规律探寻与函数思想方法.doc

函数思想方法在规律探寻与简便计算中的应用
梁作印
函数让数和形完美地结合在了一起，借助于函数解析式我们可以清晰地看到诸变量之间的数量关系。本文将重点探讨函数思想方法在规律探寻和简便计算方面的应用。
3k+b=180°
4k+b=360°
我们先以多边形内角和公式的探究来体验函数思想方法的运用。先猜想多边形的内角和s与边数n是否成一次函数关系式：设内角和s与边数n的函数关系式是：s=kn+b。因为n=3时，y=180°；n=4时，y=360°。即
解得k=180,y=-360°
即y=180°n-360°
验证：当n=5时，s=540,°；n=6时，s=720°均符合题意。此即n边形的内角和公式是：s=180°n-360°=（n-2）.180
运用举例一，在规律探寻中的应用
例一、右下图是按一定顺序排列的自然数，求第14行第二个数是多少？
把问题转化为探究第n行的第一个数y与其所在行数n之间的函数关系式。
1
2 3
4 5 6
7 8 9 10
11 12 13 14 15
16 17 18 19 20 21
22 23 24 25 26 27 28
- - - - - -
先尝试一次函数关系式：y=nx+b。
检验：把n=1，y=1；n=2，y=2带入解得k=1，b=0，
即y=x，显然不符合题意
于是尝试二次函数，设y=an2+bn+c
把n=1，y=1；n=2，y=2；n=3,y=4带入y=an2+bn+c
解得 a=,b=-,c=1
即y=n2-n+1
检验：把n=4带入得y=7,把n=5带入得y=11，符合题意。
所以当n=14时，y=92，即14行的第二个数就是93.
新学号（y）
1
5
9
13
旧学号（x）
1
2
3
4
例二、新学期开学后，学生的新旧学号发生了如下对应的变化：试问旧学号是30的同学现在的学号是多少？
先看是否满足一次函数关系，设y=kx+b
把x=1,y=1,x=2,y=5带入解得：k=4,b=-3.即y=4x-3.
验证：把x=3带入y=4x-3解得y=9；把x=4带入得y=13.
符合题意。所以y=4x-3即为所求函数关系式。
把x=30带入y=4x-3得y=117，旧学号是30的同学新学号是117.
例三、下图是用相同长度的小棒摆成的一组有规律的图案，按此规律摆下去，则第n个图案要多少个小棒

分析：设小棒的个数y与n的关系是y=kn+b
显然当n=1时，y=4；当n=2时，y=10，带入y=kn+b
解得k=6，b=-2.即y与n的关系是y=6n-2
检验：当n=3时，y=16；n=4时，y=22.均符合题意
故第n个图案需要6n-2个小棒。
图形周长
5
8
11
14
梯形个数
1
2
3
4
练习： 观察图形和所给表格中的数据回答，当梯形的个数是16时，梯形的周长是多少？

应用2：在简便计算中应用
例1、求2+4+6+8+10+12+------+1000值。
分析：原式可化为y=2（1+2+3+4+------+500）
k+b=2
2k+b=6
设和（y）与项数（x）之间的函数关系式是y=kx+b
把x=1,y=2,x=2,y=6带入y=kx+b得
解得：k=4,b=-2.即y=4x-2
验证：当x=3时，y=10与题意不符。
尝试二次函数关系式：设y=kx2+bx+c
把x=1,y=2；x=2,y=6；x=3,y=12带入y=kx2+bx+c
解得k=1，b=1，c=0.即y=x2+x
把x=500带入y=x2+x=5002+500=250500
2、两个人握手，握一次；三个人两两握手握三次；四个人两两握手握6次------探究50个人两两握手我多少次？分析：先猜想握手次数s与人数n成一次函数关系s=kn+b。
把n=2，s=1；n=3，s=3带入s=kn+b解得：k=2，b=-3
即s=2n-3
检验：当n=4时，s=2×4-3=5≠6，与事实不符。
尝试二次函数关系式：y=an2+bn+c
把n=2，s=1；n=3，s=3；n=4，y=6带入y=an2+bn+c解得
a=,b=-,c=0；所以y=n2-n=n（n-1）
检验：把n=5、n=6分别带入y=n（n-1）得y=10和y=15
均符合题意。
所以当n=50时，s=n（n-1）=×50（50-1）=1225.
练习：1、计算1+3+5+7+-------+999值
（提示：总项数n=（首数+尾数）÷2） 答案：y=n2=（）2
2、从同一端点发出两条射线，构成一个角，发出三条射线构成三个角------用函数思想方法探究角的个数s与射线条数n之间的关系。
（提示：类比握手问题答案：s=n（n-1））
拓展：借助于下图规律探寻我们可以得出连续自然数的平方和公式，即计算：12+32+42+52+- - - - -+n2

如图：当边长为1×1时,正方形的个数为1个，当正方形的边长为2×2时正方形的个数为5个-----如图：试探究正方形的个数y与大正方形边长x之间的关系

通过尝试可以发现正方形的个数y与边长x之间不是一次函数关系，也不是二次函数关系，故可设y=ax3+bx2+cx+d其中有四个未知数，所以要用四对有序实数(x，y)带入y=ax3+bx2+cx+d反解出a、b、c、d的值。过程略
答案：y=（2n3+3n2+n）=n(n+1)(2n+1)
归纳：综上所述，我们发现在运用函数思想方法探究规律时， 大致遵循以下流程：尝试一次函数关系 验证 与题意不符 尝试二次函数关系式 与题意不符 尝试三次函数关系（待定系数式为y=ax3+bx2+cx+d）
由于这是一种不完全归纳，所以一定要对所探究的函数关系式进行验证。因为我们所探究的规律一般不会超过四次，所以在我们的难度要求范围内，再验证任意2对点基本上就可以了。
函数的本质是讨论数与数之间的关系，所以很多实际问题都是先转化为数量关系，然后把初始条件带入相应函数的待定系数式来“反解”出自变量的系数，进而达到解决问题的目的。这是函数的抽象性本质和强大工具性功能的双重体现。
（作者单位：河南省驻马店市驿城区老河乡初级中学 梁作印 邮编 463700）

4