资源描述
扬帆教育 伴你成长
一、教学目标
1． 使学生会用描点法画出二次函数的图像；
2． 使学生知道抛物线的对称轴与顶点坐标；
3．通过本节的学习，继续培养学生的观察、分析、归纳、总结的能力；
4．通过本节的教学，继续向学生进行数形结合的数学思想方法的教育，同时向学生渗透事物间互相联系、以及运动、变化的辩证唯物主义思想；
5．通过本节课的研究，充分理解并认识到二次函数图像可运动变化的和谐美，通过数学思维的审美活动，提高对数学美的追求。
二、教学重点
会画形如的二次函数的图像，并能指出图像的开口方向、对称轴及顶点坐标。
三、教学难点：确定形如 的二次函数的顶点坐标和对称轴。
4．解决办法：
四、教具准备
三角板或投影片
1．教师出示投影片，复习。
2．请学生动手画的图像，正好复习图像的画法，完成表格。
3．小结的性质
4．练习
五、教学过程
提问：1．前几节课，我们都学习了形如什么样的二次函数的图像？
答：形如。（板书）
2．这节课我们将来学习一种更复杂的二次函数的图像及其相关问题，你能先猜测一下我们将学习形如什么样的二次函数的问题吗？
由学生参考上面给出的三个类型，较容易得到：讨论形如的二次函数的有关问题．（板书）
一、 复习引入
首先，我们先来复习一下前面学习的一些有关知识．（出示幻灯）
请你在同一直角坐标系内，画出函数的图像，并指出它们的开口方向，对称轴及顶点坐标．
这里之所以加上画函数的图像，是为了使最后通过图像的观察能更全面一些，也更直观一些，可以同时给出图像先沿y轴，再沿轴移动的方式，也可以给出图像
先沿轴再沿y轴移动的方式，使这部分知识能更全面，知识与知识之间的联系能更清晰、更具体．
画这三个函数图像，可由学生在同一表中列值，但是要根据各自的不同特点取自变量
的值，以便于学生进行观察．教师可事先准备好表格和画有直角坐标系的小黑板，由一名同
学上黑板完成，其他同学在练习本上完成，待同学们基本做完之后加以总结，然后再找三名
同学，分别指出这三个图像的开口方向、对称轴及顶点坐标，填入事先准备好的表格中．
然后提问：你能否在这个直角坐标系中，再画出函数的图像？
由于前面几节课我们已经画了不少二次函数的图像，学生对画图已经有了一定的经验，
同时可在画这个图时，把这些经验形成规律，便于学生以后应用．
（l）关于列表：主要是合理选值与简化运算的把握，是教学要点．在选值时，首先要考虑的是函数图像的对称性，因此首先要确定中心值，然后再左，右取相同间隔的值；其次，选值时尽量选取整数，便于计算和描点．
在选取的值之后，计算y的值时，考虑到对称性，只需计算中心值一侧的值，另一侧由对称性可直接填入，但一定要保证运算正确．
（2）关于描点：一般可先定顶点（即中心值对应的点，然后利用对称性描出各点，以逐步提高速度．）
（3）关于连线：特别要注意顶点附近的大致走向。最后画的抛物线应平滑，对称，并符合抛物线的特点．
由学生在上面的练习中所列的表中填上这个函数及其对应值，然后画出它的图像，同样
找一名同学板演．
学生画完，教师总结完之后，让学生观察黑板上画出的四条抛物线，提问：
（1）你能否指出抛物线的开口方向，对称轴，顶点坐标？
将在上面练习中三条抛物线的性质填入所列的有中，如下表：
抛物线
开口方向
对称轴
顶点坐标
向下
（0，0）
向下
（0，－1）
向下
（－1，0）
向下
（－1，－1）
（2）我们已知抛物线的开口方向是由二次函数中的a的值决定的，你能通过上表中的特征，试着总结出抛物线的对称轴和顶点坐标是由什么决定的吗？
这个问题由于是本节课的重点问题，而且不是很容易说清楚，可由学生进行广泛的讨论，先得出对称员的表示方法，再得出顶点坐标。若学生在讨论时没有头绪，教师可适当引导，让学生把这四个函数都改写成的形式，可得；
。然后从这四个式子中加以观察，分析，得出结论；（板书）
一般地，抛物线有如下特点：
①时，开口向上；时，开口向下；
②对称轴是直线；
③顶点坐标是。
（3）抛物线有什么关系？
