因动点产生的线段和差问题.doc

1.8 因动点产生的线段和差问题 例1 2013年天津市中考第25题在平面直角坐标系中，已知点A(2,0)，B(0,4)，点E在OB上，且OAEOBA（1）如图1，求点E的坐标；（2）如图2，将AEO沿x轴向右平移得到AEO，连结AB、BE设AAm，其中0m2，使用含m的式子表示AB2BE2，并求出使AB2BE2取得最小值时点E的坐标；当ABBE取得最小值时，求点E的坐标（直接写出结果即可）图1 图2动感体验请打开几何画板文件名“13天津25”，拖动点A在线段AO上运动，可以体验到，当A运动到AO的中点时，AB2BE2取得最小值当A、B、E三点共线时，ABBE取得最小值请打开超级画板文件名“13天津25”，拖动点A在线段AO上运动，可以体验到，当A运动到AO的中点时，AB2BE2取得最小值当A、B、E三点共线时，ABBE取得最小值思路点拨1图形在平移的过程中，对应点的连线平行且相等，EEAAm2求AB2BE2的最小值，第一感觉是用勾股定理列关于m的式子3求ABBE的最小值，第一感觉是典型的“牛喝水”问题轴对称，两点之间线段最短满分解答（1）由OAEOBA，AOEBOA，得AOEBOA所以因此解得OE1所以E(0,1)（2）如图3，在RtAOB中，OB4，OA2m，所以AB216(2m)2在RtBEE中，BE3，EEm，所以BE29m2所以AB2BE216(2m)29m22(m1)227所以当m1时，AB2BE2取得最小值，最小值为27此时点A是AO的中点，点E向右平移了1个单位，所以E(1,1)如图4，当ABBE取得最小值时，求点E的坐标为图3 图4考点伸展第（2）题这样解：如图4，过点B作y轴的垂线l，作点E关于直线l的对称点E，所以ABBEABBE当A、B、E三点共线时，ABBE取得最小值，最小值为线段AE在RtAOE中，AO2，OE7，所以AE当A、B、E三点共线时，所以解得此时例2 2012年滨州市中考第24题如图1，在平面直角坐标系中，抛物线yax2bxc经过A(2, 4 )、O(0, 0)、B(2, 0)三点（1）求抛物线yax2bxc的解析式；（2）若点M是该抛物线对称轴上的一点，求AMOM的最小值图1动感体验请打开几何画板文件名“12滨州24”，拖动点M在抛物线的对称轴上运动（如图2），可以体验到，当M落在线段AB上时，根据两点之间线段最短，可以知道此时AMOM最小（如图3）请打开超级画板文件名“12滨州24”，拖动点M， M落在线段AB上时， AMOM最小答案 （1）。 （2）AMOM的最小值为图2 图3例3 2012年山西省中考第26题如图1，在平面直角坐标系中，抛物线yx22x3与x轴交于A、B两点，与y轴交于点C，点D是抛物线的顶点（1）求直线AC的解析式及B、D两点的坐标；（2）点P是x轴上的一个动点，过P作直线l/AC交抛物线于点Q试探究：随着点P的运动，在抛物线上是否存在点Q，使以A、P、Q、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在，请直接写出符合条件的点Q的坐标；若不存在，请说明理由；（3）请在直线AC上找一点M，使BDM的周长最小，求出点M的坐标图1动感体验请打开几何画板文件名“12山西26”，拖动点P在x轴上运动，可以体验到，点Q有3个时刻可以落在抛物线上拖动点M在直线AC上运动，可以体验到，当M落在BD上时，MBMD最小，MBD的周长最小思路点拨1第（2）题探究平行四边形，按照AP为边或者对角线分两种情况讨论2第（3）题是典型的“牛喝水”问题，构造点B关于“河流”AC的对称点B，那么M落在BD上时，MBMD最小，MBD的周长最小满分解答（1）由yx22x3(x1)(x3)(x1)24，得A(1, 0)、B(3, 0)、C(0, 3)、D(1, 4)直线AC的解析式是y3x3（2）Q1(2, 3)，Q2()，Q3()（3）设点B关于直线AC的对称点为B，联结BB交AC于F联结BD，BD与交AC的交点就是要探求的点M作BEx轴于E，那么BBEBAFCAO在RtBAF中，AB4，所以在RtBBE中，所以，所以所以点B的坐标为因为点M在直线y3x3上，设点M的坐标为(x, 3x3)由，得所以解得所以点M的坐标为图2 图3考点伸展第（2）题的解题思路是这样的：如图4，当AP是平行四边形的边时，CQ/AP，所以点C、Q关于抛物线的对称轴对称，点Q的坐标为(2, 3)如图5，当AP是平行四边形的对角线时，点C、Q分居x轴两侧，C、Q到x轴的距离相等解方程x22x33，得所以点Q的坐标为()或 ()图4 图5第 4 页 共 4 页