圆中多解题、阴影面积.doc

不规则图形面积的求法
求不规则图形面积的基本思路是通过分割、重叠、等积替换等方法把不规则图形转化为规则图形或规则图形面积的和差。
　　一、等积替换
　　（1）三角形等积替换
　　依据：等底等高的三角形面积相等或全等的三角形面积相等。
　　例1、如图1所示，半圆O中,直径AB长为4,C、D为半圆O的三等分点.,求阴影部分的面积.
解：连结OC 、OD，
　　由C、D为半圆O的三等分点知：∠COD=60°，且∠ADC=∠DAB=30°，
图2

　　∴CD∥AB，所以（同底等高的三角形面积相等）
　　∴
　　例2、如图2所示，在矩形ABCD中,AB=1,以AD为直径的
A
半圆与BC切于M点,求阴影部分面积.
　　(２）弓形等积替换
　　依据：等弧所对的弓形面积相等。
例3、 在RT△ABC中,∠B=90°,AB=BC=4,AB为直径的⊙O交AC于点D, 求图中两个阴影部分的面积之和.

图4

二、整体思想（各部分的面积无法求得，但各部分面积的和或差可求得）　
　　例4、如图5所示，一个同心圆环中，大圆的弦ＡＢ与小圆相切于Ｃ，且ＡＢ＝６，求圆环的面积

例5、如图:圆Ａ、Ｂ、Ｃ、Ｄ、Ｅ相互外离，它们的半径都是１， 顺次连结五个圆的圆心，得五边形ＡＢＣＤＥ，则图中五个扇形的面积之和是＿＿。( 2002年甘肃中考题)
分析：圆心角不知大小，所以每个扇形的面积无法求得，但是所有的圆心角之和可求得∠A＋∠B＋∠C＋∠D＋∠E＝（5-2）×180°=540°

图9

例6、如图7所示，直角坐标系中，以原点为圆心的三个同心圆，最大的圆为单位圆（即半径为1），
求图中阴影部分的面积之和。
分析：各部分的面积之和无法求得，但将第二、三象限的阴影绕点O旋转至第一象限后得扇形OAB。
三、求重叠部分的面积　（重叠部分的面积等于组成图形的各部分的面积之和减去组合成的新图形的面积之差。）
例7、如图8所示，正方形ABCD的边长为a，
以各边为直径在正方形内画半圆， 求阴影部分的面积
之和。（1997年广东中考题）
例8、如图9所示，国际奥委会会旗上的图案是由代表五大洲的五个圆环组成，每个圆环的内、外径分别是8和10，图中两两相交成的小曲边四边形（黑色部分）的面积相等，已知五个圆环覆盖的面积为122.5平方单位，计算每个小曲边四边形的面积为＿＿平方单位。
分析：图中黑色部分是五个圆环的重叠部分，所以这8个曲边四边形的面积之和等于五个圆环的面积之和减去图中五个圆环覆盖的面积。　 四、分割转化　（把不规则图形分割为规则图形的面积的和或差。）
例9、 如图10所示，:正方形ABCD的边长为a,以相邻的两边为直径分别画两个半圆. 求阴影部分的面积.　
例10、如图：四边形ABCD为某住宅区的示意图，其周长为800米，为美化环境，计划在住宅区周围5米以外作为绿化带（虚线以内，四边形以外）；求此绿化带的面积。
分析：要求该不规则图形的面积，将阴影分割为四个矩形和四个扇形，进而求得这个阴影部分的面积。
例11、（2007年，滨洲）如图所示，分别以n边形的顶点为圆心，以单位1为半径画圆，则图中阴影部分的面积之和为_________个平方单位。
分析：图中各扇形的圆心角无法求，但是所有扇形的圆心角这和恰好是n边形的外角和，显然等于360°。即∠1＋∠2＋∠3＋…＋∠n＝360°

12、如图，直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠A=∠B=90°，E是AB的中点，连接DE、CE，AD+BC=CD，以下结论
（1）∠CED=90°；（2）DE平分∠ADC；
（3）以AB为直径的圆与CD相切；（4）以CD为直径的圆与AB相切；
（5）△CDE的面积等于梯形ABCD面积的一半．
其中正确结论的个数为（　　）
A．2个 B．3个 C 、 4个 D、5个