答：形状相同，位置不同。
（4）它们的位置有什么关系？
这个问题可视学生的程度来决定问还是不问，以及回答到什么程度。
根据上节课的学习，学生能想到是平移科来的，可把这四个图像分成以下几个问题来讨论：①抛物线是由抛物线怎样移动得到的？
②抛物线是由抛物线怎样移动得到的？
③抛物线是由抛物线怎样移动得到的？
④抛物线是由抛物线怎样移动得到的？
⑤抛物线是由抛物线怎样移动得到的？
这个问题分两种方式回答：先沿轴，再沿轴移动；或先沿轴，再沿轴移动。
通过这5个问题可使学生由浅入深地得到这四者之间的关系，如图所示：
注意：基本形式中的符号，特别是h。
练习：P120练习口答，及时纠正错误。
（四）总结、扩展
一般的二次函数，都可以变形成的形式，其中：
1．a能决定什么？怎样决定的？
答：a的符号决定抛物线的开口方向；a的绝对值大小抛物线的开口大小。
2．它的对称轴是什么？顶点坐标是什么？
六、布置作业
教材P124中1（3）；P124中3（1）、（2）；P125中
七、板书设计
13．7 二次函数的图像（二）
例： 抛物线的特点：
（1）
（2）
（3）
二次函数试题
题号
一
二
三 总分
19
20
21
22
23
24
25
26
分数
同学们，又到了检验成绩的时候了，要认真做噢，不要马虎，力争取得优异的成绩，祝你成功！
一选择题：
1、y=(m-2)xm2- m 是关于x的二次函数，则m=（ ）
A -1 B 2 C -1或2 D m不存在
2、下列函数关系中，可以看作二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)模型的是（ ）
A 在一定距离内，汽车行驶的速度与行驶的时间的关系
B 我国人中自然增长率为1%，这样我国总人口数随年份变化的关系
C 矩形周长一定时，矩形面积和矩形边长之间的关系
D 圆的周长与半径之间的关系
3、在Rt△ABC中,∠C=90。 ,AB=5,AC=3.则sinB的值是( )
A B C D
4、将一抛物线向下向右各平移2个单位得到的抛物线是y=-x2，则抛物线的解析式是（ ）
A y=—（ x-2）2+2 B y=—（ x+2）2+2
C y=— （ x+2）2+2 D y=—（ x-2）2—2
5、抛物线y= x2-6x+24的顶点坐标是（ ）
A （—6，—6） B （—6，6） C （6，6） D（6，—6）
1
—1
0
x
y
6、已知函数y=ax2+bx+c,图象如图所示，则下列结论中正确的有（ ）个
①abc〈０ ②a＋c〈b ③ a+b+c 〉０ ④ ２c〈３b
A １ B ２ C ３ D ４
y
x
0
-1
7、函数y=ax2-bx+c（a≠0）的图象过点（-1，0），则
= = 的值是（ ）
A -1 B 1 C D -
x
y
x
y
x
y
x
y
8、已知一次函数y= ax+c与二次函数y=ax2+bx+c（a≠0），它们在同一坐标系内的大致图象是图中的（ ）
A B C D
A
x
0
C
y
9、如图所示，二次函数y=x2-4x+3的图象交x轴于A、B两点，交y轴于C点，则△ABC的面积为（ ）
B
A 6 B 4 C 3 D1
A
B
C
D
E
10、如图所示，在矩形ABCD中，DE⊥AC于E，设∠ADE=α，
且cosα= , AB=4,则AD的长为（ ）
A 3 B C D
x
o
A
B
C
11 某学校的围墙上端由一段段相同的拱形栅栏组面，如图所示，其拱形图形为抛物线的一部分，栅栏的路径A B间，按相同的间距0.2米用5根立柱加固,拱高ＯＣ为０.6米,以Ｏ为原点, ＯＣ所在的直线为y轴建立平面直角坐标系,根据以上的数据,则一段栅栏所需立柱的总长度(精确到0.1米)为( )米
A 1.5 B 1.9 C 2.3 D 2.5
C
B
D
F
A
E
4
x
y
o
2
12、如图所示，已知△ABC中，BC＝８，BC上的高h=4,Ｄ为ＢＣ上一点．ＥＦ∥ＢＣ，交ＡＢ与点Ｅ，交ＡＣ于点Ｆ（ＥＦ不过Ａ、Ｂ），设Ｅ到ＢＣ的距离为x，则△ＤEＦ的面积y关于x的函数的图象大致为（ ）
