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第二十一章“一元二次方程”简介
一元二次方程是刻画数量关系的重要数学模型。一元二次方程的解法和实际 应用是初中阶段的核心内容。前面已经学习了一元一次方程、二元一次方程组以及分式方程等，本章学习一元二次方程的解法，讨论与方程的根有关的几个基本问题（判别式与方程的根、根与系数的关系等），在此基础上学习利用一元二次方程模型解决简单的实际问题。本章的学习将为后续的勾股定理、二次函数等打下学习基础，在学生的“四基”、“四能”的发展，特别是在运算能力、推理能力、模型思想和应用意识的培养上可以发挥较大作用。
本章教学时间约需13课时，具体分配如下（仅供参考）：
21．1 一元二次方程 1课时
21．2 降次——解一元二次方程 7课时
21．3 实际问题与一元二次方程 3课时
数学活动
小结 2课时
一、教科书内容和本章学习目标
1.本章知识结构
2.教科书内容
现实生活中，许多问题中的数量关系可以抽象为一元二次方程。因此，从深化数学模型思想、加强应用意识的角度看，从实际问题中抽象出数量关系，列出一元二次方程，求出它的根进而解决实际问题，是本章学习的一条主线。
学生已经学习一元一次方程的解法和实际应用，知道可以利用运算律、等式的基本性质，通过去括号、移项、合并同类项等求出它的解。学生还学过二元一次方程组以及三元一次方程组的解法和实际应用，知道可以通过消元，将它们转化为一元一次方程。从数学知识的内部发展看，二元、三元一次方程组可以看成是对一元一次方程在“元”上的推广。自然地，如果在次数上做推广，首先就是一元二次方程。类比二（三）元一次方程组的解法，可以想到：能否将一元二次方程转化为一元一次方程？如何转化？因此，利用什么方法将“二次”降为“一次”，这是本章学习的另一条主线。
与一元一次方程、二元一次方程组的解法相比，一元二次方程的解法涉及更多的知识，可以根据方程的具体特点，选择相关的知识和方法，对方程进行求解。这是培养学生的思维品质，特别是思维的敏捷性、灵活性、深刻性的机会。根据《课程标准（2011年版）》的规定，教科书着重介绍了配方法、公式法和因式分解法等一元二次方程的解法，而且限定解数字系数的一元二次方程。
解一元二次方程的基本策略是降次，即通过配方、因式分解等，将一个一元二次方程转化为两个一元一次方程来解。具体地，根据平方根的意义，可得出方程x2=p和(x+n)2=p的解法；通过配方，可将一元二次方程转化为(x+n)2=p的形式再解；一元二次方程的求根公式，就是对方程ax2+bx+c=0配方后得出的．如能将ax2+bx+c分解为两个一次因式的乘积，则可令每个因式为0来解．
一元二次方程的三种解法——配方法、公式法和因式分解法各有特点．一般地，配方法是推导一元二次方程求根公式的工具．掌握了公式法，就可以直接用公式求一元二次方程的根了．当然，也要根据方程的具体特点，选择适当的解法，因式分解法就显示了这样的灵活性．配方法是一种重要的、应用广泛的数学方法，如后面研究二次函数时也要用到它．在推导求根公式的过程中，从x2=p到(x+n)2=p再到ax2+bx+c=0，是方程形式的不断推广，体现了从特殊到一般的过程；而求解方程的过程则是将推广所得的方程转化为已经会解的方程，体现了化归思想。显然，这个过程对于培养学生的推理能力、运算能力等都是很有作用的。
与《课程标准（实验稿）》相比，《课程标准（2011年版）》重新强调了一元二次方程根的判别式和一元二次方程根与系数关系的重要性，要求“会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根和两个实根是否相等”，“了解一元二次方程的根与系数的关系”，这是需要注意的一个变化。这里不仅是为了一元二次方程理论的完整性，更重要的是为了解决初高中衔接问题。实际上，一元二次方程根的判别式、一元二次方程根与系数关系在高中数学中有着广泛的应用，是学习高中数学的必备基础。
教科书先以一个设计人体雕像的实际问题作为开篇，并在第一节中又给出两个实际问题，通过建立方程，并引导学生思考这些方程的共同特点，从而归纳得出一元二次方程的概念、一般形式，给出一元二次方程根的概念。在这个过程中，通过归纳具体方程的共同特点，定义一元二次方程的概念，体现了研究代数学问题的一般方法；一般形式ax2+bx+c=0也是对具体方程从“元”（未知数的个数）、“次数”和“项数”等角度进行归纳的结果；a≠0的规定是由“二次”所要求的，这实际上也是从不同侧面理解一元二次方程概念的契机。