13、如图，在半径为，圆心角等于450的扇形AOB内部 ，作一个正方形CDEF，使点C在OA上，点D、E在OB上，点F在弧上，则阴影部分的面积为（结果保留） .
证明题：（1）如图，AB是⊙O的直径，BC⊥AB，AD∥OC交⊙O于D点，求证：CD为⊙O的切线；
（2）如图，以Rt△ABC的直角边AB为直径作⊙O，交斜边AC于D，点E为BC的中点，连结DE，求证：DE是⊙O的切线.
（3）如图，以等腰△ABC的一腰为直径作⊙O，交底边BC于D，交另一腰于F，若DE⊥AC于E（或E为CF中点），求证：DE是⊙O的切线.
（4）如图，AB是⊙O的直径，AE平分∠BAF，交⊙O于点E，过点E作直线ED⊥AF，交AF的延长线于点D，交AB的延长线于点C，求证：CD是⊙O的切线.

圆中的计算与证明
1、如图在△ABC中，∠C=90°，点O为AB上一点，以O为圆心的半圆切AC于E，交AB于D，AC=12，BC=9，求AD的长。

O
A
E
C
D
B

2、如图，是⊙O的直径，是⊙O的弦，延长到点，使，连结，过点作，垂足为．
（1）求证：；
（2）求证：为⊙O的切线；

3、如图 AB是⊙O的直径, C ,D是圆上的两点,若∠ABD=40°,求∠BCD得度数。

A
B
O
C
D
40°

4、如图，⊙O中，弦AB⊥弦CD于E，OF⊥AB于F，OG⊥CD于G，若AE=8cm，EB=4cm，则OG= cm。
5、（镇江市）如图，正方形ABCD内接于⊙O，E为DC的中点，直线BE交⊙O于点F．若⊙O的半径为，则BF的长为
6、（扬州市）如图，AB是⊙O的直径，∠ACD＝，则∠BAD的度数为
7、边长为a的正方边形的边心距为
8、半径相等的圆内接正三角形、正方形、正六边形的边长之比为
9、）如图，AB、AC是⊙O的两条切线，切点分别为B、C，D是优弧上的一点，已知∠BAC＝，那么∠BDC＝__________度．
10、△ABC是半径为2厘米的圆内接三角形，若BC＝2厘米，则∠A的度数为________
11、（沈阳市）如图，已知OA、OB是⊙O的半径，且OA＝5，∠AOB＝15，AC⊥OB于C，则图中阴影部分的面积（结果保留π）S＝_________．
12、（哈尔滨市）将两边长分别为4厘米和6厘米的矩形以其一边所在直线为轴旋转一周，所得圆柱体的表面积为_________平方厘米．
13、（陕西省）如图，在⊙O的内接四边形ABCD中，∠BCD＝130，则∠BOD的度数是________．
14、（甘肃省）正三角形的内切圆与外接圆面积之比为_________．
15扬州市）边长为2厘米的正六边形的外接圆半径是________厘米，内切圆半径是________厘米（结果保留根号）．
16、（贵阳市）某种商品的商标图案如图所求（阴影部分），已知菱形ABCD的边长为4，∠A＝，是以A为圆心，AB长为半径的弧，是以B为圆心，BC长为半径的弧，则该商标图案的面积为_________．