x
y
o
2
4
x
y
o
2
4
x
y
o
2
4
A B C D
二填空题：
13、无论m为任何实数，总在抛物线y=x2＋２mx＋m上的点的坐标是———————————————。
14、函数y=中的自变量的取值范围是———————————————。
15、已知α为等边三角形的一个内角，则sinα等于———————————————。
A
0
y
A1
B
C
x
16、若抛物线y=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴为直线x＝２，最小值为－２，则关于方程ax2+bx+c＝－２的根为———————————————。
17、抛物线y=（k+1）x2+k2-9开口向下，且经过原点，则k＝—————————
18、如图，在直角坐标系中，将矩形ＯＡＢＣ沿ＯＢ对折，使点Ａ落
在点Ａ１处，已知ＯＡ＝，ＡＢ＝１，则点Ａ１的坐标是———————
、解答题：
19 计算：2cos60°+sin60°-3tan45°
C
D
B
A
20、 如图，河对岸有古塔ＡＢ，小敏在Ｃ处测得塔顶Ａ的仰角α，向塔前进s米到达Ｄ点，在Ｄ处测得A的仰角为β，则塔高是多少米？
21 已知抛物线y=x2+（n-3）x+n+1经过坐标原点O。
⑴ 求这条抛物线的顶点P的坐标
⑵设这条抛物线与x轴的另外一个交点为A，求以直线PA为图象的一次函数解析式
H
A
G
C
F
D
E
B
22 已知：在△ABC中，BC=20，高AD=16，内接矩形EFGH的顶点E、F在BC上，G、H 分别在AC、AB上，求内接矩形EFGH的最大面积。
一、选择题(每题3分，共30分)
1.下列关系式中，属于二次函数的是(x为自变量)( )
A. B. C. D.
2. 函数y=x2-2x+3的图象的顶点坐标是( )
A. (1，-4) B.(-1，2) C. (1，2) D.(0，3)
3. 抛物线y=2(x-3)2的顶点在( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. x轴上 D. y轴上
4. 抛物线的对称轴是( )
A. x=-2 B.x=2 C. x=-4 D. x=4
5. 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则下列结论中，正确的是( )
A. ab>0，c>0
B. ab>0，c<0
C. ab<0，c>0
D. ab<0，c<0
6. 二次函数y=ax2+bx+c的图象如图所示，则点在第___象限( )
A. 一
B. 二
C. 三
D. 四
7. 如图所示，已知二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的顶点P的横坐标是4，图象交x轴于点A(m，0)和点B，且m>4，那么AB的长是( )
A. 4+m B. m
C. 2m-8 D. 8-2m
8. 若一次函数y=ax+b的图象经过第二、三、四象限，则二次函数y=ax2+bx的图象只可能是( )
9. 已知抛物线和直线 在同一直角坐标系中的图象如图所示，抛物线的对称轴为直线x=-1，P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是抛物线上的点，P3(x3，y3)是直线 上的点，且-1<x1<x2，x3<-1，则y1，y2，y3的大小关系是( )
A. y1<y2<y3 B. y2<y3<y1
C. y3<y1<y2 D. y2<y1<y3
10.把抛物线的图象向左平移2个单位，再向上平移3个单位，所得的抛物线的函数关系式是( )
A. B.
C. D.
二、填空题(每题4分，共32分)
11. 二次函数y=x2-2x+1的对称轴方程是______________.