一元二次方程的解法，包括配方法、公式法和因式分解法等，是全章的重点内容之一。教科书在第二节中，首先通过实际问题，建立了一个最简单的一元二次方程，并利用平方根的意义，通过直接开平方法得到方程的解；然后将它一般化为x2=p，通过分类讨论得到其解的情况，从而完成解一元二次方程的奠基。接着，教科书安排“探究”栏目，自然引出解(x+3)2=5并总结出“降次”的策略，从而为用配方法解比较复杂的一元二次方程做好铺垫，然后教科书重点讲解了配方的步骤，并归纳出通过配方将一元二次方程转化为(x+n)2=p后的解的情况。以配方法为基础，教科书安排了“探究”栏目，引导学生自主地用配方法解一般形式的一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)，得到求根公式。最后，通过实际问题，获得一个显然可以用“提取公因式法”而达到“降次”目的的方程，从而引出因式分解法解一元二次方程，并在“归纳”栏目中总结出几种解法的基本思路、各自特点和适用范围等。上述过程的思路自然，体现了从简单的、特殊的问题出发，通过逐步推广而获得复杂的、一般的问题，并通过将一般性问题化归为特殊问题，获得这一类问题的解。这是具有普适性的数学思想方法。
由于限定在实数范围，因此对求根公式，首先要关注判别式Δ=b2－4ac的讨论。这是使学生领悟分类讨论数学思想方法的契机。另一方面，求根公式不仅直接反映了方程的根由系数唯一确定（系数a，b，c确定，方程就确定，其根自然就唯一确定），而且也反映了根与系数的联系。这里体现了一种多角度看问题的思想观点，而根与系数的联系表达非常简洁。教科书仍然采用从特殊到一般的方法，先讨论“将方程(x－x1) (x－x2)=0化为x2+px+q=0的形式，x1，x2与p，q之间的关系”，在“x1+x2=－p，x1x2=q”的启发下，利用求根公式求x1+x2和x1x2，进而得到根与系数的关系。让学生学习根与系数的关系，不仅能深化对一元二次方程的理解，提高用一元二次方程分析和解决问题的能力，而且也是培养学生发现和提出问题的能力的机会。根与系数的关系是求根公式的自然延伸，得出它的过程并不复杂，而其中蕴含的思想很重要。所以，对于根与系数的关系，教科书着重在其数学思想的启发和引导上，而对用根与系数的关系去解决问题，严格地控制了难度。
前已述及，用一元二次方程解决实际问题是本章内容的一条主线。为了更好地体现这一思想，教科书除在一元二次方程的概念、表示和解法研究中注重从实际问题出发外，在第三节还专门安排了三个“探究”，让学生建立一元二次方程模型解决实际问题，再一次经历如下过程：
最后，在本章小结中，教科书通过知识结构图，再次强调建立一元二次方程模型解决实际问题的基本过程，并在“回顾与思考”中梳理了“降次”的基本思路、过程以及具体方法。
3.本章学习目标
（1）理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解数字系数的一元二次方程。
（2）会用一元二次方程根的判别式判别方程是否有实根和两个实根是否相等。
（3）了解一元二次方程的根与系数的关系。
（4）能根据具体问题的实际意义，检验方程的解是否合理。
（5）能根据具体问题中的数量关系列出一元二次方程，并利用一元二次方程模型解决简单的实际问题。
二、编写时考虑的几个问题
1．注重联系实际，体现建模思想，发展应用意识
一元二次方程是初中数学中最重要的数学模型之一，它有丰富的实际背景。通过建立一元二次方程模型解决实际问题，可以使学生更深入地体会数学与现实世界的联系，发展学生应用意识。因此，本章的编写，自始至终都注重联系实际，从实际问题中引出一元二次方程的有关知识，并最终回到建立一元二次方程模型解决实际问题中去。