17、宁夏回族自治区）圆锥的母线长为5厘米，高为3厘米，在它的侧面展开图中，扇形的圆心角是_________度．
18、（沈阳市）要用圆形铁片截出边长为4厘米的正方形铁片，则选用的圆形铁片的直径最小要___________厘米．
19、（重庆市）如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD∥BC，＝，若AD＝4，BC＝6，则四边形ABCD的面积为__________．
20、（天津市）已知⊙O中，两弦AB与CD相交于点E，若E为AB的中点，CE∶ED＝1∶4，AB＝4，则CD的长等于___________
21（北京市海淀区）一种圆状包装的保鲜膜，如图所示，其规格为“20厘米×60米”，经测量这筒保鲜膜的内径、外径的长分别为3.2厘米、4.0厘米，则该种保鲜膜的厚度约为_________厘米（π取3.14，结果保留两位有效数字）．
22、（北京市东城区）在Rt△ABC中，∠C＝，AＢ＝3，BC＝1，以AC所在直线为轴旋转一周，所得圆锥的侧面展开图的面积是__________．
23、山东省）如图，点P是半径为5的⊙O内一点，且OP＝3，在过点P的所有弦中，长度为整数的弦一共有 个
24、（宁夏回族自治区）已知圆的内接正六边形的周长为18，那么圆的面积为
25、（甘肃省）如图，在△ABC中，∠BAC＝，AB＝AC＝2，以AB为直径的圆交BC于D，则图中阴影部分的面积为
26、（甘肃省）弧长为6π的弧所对的圆心角为，则弧所在的圆的半径为
27、北京市朝阳区）如果圆锥的侧面积为20π平方厘米，它的母线长为5厘米，那么此圆锥的底面半径的长等于
28、（北京市西城区）“圆材埋壁”是我国古代著名的数学菱《九章算术》中的一个问题，“今在圆材，埋在壁中，不知大小．以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？”用现在的数学语言表述是：“如图，CD为⊙O的直径，弦AB⊥CD，垂足为E，CE＝1寸，AB＝寸，求直径CD的长”．依题意，CD长为
29、（河南省）如图，⊙A、⊙B、⊙C、⊙D、⊙E相互外离，它们的半径都是1，顺次连结五个圆心得到五边形ABCDE，则图中五个扇形（阴影部分）的面积之和是 。
（第32题）

30、（贵阳市）一个形如圆锥的冰淇淋纸筒，其底面直径为6厘米，母线长为5厘米，围成这样的冰淇淋纸筒所需纸片的面积是
31、（哈尔滨市）如图，圆内接正六边形ABCDEF中，AC、BF交于点M．则∶＝_________．
32、如图，Rt△ABC中，∠C=90°，∠ABC=30°，AB=6．点D在AB边上，点E是BC边上一点（不与点B、C重合），且DA=DE，则AD的取值范围是___________________．

典型基本图型：
图形1：如图1：AB是⊙O的直径，点E、C是⊙O上的两点，基本结论有：
（1）在“AC平分∠BAE”；“AD⊥CD”；“DC是⊙O的切线”三个论断中，知二推一。
（2）如图2、3，DE等于弓形BCE的高；DC=AE的弦心距OF（或弓形BCE的半弦EF）。

（3）如图（4）：若CK⊥AB于K，则：
①CK=CD；BK=DE；CK=BE=DC；AE+AB=2BK=2AD;
②⊿ADC∽⊿ACBAC2=AD•AB
（4）在(1)中的条件①、②、③中任选两个条件，当BG⊥CD
于E时（如图5），则：
①DE=GB；②DC=CG；③AD+BG=AB；④AD•BG==DC2
图形2：如图：Rt⊿ABC中，∠ACB=90°。点O是AC上一点，以OC为半径作⊙O交AC于点E，基本结论有：

（1）在“BO平分∠CBA”;“BO∥DE”;“AB是⊙O的切线”;“BD=BC”。四个论断中，知一推三。
（2）①G是⊿BCD的内心；② ；③⊿BCO∽⊿CDEBO•DE=CO•CE=CE2；
（3）在图（1）中的线段BC、CE、AE、AD中，知二求四。
（4）如图（3），若①BC=CE，则：②==tan∠ADE；③BC：AC：AB=3：4：5 ；（在①、②、③中知一推二）④设BE、CD交于点H，,则BH=2EH
图形3：如图：Rt⊿ABC中，∠ABC=90°,以AB为直径作⊙O交AC于D，基本结论有：
如右图：（1）DE切⊙OE是BC的中点；
（2）若DE切⊙O，则：①DE=BE=CE；
②D、O、B、E四点共圆∠CED=2∠A
③CD·CA=4BE2,
图形特殊化：在（1）的条件下
如图1：DE∥AB⊿ABC、⊿CDE是等腰直角三角形；
如图2：若DE的延长线交AB的延长线于点F，若AB=BF，则：
① ;②