12. 若将二次函数y=x2-2x+3配方为y=(x-h)2+k的形式，则y=________.
13. 若抛物线y=x2-2x-3与x轴分别交于A、B两点，则AB的长为_________.
14. 抛物线y=x2+bx+c，经过A(-1，0)，B(3，0)两点，则这条抛物线的解析式为_____________.
15. 已知二次函数y=ax2+bx+c的图象交x轴于A、B两点，交y轴于C点，且△ABC是直角三角形，请写出一个符合要求的二次函数解析式________________.
16. 在距离地面2m高的某处把一物体以初速度v0(m/s)竖直向上抛物出，在不计空气阻力的情况下，其上升高度s(m)与抛出时间t(s)满足：(其中g是常数，通常取10m/s2).若v0=10m/s，则该物体在运动过程中最高点距地面_________m.
17. 试写出一个开口方向向上，对称轴为直线x=2，且与y轴的交点坐标为(0，3)的抛物线的解析式为______________.
18. 已知抛物线y=x2+x+b2经过点，则y1的值是_________.
三、解答下列各题(19、20每题9分，21、22每题10分，共38分)
19. 若二次函数的图象的对称轴方程是，并且图象过A(0，-4)和B(4，0)
(1)求此二次函数图象上点A关于对称轴对称的点A′的坐标；
(2)求此二次函数的解析式；
20. 在直角坐标平面内，点 O为坐标原点，二次函数 y=x2+(k-5)x-(k+4) 的图象交 x轴于点A(x1，0)、B(x2，0)，且(x1+1)(x2+1)=-8.
(1)求二次函数解析式；
(2)将上述二次函数图象沿x轴向右平移2个单位，设平移后的图象与y轴的交点为C，顶点为P，求△POC的面积.
21.已知：如图，二次函数y=ax2+bx+c的图象与x轴交于A、B两点，其中A点坐标为(-1，0)，点C(0，5)，另抛物线经过点(1，8)，M为它的顶点.
(1)求抛物线的解析式；
(2)求△MCB的面积S△MCB.
22.某商店销售一种商品，每件的进价为2.50元，根据市场调查，销售量与销售单价满足如下关系：在一段时间内，单价是13.50元时，销售量为500件，而单价每降低1元，就可以多售出200件.请你分析，销售单价多少时，可以获利最大.
答案与解析：
一、选择题
1.考点：二次函数概念.选A.
2.
考点：求二次函数的顶点坐标.
解析：法一，直接用二次函数顶点坐标公式求.法二，将二次函数解析式由一般形式转换为顶点式，即y=a(x-h)2+k的形式，顶点坐标即为(h，k)，y=x2-2x+3=(x-1)2+2，所以顶点坐标为(1，2)，答案选C.
3.
考点：二次函数的图象特点，顶点坐标.
解析：可以直接由顶点式形式求出顶点坐标进行判断，函数y=2(x-3)2的顶点为(3，0)，所以顶点在x轴上，答案选C.
4.
考点：数形结合，二次函数y=ax2+bx+c的图象为抛物线，其对称轴为.
解析：抛物线，直接利用公式，其对称轴所在直线为答案选B.
5.
考点：二次函数的图象特征.
解析：由图象，抛物线开口方向向下，
抛物线对称轴在y轴右侧，
抛物线与y轴交点坐标为(0，c)点，由图知，该点在x轴上方，答案选C.
6.
考点：数形结合，由抛物线的图象特征，确定二次函数解析式各项系数的符号特征.
解析：由图象，抛物线开口方向向下，
抛物线对称轴在y轴右侧，
抛物线与y轴交点坐标为(0，c)点，由图知，该点在x轴上方，
在第四象限，答案选D.
7.
考点：二次函数的图象特征.
解析：因为二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的图象的顶点P的横坐标是4，所以抛物线对称轴所在直线为x=4，交x轴于点D，所以A、B两点关于对称轴对称，因为点A(m，0)，且m>4，所以AB=2AD=2(m-4)=2m-8，答案选C.
8.