本章开篇，教科书利用人体雕像这一典型的黄金分割问题，通过建立数学模型得到一个一元二次方程，由此引发学习本章内容的需要。接着，通过制作无盖方盒问题和邀请参赛球队的个数问题，又得到两个一元二次方程，然后引导学生从“未知数的个数”和“最高次数”两个方面进行归纳，抽象出一元二次方程的概念及其数学符号表示（一元二次方程的一般形式）。在讨论一元二次方程的解法时，教科书又通过简单的实际问题，引导学生分析其中的已知量、未知量和等量关系，建立一元二次方程，得出方程的解，并检验所得的结果是否符合实际，最终将问题推广，得出具有一般意义的一元二次方程的解法。在掌握解法的基础上，专门安排了“实际问题与一元二次方程”，以“探究”的方式提出问题，使学生完整地经历“问题情境——建立模型——求解验证”的数学活动过程。这样编排，不仅可以使学生认识到学习一元二次方程是解决实际问题的需要，而且还可以使学生在学会一元二次方程解法的过程中，体验运用数学知识解决实际问题的基本过程，积累数学活动经验，从而培养模型思想，逐步形成应用意识。
2．重视相关的知识联系，建立合理的逻辑过程，突出解方程的基本策略
对于方程及其解法，学生从小学就开始接触。进入初中后，学生又学习了一元一次方程、二元一次方程组以及可化为一元一次方程的分式方程。因此，学生对于解方程涉及的数学思想（化归）、理论依据（等式的性质、运算律）以及基本思路（通过恒等变形，把方程逐步化为的形式）等都已比较熟悉。对于一元二次方程的解法，基本思路仍然是“设法把方程化为的形式”，而一元二次方程与熟悉的方程比较，差异在“次数”。因此，将“二次”降为“一次”就能使“新方程”转化为“旧方程”，这样就明确了解一元二次方程的关键问题——如何降次。
教科书采用从特殊到一般、从具体到抽象的方法，从熟悉的方程x2=p出发，经过不断推广而得到一般的ax2+bx+c=0；探究解法时，则利用“配方法”，把“新方程”化归为已解决的形式。具体过程如下：
首先，根据平方根的意义，通过直接开平方得到方程x2=25的解，再推广到求方程x2=p的解，引导学生对p＞0，p＝0和p＜0三种情况进行讨论。
然后，通过分析变式(x+3)2=5的解决过程，归纳出“把一个一元二次方程‘降次’，转化为两个一元一次方程”的思路，再给出(x+3)2=5的等价形式x2+6x+4=0，并用框图表示将x2+6x+4=0转化为(x+3)2=5的过程，最后归纳出“配方法”。在此基础上，引导学生讨论通过配方将一元二次方程转化为(x+n)2=m的形式后的解，让他们再次经历分类讨论过程。
接着，再通过“探究：任何一个一元二次方程都可以写成一般形式ax2+bx+c=0(a≠0)，能否也用配方法得出它的解呢？”让学生借助用配方法解一元二次方程的已有经验，自主推导出求根公式。
上述过程，让学生反复经历了“具体——抽象”、“配方——分类讨论”的过程，不仅获得了求根公式，而且有利于突破两个难点：针对一般形式的一元二次方程的配方，分类讨论。
再接着，通过实际问题得到方程10x－4.9x2=0，学生很容易想到，这个方程不需要通过配方、开平方降次，只要通过因式分解，将方程化为x(10－4.9x)=0，就能实现降次。然后再进行归纳，得出针对某些方程的简便解法——因式分解法。实际上，这是一个“从一般到特殊”的过程，针对某些特殊形式的一元二次方程的特殊解法。数学中，一般都要在研究一般情况后，再看看有什么特殊情况。考察“特例”也是数学研究的基本思路之一。
最后进行根与系数关系的研究。从“发现和提出数学问题”的角度看，研究一元二次方程的解法是“给定方程的系数，求未知数的值”。另一方面，我们也可以这样提出问题：已知一元二次方程的两个根，能否求出它的系数的值？事实上，方程ax2+bx+c=0(a≠0)总可以化为x2+px+q=0的形式。如果x2+px+q=0的两个根为x1，x2，则有(x－x1)(x－x2)=0，展开并比较方程的系数，就容易得到p=－(x1+x2)，q=x1x2。由此得到启发，利用求根公式求x1+x2和x1x2，可得到根与系数的关系。教科书在一定程度上体现了上述逻辑思考过程。
3．注重培养发现和提出问题、分析和解决问题的能力
因为学生已经具备研究一元二次方程的概念、解法的知识基础，只要他们能把这些知识调动起来，应用到研究中去，他们就能独立地发现解法，所以教科书注重通过栏目和“边空设问”等方式启发学生的思维，为他们提供独立探究的机会。例如：