图形4：如图，⊿ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O，交BC于点D，交AC于点F，
基本结论有：
（1）DE⊥ACDE切⊙O；
（2）在DE⊥AC或DE切⊙O下，有：①⊿DFC是等腰三角形；
②EF=EC；③D是 的中点。④与基本图形1的结论重合。
⑤连AD，产生母子三角形。

图形5：：以直角梯形ABCD的直腰为直径的圆切斜腰于Ｅ， 基本结论有：

（1）如图1：①AD+BC＝CD； ②∠COD=∠AEB=90°； ③OD平分∠ADC（或OC平分∠BCD）；（注：在①、②、③及④“CD是⊙O的切线”四个论断中，知一推三）
④AD·BC＝2=R2；
（2）如图2，连AE、CO，则有：CO∥AE，CO•AE=2R2(与基本图形2重合)
（3）如图3，若EF⊥AB于F，交AC于G，则：EG=FG.
图形6：如图：直线PR⊥⊙O的半径OB于E，PQ切⊙O于Q，BQ交直线PQ于R。
基本结论有：

（1）PQ=PR (⊿PQR是等腰三角形)；
（2）在“PR⊥OB”、“PQ切⊙O”、“PQ=PR”中，知二推一
（3）2PR·RE=BR·RQ=BE·2R=AB2
图形7：如图，⊿ABC内接于⊙O，I为△ABC的内心。基本结论有：
（1）如图1，①BD=CD=ID；②DI2＝DE·DA；
③∠AIB=90°+∠ACB;
（2）如图2，若∠BAC=60°，则：BD+CE=BC.

图形8：已知，AB是⊙O的直径，C是 中点，CD⊥AB于D。BG交CD、AC
于E、F。基本结论有：
（1）CD=BG；BE=EF=CE；GF=2DE
(反之，由CD=BG或BE=EF可得：C是 中点)
（2）OE=AF，OE∥AC；⊿ODE∽⊿AGF
（3）BE·BG=BD·BA
（4）若D是OB的中点，则：①⊿CEF是等边三角形；②
四、范例讲解：
例题1：△ABP中，∠ABP=90°，以AB为直径作⊙O交AP于C点，弧=，过C作AF的垂线，垂足为M，MC的延长线交BP于D.
（1）求证：CD为⊙O的切线；
（2）连BF交AP于E，若BE=6，EF=2，求的值。
例题2：直角梯形ABCD中，∠BCD=90°，AB=AD+BC，AB为直径的圆交BC于E，连OC、BD交于F.
⑴求证：CD为⊙O的切线
⑵若，求的值
例题3：如图，AB为直径，PB为切线，点C在⊙O上，AC∥OP。
（1）求证：PC为⊙O的切线。
（2）过D点作DE⊥AB，E为垂足，连AD交BC于G，CG=3，DE=4，求的值。

例题4（2009调考）：如图，已知△ABC中，以边BC为直径的⊙O与边AB交于点D，点E为 的中点，AF为△ABC的角平分线，且AF⊥EC。
（1）求证：AC与⊙O相切；
（2）若AC＝6，BC＝8，求EC的长

五、练习：
1．如图，Rt△ABC，以AB为直径作⊙O交AC于点D， ，过D作AE的垂线，F为垂足.
（1）求证：DF为⊙O的切线；
（2）若DF=3，⊙O的半径为5，求的值.
2．如图，AB为⊙O的直径，C、D为⊙O上的两点， ，过D作直线BC的垂线交直线AB于点E，F为垂足.
（1）求证：EF为⊙O的切线；
（2）若AC=6，BD=5，求的值.
3．如图，AB为⊙O的直径，半径OC⊥AB，D为AB延长线上一点，过D作⊙O的切线，E为切点，连结CE交AB于点F.
（1）求证：DE=DF；
（2）连结AE，若OF=1，BF=3，求的值.

4．如图，Rt△ABC中，∠C=90°，BD平分∠ABC，以AB上一点O为圆心过B、D两点作⊙O，⊙O交AB于点一点E，EF⊥AC于点F.
（1）求证：⊙O与AC相切；
（2）若EF=3，BC=4，求的值.
5．如图，等腰△ABC中，AB=AC，以AB为直径作⊙O交BC于点D，DE⊥AC于E.
（1）求证：DE为⊙O的切线；
（2）若BC=，AE=1，求的值.