考点：数形结合，由函数图象确定函数解析式各项系数的性质符号，由函数解析式各项系数的性质符号画出函数图象的大致形状.
解析：因为一次函数y=ax+b的图象经过第二、三、四象限，
所以二次函数y=ax2+bx的图象开口方向向下，对称轴在y轴左侧，交坐标轴于(0，0)点.答案选C.
9.
考点：一次函数、二次函数概念图象及性质.
解析：因为抛物线的对称轴为直线x=-1，且-1<x1<x2，当x>-1时，由图象知，y随x的增大而减小，所以y2<y1；又因为x3<-1，此时点P3(x3，y3)在二次函数图象上方，所以y2<y1<y3.答案选D.
10.
考点：二次函数图象的变化.抛物线的图象向左平移2个单位得到，再向上平移3个单位得到.答案选C.
二、填空题
11.
考点：二次函数性质.
解析：二次函数y=x2-2x+1，所以对称轴所在直线方程.答案x=1.
12.
考点：利用配方法变形二次函数解析式.
解析：y=x2-2x+3=(x2-2x+1)+2=(x-1)2+2.答案y=(x-1)2+2.
13.
考点：二次函数与一元二次方程关系.
解析：二次函数y=x2-2x-3与x轴交点A、B的横坐标为一元二次方程x2-2x-3=0的两个根，求得x1=-1，x2=3，则AB=|x2-x1|=4.答案为4.
14.
考点：求二次函数解析式.
解析：因为抛物线经过A(-1，0)，B(3，0)两点，解得b=-2，c=-3，
答案为y=x2-2x-3.
15.
考点：此题是一道开放题，求解满足条件的二次函数解析式，答案不唯一.
解析：需满足抛物线与x轴交于两点，与y轴有交点，及△ABC是直角三角形，但没有确定哪个角为直角，答案不唯一，如：y=x2-1.
16.
考点：二次函数的性质，求最大值.
解析：直接代入公式，答案：7.
17.
考点：此题是一道开放题，求解满足条件的二次函数解析式，答案不唯一.
解析：如：y=x2-4x+3.
18.
考点：二次函数的概念性质，求值.
答案：.
三、解答题
19.
考点：二次函数的概念、性质、图象，求解析式.
解析：(1)A′(3，-4)
(2)由题设知：
∴y=x2-3x-4为所求
(3)
20.
考点：二次函数的概念、性质、图象，求解析式.
解析：(1)由已知x1，x2是x2+(k-5)x-(k+4)=0的两根
又∵(x1+1)(x2+1)=-8
∴x1x2+(x1+x2)+9=0
∴-(k+4)-(k-5)+9=0
∴k=5
∴y=x2-9为所求
(2)由已知平移后的函数解析式为：
y=(x-2)2-9
且x=0时y=-5
∴C(0，-5)，P(2，-9)
.
21. 解：
(1)依题意：
(2)令y=0，得(x-5)(x+1)=0，x1=5，x2=-1
∴B(5，0)
由，得M(2，9)
作ME⊥y轴于点E，
则
可得S△MCB=15.
22.
思路点拨：通过阅读，我们可以知道，商品的利润和售价、销售量有关系，它们之间呈现如下关系式：
总利润=单个商品的利润×销售量.
要想获得最大利润，并不是单独提高单个商品的利润或仅大幅提高销售量就可以的，这两个量之间应达到某种平衡，才能保证利润最大.因为已知中给出了商品降价与商品销售量之间的关系，所以，我们完全可以找出总利润与商品的价格之间的关系，利用这个等式寻找出所求的问题，这里我们不妨设每件商品降价x元，商品的售价就是(13.5-x)元了.
单个的商品的利润是(13.5-x-2.5)
这时商品的销售量是(500+200x)
总利润可设为y元.
利用上面的等量关式，可得到y与x的关系式了，若是二次函数，即可利用二次函数的知识，找到最大利润.
解：设销售单价为降价x元.
顶点坐标为(4.25，9112.5).
即当每件商品降价4.25元，即售价为13.5-4.25=9.25时，可取得最大利润9112.5元
16
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