（1）引入一元二次方程概念的过程中，教科书在“边空”中多次安排提示性设问“方程中未知数的个数和最高次数各是多少？”再在“思考”栏目中提出归纳几个方程共同特点的学习任务；在给出一元二次方程概念、一般形式后，通过“为什么规定a≠0？”引导学生辨析概念；最后通过例题，让学生用概念作判断。这样安排，体现了概念学习的一般过程，教科书在归纳具体方程的共同特点、辨析概念的关键词等关键环节中设置问题，引导学生进行独立思考与发现。
（2）在探索一元二次方程解法的过程中，教科书在讨论了“方程x2=p的解”以后，循序渐进地安排了如下栏目：
探究 对照上面解方程x2=p的过程，你认为应怎样解方程(x+3)2=5的解？
探究 怎样解方程x2+6x+4=0？
在上述两个“探究”的基础上，讨论“如果一个一元二次方程通过配方转化成(x+n)2=p的形式，那么它的解有哪些情形？”。
探究 任何一个一元二次方程都可以写成一般形式ax2+bx+c=0（a≠0）。能否也用配方法得出它的解？
思考 除配方法和公式法以外，能否找到更简便的方法解方程10x－4.9x2=0？
上述过程中，教科书通过“一般化”、“推广”、“特殊化”等，引导学生不断地发现问题、解决问题。
（3）在“实际问题与一元二次方程”中，教科书以“探究”栏目的方式给出例题，在分析题意、解决问题的过程中，通过“边空提问”提示学生思考数学结论的现实意义，并通过“思考”栏目进一步提出拓展性、开放性问题。例如，解决了“探究1 有一个人患了流感，经过两轮传染后共有121个人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？”以后，教科书提出了两个问题：
通过对这个问题的探究，你对类似的传播问题中的数量关系有新的认识吗？
如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有多少人患流感？
对这些问题的思考，可以加深学生对“传播问题”的认识，感受与“增长率”相关的数学模型中的数量关系，同时还能培养学生用数学模型解释现实问题的能力，这就是一个培养分析和解决问题能力的过程。
三、对教学的几个建议
1．为学生构建研究一元二次方程解法的连贯过程
宏观而言，学生已具备解一元二次方程的基本思想——化归，即把方程转化为一次方程，最终化为x=a；而且也具有将一元二次方程转化为一次方程所需要的平方根、配方、因式分解等知识基础。问题在于学生在面对解一元二次方程的任务时，不知道该用这些知识及其思想方法，也就是说他们“不是做不到，而是想不到”。因此，教学的关键是要通过适当的问题提示，把这些知识调动起来，联系起来，使它们在研究解法中发挥作用。具体而言，可以按如下线索安排：
实际背景引入（如章引言中的方程）→从已有经验中总结解方程的一般思想方法（化归为一元一次方程）→类比二元一次方程组的“消元”，得到解一元二次方程的思路“降次”→从简单、具体、特殊的一元二次方程（如x2=25，x2=p；(x+3)2=5，x2+6x+4=0，(x+n)2=p等）探索“降次”的方法（直接开平方、配方法）→用配方法推导求根公式（公式法）→针对特殊的一元二方程的特殊解法（因式分解法）。
教学过程中，要注意整体性，让学生经历研究一元二次方程解法的完整过程，避免不同解法之间的割裂。其中，方程x2=p的解具有奠基作用，特别是对p的分类讨论，蕴含了对判别式的分类讨论，所以一定要认真处理好；推广的方程(x+3)2=5与x2+6x+4=0是获得配方法的载体；配方法是公式法的基础；公式法是直接利用公式求根，省略了配方过程；因式分解法是解特殊形式的一元二次方程的简便方法。
为了让学生获得解一元二次方程的方法，教学中应加强类比、从特殊到一般等思想方法的引导。
2．注重模型思想、应用意识的培养，特别是数量关系的分析和数学模型的选择
许多现实问题的数量关系都可以抽象为一元二次方程，与前面所学的方程比较，一元二次方程有更广泛的应用，是初中学生体会和理解数学与外部世界联系的重要载体。教科书充分考虑到一元二次方程的这一地位，教学中要体现好这一编写意图，注意让学生经历建立和求解一元二次方程模型的完整过程，即从现实生活或具体情境中抽象出数学问题，用数学符号建立一元二次方程表示数学问题中的数量关系，求出结果、并讨论结果的意义，从而把模型思想、应用意识的培养落在实处。
在建立数学模型解决实际问题的过程中，难点在于数量关系的分析和数学模型的选择，本章也不例外。教学中应注意引导学生仔细分析题意，借助适当的直观工具，如画图、列表等，找出问题中的已知量、未知量，找到关键词并由此确定等量关系，进而建立一元二次方程。要注意培养学生良好的解题习惯，包括借助直观方法分析题意、检验所得方程及其根的实际意义，找出合乎实际的结果等。
