个解析函数不仅有一阶导数,而且有各高阶导数,它的导数值也可用函数在边界上的值通过积分来表示.这一点和实变函数完全不同.一个实变函数在某一区间上可导,它的导数在这区间上是否连续也不一定,更不要说它有高阶导数存在了.8.注:(1)将柯西积分公式右边交换积分与求导的次序,立即可得一阶导数公式;继续求导,可得到定理中的高阶导数公式.此方法不是很严格,因为交换运算次序未加证明.但是,此方法帮助我们熟悉导数公式,并使得我们在柯西积分公式基础上迅速将高阶导数公式做出来.9.证明思路：利用数学归纳法。根据导数的定义所以,要证明根据柯西积分公式代入计算验证即可.对于n的其它取值,依次类推.10.注:(2)高阶导数公式的作用,不在于通过积分来求导,而在于通过求导来求积分.例:11.注:(3)推论:如果一个函数在某点解析,那么它的各阶导函数在该点仍解析.12.解析函数的应用:结论:热力学问题冰冷却火加热13.14.(2)代数学基本定理见 钟玉泉,高等教育出版社,pp122.15.小 结1.复变函数积分计算的简单方法,公式(3.1)(3.2)2.掌握柯西定理,及推广形式定理3.23.掌握柯西积分公式,理解解析函数的积分表达式能利用柯西积分公式计算复变函数的积分.4.掌握解析函数导数的性质高阶导数存在,并有一定的积分表达式.16.