专题三第二讲数列求和及综合应用.doc

第二讲　数列求和及综合应用

1．(2013·石家庄市质量检测)已知等差数列{an}满足a2＝3，Sn－Sn－3＝51(n>3)，Sn＝100，则n的值为(　　)
A．8　　　　　　　　　　　　 B．9
C．10 D．11
2．(2013·荆州市质量检测)公差不为零的等差数列{an}的前n项和为Sn，若a4是a3与a7的等比中项，且S10＝60，则S20＝(　　)
A．80 B．160
C．320 D．640
3．(2013·高考课标全国卷Ⅰ)设等差数列{an}的前n项和为Sn，若Sm－1＝－2，Sm＝0，Sm＋1＝3，则m＝(　　)
A．3 B．4
C．5 D．6
4．已知等差数列{an}满足a2＝3，a5＝9，若数列{bn}满足b1＝3，bn＋1＝abn，则{bn}的通项公式为bn＝(　　)
A．2n－1 B．2n＋1
C．2n＋1－1 D．2n－1＋2
5．(2013·湖南省五市十校联合检测)已知函数f(x)是定义在(0，＋∞)上的单调函数，且对任意的正数x，y都有f(x·y)＝f(x)＋f(y)，若数列{an}的前n项和为Sn，且满足f(Sn＋2)－f(an)＝f(3)(n∈N*)，则an为(　　)
A．2n－1 B．n
C．2n－1 D．()n－1
6．已知等比数列{an}的各项均为正数，若a1＝3，前三项的和为21，则a4＋a5＋a6＝________．
7．(2013·湖北省八校联考)《九章算术》之后，人们进一步用等差数列求和公式来解决更多的问题，《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾，且从第2天起，每天比前一天多织相同量的布，若第一天织5尺布，现在一月(按30天计)，共织390尺布”，则每天比前一天多织________尺布．(不作近似计算)
8．(2013·高考课标全国卷Ⅱ)等差数列{an}的前n项和为Sn，已知S10＝0，S15＝25，则nSn的最小值为________．
9．(2012·高考山东卷)已知等差数列{an}的前5项和为105，且a10＝2a5.
(1)求数列{an}的通项公式；
(2)对任意m∈N*，将数列{an}中不大于72m的项的个数记为bm，求数列{bm}的前m项和Sm.

10．(2013·汕头市高三模拟)已知函数f(x)满足：对任意的x∈R，x≠0，恒有f()＝x成立，数列{an}，{bn}满足a1＝1，b1＝1，且对任意n∈N*，均有an＋1＝，bn＋1－bn＝.
(1)求函数f(x)的解析式；
(2)求数列{an}，{bn}的通项公式；
(3)对于λ∈[0，1]，是否存在k∈N*，使得当n≥k时，bn≥(1－λ)f(an)恒成立？若存在，试求k的最小值；若不存在，请说明理由．

11．(2013·成都市诊断性检测)设函数f(x)＝x2，过点C1(1，0)作x轴的垂线l1交函数f(x)图象于点A1，以A1为切点作函数f(x)图象的切线交x轴于点C2，再过C2作x轴的垂线l2交函数f(x)图象于点A2，…，以此类推得点An，记An的横坐标为an，n∈N*.
(1)证明数列{an}为等比数列并求出通项公式；
(2)设直线ln与函数g(x)＝logx的图象相交于点Bn，记bn＝·(其中O为坐标原点)，求数列{bn}的前n项和Sn.