3．严格控制根的判别式、一元二次方程根与系数等内容的教学要求
学习本章的主要目的是让学生掌握一元二次方程模型并能灵活用于解决问题。其中，学习根与系数的关系的目的在于使学生更深入地体会根与系数的确定性关系，更全面地认识一元二次方程。传统上，针对判别式、根与系数的关系等往往要进行大量的形式化训练，这对锻炼学生的思维有一定好处，但复杂的代数变形对提高学生的数学能力（特别是数学建模能力）没有多大帮助。因此，要注意把握好这些教学要求，控制好形式化训练的难度，特别是不要搞用根与系数的关系解决其他问题的训练。
为了提高学生的发现和提出问题的能力，可以把“根与系数的关系”设置为一个研究性学习课题。例如，引导学生思考“系数a，b，c确定，那么方程ax2+bx+c=0确定，它的两个根也唯一确定。反之，如果已知一元二次方程的两个根，系数是否也唯一确定？”然后展开研究。进一步地还可以让学生思考几个独立条件确定一个一元二次方程、方程ax2+bx+c=0的两个根与二次三项式ax2+bx+c的因式分解等问题。
第二十二章“二次函数”简介
函数是描述现实世界中变化规律的数学模型。某些问题中的数量关系可以用二次函数表示。本章在八年级下册已经介绍函数的有关概念与一次函数的基础上，介绍二次函数的概念、图象和性质，讨论二次函数与一元二次方程的联系，运用二次函数的图象和性质解决一些简单的实际问题。本章教学时间约需12课时，具体分配如下（仅供参考）：
22.1 二次函数 6课时
22.2 用函数观点看一元二次方程 1课时
22.3 实际问题与二次函数 3课时
数学活动
小结 2课时
一、教科书内容和本章学习目标
1.本章知识结构
本章知识结构如下图所示：
2.教科书内容
本章共分三节。第一节介绍二次函数的概念、图象和性质，第二节研究二次函数与一元二次方程的联系，第三节用二次函数的图象和性质解决实际问题。
在第22.1节中，二次函数的概念是通过三个实例（正方体的表面积与棱长、比赛的场次数与球队数、产量与计划增产倍数）引入的。二次函数的图象与性质是按从简单到复杂、从特殊到一般的顺序讨论的。先讨论函数y＝ax?的图象和性质。由于将二次函数的图象上下、左右平移就得到函数的图象，接下来研究函数的图象和性质。以此为基础讨论二次函数的图象和性质（二次函数可以通过配方化成的形式）。在第22.1节最后，通过“探究”栏目安排了“知道给定不共线三点的坐标可以确定一个二次函数”的选学内容。让学生类比由两点（两点的连线不与坐标轴平行）的坐标确定一次函数的方法，找出由不共线三点的坐标确定二次函数的方法。
在第22.2节中，首先设置小球飞行问题。在这个问题中，将某一高度的值代入函数解析式，就得到一元二次方程，问题转化为解一元二次方程。由此引出，已知二次函数的值求自变量的值，可以看作解一元二次方程；反过来，解方程ax2＋bx＋c=0可以看作已知二次函数y=ax2＋bx＋c的值为0，求自变量x的值。然后利用二次函数的图象讨论一元二次方程。由“思考”栏目引出，二次函数的图象与x轴的公共点的横坐标是相应一元二次方程的根；二次函数的图象与x轴的三种位置关系对应一元二次方程根的三种情况。最后通过例题介绍用二次函数的图象求一元二次方程的根的方法。
在第22.2节后，教科书安排了一个信息技术应用“探究二次函数的性质”，介绍了利用计算机软件画二次函数的图象，探究它的性质，以及利用图象解一元二次方程等内容。
在第22.3节中，开头的问题涉及求函数的最大值。从所给函数的图象可以看出，当自变量取顶点的横坐标时，函数值最大。由此引出直接根据函数解析式求二次函数的最小（大）值的结论，即当x＝时，二次函数y＝ax?＋bx＋c有最小（大）值。得出此结论后，就可以直接运用它求二次函数的最小（大）值。接下来，通过最大面积、最大利润、水位变化等三个探究问题，展示二次函数与实际的联系，并运用二次函数的图象和性质加以解决，提高学生运用数学知识解决实际问题的能力。
在第22.3节后，教科书安排了一个实验与探究“推测滑行距离与滑行时间的关系”。根据实际问题得到有关数据，数形结合地求出表示变量间关系的函数，这属于建立模拟函数描述实际问题。
3.本章学习目标