6．如图，BD为⊙O的直径，A为 的中点，AD交BC于点E，F为BC延长线上一点，且FD=FE.
（1）求证：DF为⊙O的切线；
（2）若AE=2，DE=4，△BDF的面积为，求的值.
7、如图，AB是⊙O的直径，M是线段OA上一点，过M作AB的垂线交AC于点N，交BC的延长线于点E，直线CF交EN于点F，且∠ECF=∠E．
（1）求证：CF是⊙O的切线；
（2）设⊙O的半径为1，且AC=CE，求的长．
8、如图，AB是⊙O的直径，BC⊥AB，过点C作⊙O的切线CE，点D是CE延长线上一点，连结AD，且AD+BC=CD.
（1）求证：AD是⊙O的切线；
（2）设OE交AC于F，若OF=3，EF=2，求线段BC的长.

9、如图，△ABC中，AB=BC，以AB为直径的⊙O交AC于点D，且CD=BD.
（1）求证：BC是⊙O的切线；
（2）已知点M、N分别是AD、CD的中点，BM延长线交⊙O于E，EF∥AC，分别交BD、BN的延长线于H、F，若DH=2，求EF的长.
10、如图，AB是半⊙O上的直径，E是的中点，OE交弦BC于点D，过点C作交AD的平行线交OE的延长线于点F. ∠ADO=∠B.
（1）求证：CF为⊙O的⊙O切线；
11、如图，⊿ABC中，AB＝AC，以AC为直径的⊙O与AB相交于点E，点F是BE的中点．
（1）求证：DF是⊙O的切线．
（2）若AE＝14，BC＝12，求BF的长

如图，为的直径，，分别和相切于点，，点为圆上不与，重合的点，过点作的切线分别交，于点，，连结，分别交，于点，．
（1）若，，求的半径及弦的长；
（2）当点在上运动时，试判定四边形的形状，并给出证明．

解：（1），，分别切于，，，，，
，．
．
为的直径，．
过点作于，则四边形是矩形．
，．
，的半径为． 3分
连结．
，，
垂直平分弦．
，
．
． 6分
（2）当点在上运动时，由（1）知垂直平分．同理，垂直平分．
为直径，．四边形为矩形． 8分
当动点满足时，，．
．
矩形为正方形． 9分

如图，ABCD是边长为1的正方形，其中、、的圆心依次
是A、B、C．
（1）求点D沿三条圆弧运动到点G所经过的路线长；
（2）判断直线GB与DF的位置关系，并说明理由．

A
B
C
D
E
F
G

（1）∵AD = 1，∠DAE = 90o，
∴的长，
同理，的长，
的长，
所以，点D运动到点G所经过的路线长．
（2）直线GB⊥DF．
理由如下：延长GB交DF于H．
∵CD = CB，∠DCF = ∠BCG，CF = CG，
∴△FDC≌△GBC．
∴∠F =∠G．
又∵∠F + ∠FDC = 90o，
∴∠G + ∠FDC = 90o，
即∠GHD = 90o，故 GB⊥DF．

如图，在直角梯形ABCD中，AD∥BC，∠B=90°，AB=8cm，AD=24cm，BC=26cm，AB为⊙O的直径．动点P从A点开始沿AD边向点D以1cm/s的速度运动，动点Q从点C开始沿CB边向点B以3cm/s 的速度运动，P、Q 两点同时出发，当其中一点到达端点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t（s），求：
（1）t分别为何值时，四边形PQCD为等腰梯形？
（2）t分别为何值时，直线PQ与⊙O相切。
解答：

在直角梯形ABCD中,AD‖BC,∠B=90°,AB=8cm，AD=24cm，BC=26cm，AB为圆O直径，动点P从点A开始沿AD向点D以1cm/s的速度移动,动点Q从点C开始沿CB向B点以3cm/s的速度,如果P,Q分别从A,C同时出发,设移动时间为t(s).
问：t为何值时，直线PQ与○O相交、相切、相离？
t为何值时 PQCD为直角梯形 为平行四边形
：
17
圆中多解问题