答案：
1．【解析】选C.由Sn－Sn－3＝51得，an－2＋an－1＋an＝51，所以an－1＝17, 又a2＝3，Sn＝＝100，解得n＝10，故选C.
2．【解析】选C.设数列{an}的公差为d，d≠0，则a＝a3a7＝(a4－d)(a4＋3d)，d＝＝(a1＋3d)，∴d＝－a1.∵S10＝＝5(2a1＋9d)＝10a1＋45(－a1)＝－20a1＝60，∴a1＝－3，d＝2，∴S20＝320.
3．【解析】选C.∵{an}是等差数列，Sm－1＝－2，Sm＝0，
∴am＝Sm－Sm－1＝2.
∵Sm＋1＝3，∴am＋1＝Sm＋1－Sm＝3，
∴d＝am＋1－am＝1.
又Sm＝＝＝0，
∴a1＝－2，∴am＝－2＋(m－1)·1＝2，
∴m＝5.
4．【解析】选B.据已知易得an＝2n－1，
故由bn＋1＝abn可得bn＋1＝2bn－1，
变形为bn＋1－1＝2(bn－1)，
即数列{bn－1}是首项为2，公比为2的等比数列，
故bn－1＝2n，解得bn＝2n＋1.故选B.
5．【解析】选D.由题意知f(Sn＋2)＝f(an)＋f(3)(n∈N*)，∴Sn＋2＝3an，Sn－1＋2＝3an－1(n≥2)，两式相减得，2an＝3an－1(n≥2)，又n＝1时，S1＋2＝3a1＝a1＋2，∴a1＝1，∴数列{an}是首项为1，公比为的等比数列，∴an＝()n－1.
6．【解析】a4＋a5＋a6＝a1q3＋a1q4＋a1q5＝(a1＋a1q＋a1q2)q3＝(a1＋a2＋a3)·q3，
即a4＋a5＋a6＝21q3.
由前三项的和为21，且a1＝3解得q＝2，
故a4＋a5＋a6＝21q3＝21×8＝168.
【答案】168
7．【解析】由题意知，a1＝5，n＝30，
Sn＝390＝30×5＋d⇒d＝.
【答案】
8．【解析】设等差数列{an}的首项为a1，公差为d，由等差数列前n项和可得

解得
∴nSn＝n2a1＋d＝－3n2＋(n3－n2)
＝n3－，
∴(nSn)′＝n2－，
令(nSn)′＝0，解得n＝0(舍去)或n＝.
当n>时，nSn是单调递增的；
当0<n<时，nSn是单调递减的，故当n＝7时，nSn取最小值，
∴(nSn)min＝×73－＝－49.
【答案】－49
9．【解】(1)设数列{an}的公差为d，前n项和为Tn.
由T5＝105，a10＝2a5，得
解得a1＝7，d＝7.
因此an＝a1＋(n－1)d＝7＋7(n－1)＝7n(n∈N*)．
(2)对m∈N*，若an＝7n≤72m，则n≤72m－1.
因此bm＝72m－1，
所以数列{bm}是首项为7公比为49的等比数列．
故Sm＝＝＝
＝.
10．【解】(1)由f()＝x，易得f(x)＝(x≠0)．
(2)由an＋1＝，得＝＋＝＋2，
所以－＝2.
所以数列{}是以1为首项，2为公差的等差数列．
所以＝1＋2(n－1)＝2n－1，所以an＝，n∈N*.
因为bn＋1－bn＝＝2n－1，
所以bn＝(bn－bn－1)＋(bn－1－bn－2)＋…＋(b2－b1)＋b1＝(2n－3)＋(2n－5)＋…＋3＋1＋1＝＋1＝n2－2n＋2.
(3)对于λ∈[0，1]时，bn≥(1－λ)f(an)恒成立，等价于λ∈[0，1]时，n2－2n＋2≥(1－λ)·(2n－1)恒成立，等价于λ∈[0，1]时，(2n－1)·λ＋n2－4n＋3≥0恒成立．
设g(λ)＝(2n－1)λ＋n2－4n＋3≥0，对于λ∈[0，1]，(2n－1)·λ＋n2－4n＋3≥0恒成立，则有解得n≥3或n≤1.
由此可见存在k∈N*，使得当n≥k时，bn≥(1－λ)f(an)恒成立，且k的最小值为3.
11．【解】(1)证明：以点An－1(an－1，a)(n≥2)为切点的切线方程为y－a＝2an－1(x－an－1)．
当y＝0时，得x＝an－1，即an＝an－1.
又∵a1＝1，
∴数列{an}是以1为首项，为公比的等比数列．
∴通项公式为an＝()n－1.
(2)据题意，得Bn(()n－1，n－1)．
∴bn＝·＝()n－1＋()n－1·(n－1)＝n()n－1.
∵Sn＝1×()0＋2×()1＋…＋n×()n－1，
Sn＝1×()1＋2×()2＋…＋n×()n，
两式相减，得Sn＝1×()0＋1×()1＋…＋()n－1－n×()n＝－n×()n.
化简，得Sn＝－(＋)×()n＝－.