（1） 通过对实际问题的分析，体会二次函数的意义。
（2） 会用描点法画出二次函数的图象，通过图象了解二次函数的性质。
（3）会用配方法将数字系数的二次函数的表达式化为y=a(x-h)2+k的形式，并能由此得到二次函数图象的顶点坐标，能说出图象的开口方向，画出图象的对称轴，并能解决简单实际问题。
（4）会利用二次函数的图象求一元二次方程的近似解。
（5）*知道给定不共线三点的坐标可以确定一个二次函数。
二、编写时考虑的几个问题
1．体现类比、数形结合和归纳的思想
在本章中，一般二次函数的图象和性质是从最简单的二次函数出发逐步深入地探讨的。在研究的过程中注意体现类比、数形结合和归纳的思想。
类比思想在讨论过程中有多处体现。例如，在讨论二次函数之前的一段话中指出，可以类比一次函数研究二次函数。又如，对于二次函数y＝ax?是分a>0和a<0两种情况讨论的，先讨论a>0的情况，这样，a<0的情况就可以类比a>0的情况进行讨论。再如，先讨论二次函数的图象和性质，再让学生类比研究二次函数的方法研究二次函数的图象和性质。
数形结合地研究函数贯穿二次函数的讨论的始终。对于最简单的二次函数的研究就是从画这个函数的图象开始，然后通过图象了解它的性质。其后的二次函数的研究，也都展现了从解析式到图象，从图象到性质的过程。包括第22.3节中，关于二次函数的最小（大）值的结论也是通过确定函数图象的最低点或最高点获得的。
从特殊例子归纳一般结论也是常用的。例如，让学生观察函数的图象与函数的图象的共同点与不同点，归纳函数(a>0)的图象特点；探究函数，的图象的共同点与不同点，归纳函数（a<0）的图象特点。又如，说明抛物线y=与抛物线y=的关系，从而归纳出把抛物线向上（下）向左（右）平移，得到抛物线的结论。
这样循序渐进的安排，力图使学生不仅学到二次函数的有关知识，而且在知识的学习过程中不断提高学习的能力。
2.重视知识之间的联系
学生在“一次函数”一章已经了解了一次函数与一元一次方程、一元一次不等式、二元一次方程组的联系。本章专设一节，通过探讨二次函数与一元二次方程的联系，再次展示函数与方程的联系。这样安排一方面可以深化学生对一元二次方程的认识，另一方面又可以运用二次函数解决一元二次方程的有关问题。
此外，还在以下各处注意联系已学知识。例如，在第一节开头，用函数的概念对正方体表面积、比赛场次数、产量增长等问题中变量之间的关系进行说明。又如，用关于y轴对称的点的坐标的关系说明y轴是抛物线的对称轴。再如，用平移描述抛物线y=ax与抛物线y=a(x－h)＋k 之间的关系。这样处理有利于学生认识新内容，也使已学内容得到复习巩固。
3.体现模型思想
对于某些实际问题，如果其中变量之间的关系可以用二次函数模型来刻画，就可以利用二次函数的图象和性质来研究，从而使实际问题得到解决。这一过程体现了模型思想。
例如，在日常生活、生产和科研中，常常会遇到求什么条件下可以使材料最省、时间最少、效率最高等问题，其中一些问题可以归结为求二次函数的最大值或最小值。本章用第三节中的探究1和探究2举例说明此类问题的解决过程。
此外，在函数y=a(x－h)＋k的讨论之后安排的修建喷水池时确定水管长度的问题，在第三节中安排的探究3（水位问题），也是运用二次函数解决实际问题的例子。
这样安排力图加强二次函数与实际生活的联系，使所学知识得到应用，体现模型思想。
三、对教学的几个建议
1．注意复习相关内容
二次函数的学习是以已学函数内容为基础的。从八年级下册“一次函数”的学习到九年级上册“二次函数”的学习，中间相隔了一段时间。函数的概念 ,描点法画函数的图象等在本章中都要用到。因此，要注意复习已学函数内容，帮助学生学好二次函数。
二次函数的图象关于y轴对称，函数的图象可以由函数y=ax的图象平移得到，这些内容都涉及已学的图形变化的内容。复习对称的坐标表示等内容，有助于学生学习本章中的上述内容。
讨论函数，关键是用配方法把它化为y=a(x－h)＋k的形式。配方法曾用来解一元二次方程，学生已经有所了解，要注意复习。
总之，在本章学习过程中，注意复习相关内容，是顺利完成本章学习的基础。
2．关注数形结合的研究方法
二次函数的图象和性质的讨论运用了数形结合的研究方法，即先画出二次函数的图象，再结合图象讨论二次函数的性质。把握好数形结合的研究方法有利于本章教学的开展。
在画二次函数的图象时，选取自变量的值很关键，例如，画函数的图象时，要根据对称性取顶点的横坐标6并在6的左右取值。教学中要关注画图象的环节，为用图象讨论性质打下基础。
图象直观展示了函数的变化情况。例如，函数图象从左向右上升（或下降）对应着函数随自变量增大而增大（或减小）。又如，如果函数图象与x轴有公共点，表明当自变量取公共点的横坐标时，函数值为0，也就表明公共点的横坐标是相应一元二次方程的根。教学中，要帮助学生完成好从对图象的描述到对函数变化情况的描述的转换，发挥好几何直观的作用。
3．加强对实际问题的分析
运用二次函数解决实际问题时，用二次函数表示问题中变量之间的关系是重要一环。要加强对实际问题的分析。例如，在22.3节的探究1中，用总长一定的篱笆围成矩形场地，场地的面积随矩形一边长的变化而变化。场地的面积是矩形一边长与它的邻边长的乘积，用矩形一边长表示它的邻边长，从而得到场地面积随矩形一边长变化的函数解析式。教学中，加强对实际问题的分析，有助于学生顺利解决实际问题。
4．重视信息技术的使用
用某些计算机画图软件（如《几何画板》），可以方便地画出二次函数的图象，进而从图象探索二次函数的性质。例如，用计算机软件画出函数的图象，拖动图象上的一点P, 让这点沿抛物线移动，观察动点坐标的变化，可以发现：图象最低点或最高点的坐标，也就是说，当x取这点的横坐标时，有最小值或最大值；当小于这点的横坐标时，随的增大而减小（增大），当大于这点的横坐标时，随的增大而增大（减小）。
利用计算机软件的画图功能，很容易利用二次函数的图象解一元二次方程。要解方程，只要用计算机软件画出相应抛物线，再让计算机软件显示抛物线与x轴的公共点的坐标，就能得出要求的方程的根。
上述内容安排在本章的选学栏目“信息技术应用 探索二次函数的性质”中，有条件的话，可以让学生加以尝试。
九年级上册第二十三章“旋转”简介
旋转是现实中广泛存在的变换、运动现象。研究旋转及其性质具有重要的现实意义和实践价值。本章主要介绍旋转的概念、性质，包括中心对称的概念和性质，利用旋转等图形的变化进行图案的设计。
本章教学时间约需7课时，具体分配如下（仅供参考）：
23.1 图形的旋转 2课时
23.2 中心对称 3课时
23.3 课题学习 图案设计 1课时
数学活动
小结 1课时
一、教科书内容和本章学习目标
1. 本章知识结构
本章知识结构如下图所示：
2.教科书内容
按照全套教科书的内容安排，本章学习第三种图形变化——旋转。此前，学生已经学习了平移和轴对称两种图形变化.本章第一节学习旋转的有关内容。在此基础上，第二节学习特殊的旋转——中心对称。第三节是课题学习，内容是综合运用平移、轴对称、旋转进行图案设计。
在第一节中，首先通过时针、叶片等实例引出旋转的概念。然后设置了一个“探究”栏目，让学生探索在旋转中对应点到旋转中心的距离相等、对应点和旋转中心连线所成的角彼此相等的性质。接下来，安排了一个按要求画出简单平面图形旋转后的图形的例题。最后说明利用旋转进行简单的图案设计的内容。在本节中，旋转的概念、性质以及有关作图的内容环环相扣：由概念得出性质；由性质得出有关作图的方法。应关注这些内容之间的联系，使前一部分内容为后一部分内容作好准备，使后一部分内容复习巩固前一部分内容。
第二节有三部分内容：中心对称的概念、性质和有关画图；中心对称图形的概念；关于原点对称的点的坐标的关系。对中心对称，课本首先通过具体例子给出中心对称的概念，然后探究中心对称的性质，最后说明画和已知图形中心对称的图形的方法。对中心对称图形，主要让学生通过线段、平行四边形加以认识，并了解中心对称和中心对称图形的联系和区别。关于原点对称的点的坐标的关系是很基本的坐标关系，教学中可以让学生自行探究得出，由此得到利用这一关系画和已知图形关于原点对称的图形的方法。
第三节是“课题学习”的内容，要求学生探索图形之间的变换关系（轴对称、平移、旋转及其组合），灵活运用轴对称、平移、旋转的组合进行图案设计。在本节中，首先通过一个例子让学生对此课题有所了解，然后让学生搜集图案，设计图案.搜集图案并加以分析，了解图形之间的变换关系有助于学生自己进行图案设计。在设计图案的过程中，应关注构思、实施、合作交流等环节。
3.本章学习目标
（1）通过具体实例认识平面图形关于旋转中心的旋转，探索并理解旋转的基本性质：一个图形和它经过旋转所得的图形中，旋转中的对应点到旋转中心的距离相等，对应点和旋转中心所连的线段形成的角彼此都相等。
（2）能够按要求画出简单平面图形旋转后的图形，欣赏旋转在现实生活中的应用。
（3）通过具体实例认识中心对称、中心对称图形的概念，探索它们的基本性质：成中心对称的两个图形中，对应点的连线经过对称中心，且被对称中心平分。了解线段、平行四边形是中心对称图形。认识并欣赏自然界和现实生活中的中心对称图形。
（4）探索图形之间的变换关系（轴对称、平移、旋转及其组合），会运用轴对称、平移、旋转的组合进行图案设计。
二、编写本章时考虑的问题
1.加强联系实际
学数学的根本目的是用数学知识解决各种实际问题，这就决定了教材必须密切联系实际，揭示教学内容和实际的联系。本章的内容，主要包括旋转、中心对称、中心对称图形、图案设计，教科书在编写中重视揭示这些内容和实际的种种联系，让学生认识知识的实际背景和应用价值。本章各部分列举了许多旋转的实例，如水车、风力发电机、螺旋浆等等。本次教材修订中还增写了“阅读与思考 旋转对称”,介绍了旋转对称性质的广泛应用。中心对称和中心对称图形在现实生活中也很常见，教科书介绍了雪花、工艺美术品、部分交通标志等图案，教学中还可以通过更多的具体实例加深学生对中心对称的认识。
许多美丽的图案可以借助旋转设计而成。让学生利用旋转进行图案设计，可以复习巩固所学的知识，调动学生学习的积极性。让学生运用轴对称、平移、旋转的组合进行图案设计，可以进一步深化学生所学知识，加强图形变换与现实生活的联系。
2.适当安排对结论的探究过程
本章着重介绍了旋转的性质、中心对称的性质、关于原点对称的两点坐标的关系等结论，在以上结论的教学中，教科书重视让学生通过画图、分析、归纳等，适当地安排了对结论的探究活动。
图23.1-3中，△AˊBˊCˊ由△ABC旋转而成，让学生结合此图探究旋转的性质。
对于中心对称的性质，应该与轴对称的性质作类比进行教学。学生已经知道，成轴对称的两点所连线段被对称轴垂直平分。在图23.2-3中，△ABC与△AˊBˊCˊ关于点O中心对称，应该引导学生从中心对称的概念出发进行思考，发现成中心对称的两点所连线段与对称中心的关系。
对于在平面直角坐标系中两个关于原点对称的点的坐标间的关系，教科书首先安排了一个探究活动，让学生通过探究，归纳得到有关结论。
在本章中，许多图形可以看成由基本图形经过旋转得到。为了更好地认识图形，本章在例题和习题中安排了许多探索和发现图形之间变换关系的问题。探索和发现图形之间的变换关系也有助于学生运用轴对称、平移、旋转的组合进行图案设计。
3.完整介绍旋转作为一种图形变化的教学内容
在学习本章前，学生已经学习了平移与轴对称，对于图形变化已经有所认识。一般地，学习一种图形变化大致包括以下内容：
（1）通过具体实例认识这种图形变化；
（2）探索这种图形变化的性质；
（3）作出一个图形经过这种图形变化后的图形；
（4）利用这种图形变化进行图案设计；
（5）用坐标表示这种图形变化。
本章“旋转”的学习也是从以上几个方面展开的，即介绍旋转、中心对称的概念、性质，作出一个图形经过旋转（中心对称）后的图形，用旋转（中心对称）进行图案设计，用坐标表示这种图形变化。当然，由于一般旋转的坐标表示比较难，本章正文中只涉及了一些特殊角的旋转用坐标表示的问题，如以原点为对称中心的中心对称的坐标表示，在数学活动和习题中则涉及用坐标表示以原点为旋转中心、旋转角为直角的旋转。
三、对本章教学的建议
1.注意概念间的联系与区别
与轴对称和轴对称图形类似，本章中心对称概念和中心对称图形概念既不相同又联系紧密。
中心对称和中心对称图形的区别：中心对称是指两个全等图形之间的相互位置关系，成中心对称的两个图形中，其中一个图形上所有点关于对称中心的对称点都在另一个图形上，反之，另一个图形上所有点关于对称中心的对称点又都在这个图形上；而中心对称图形是指一个图形本身成中心对称，中心图形上所有点关于对称中心的对称点都仍在这个图形本身上。
中心对称和中心对称图形的联系：如果把关于某点中心对称的两个图形看成一个整体（一个图形），那么这个图形就是中心对称图形；一个中心对称图形，也可以看成是关于某点对称的两个图形。
教学中应
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