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透过问题反思一次函数的教学

张晓波（江苏省海安县海陵中学）

摘要：《一次函数》教学结束，笔者习惯地对学生中出现的问题进行整理，筛选出几个典型问题反思一次函数的教学，以期对以后的教学有所帮助．
关键词：知识的探究顺序 解决问题的方式 思想方法的构建 学生的思维误区

问题1：k在哪里？
一次函数图象学习结束，一学生问：“我知道函数（）的图象是一条直线，其中b在直线与y轴交点的位置，但不知道k在哪里？” 我一愣：k在哪里？什么问题啊？
回顾一次函数的教学过程，我从特殊值开始，让学生自己动手，经历列表、描点、连线的操作过程，然后结合图象让他们交流讨论归纳出一次函数的图象及性质，最后通过适量的练习巩固了相关的性质．整个过程循序渐进，自然流畅，可是这个学生却还是问出了这样一个匪夷所思的问题．这个学生的问题道出了部分学生学习一次函数图象的困难，如何帮助这部分学生突破难点，更好地理解相关概念，我首先想到的是教学顺序．
反思1 关注知识的探究顺序
比较三种版本一次函数的教学内容，其中人教版首先安排了正比例函数的内容，给出的实际问题列出的函数都是常数与自变量乘积的形式，接着讨论了这种函数的定义、图象和增减性等，然后以此为基础，继续研究一次函数的相关内容．苏科版和北师大版则通过两个实例给出一次函数的概念，其中一个是正比例函数，旨在用一种情况沟通一次函数与正比例函数的关系，让学生感受正比例函数是一次函数的特例．
比较两种方式，一个侧重从学生认知的角度，从特殊到一般，让学生先认识正比例函数，然后学习一次函数，最后再引导学生注意两个概念之间的联系与区别，体会类比和联想的方法，培养由此及彼地认识问题的能力．另一个侧重让学生体会正比例函数是一次函数的特例，从一般到特殊，在概念的引入和函数的图象与性质的探究上，都是将对正比例函数的研究融合在对一次函数的探究中．
对于苏科版教材和人教版教材，之前我并没有深入思考过这两种教学顺序对学生会产生怎样的影响，感觉应该会殊途同归，但这个学生的问题却引发我首先从探究的顺序上进行反思．对部分抽象思维能力较薄弱的学生而言，先探究正比例函数的相关内容，再探究时的情况，可能更有利于他们加深对比例系数k的本质内涵的理解．

问题2：怎么计算？
练习中出现这样一道题目，学生说列出了关系式，却不知道如何求解．
题目 表中给出的是关于某个一次函数的自变量x及其对应的函数值y的若干信息．

请你根据表格中的相关数据计算：m＋2n= ．
学生的解题思路是：设（），把表中数据代入得：①，②，③．四个未知数三个方程，卡壳了． 少数学生利用整体代入：①+③×2得，没有一个学生想到用直接得到结果．
反思2 关注解决问题的方式
根据已知条件，求一次函数的解析式是这一章的常见题型．同样是求解析式，不同的方法反映出学生对知识理解的深度与广度．我曾引导学生推导出，虽然学生能从形式逻辑的角度理解推导的过程，但因为没能理解这个式子中k的本质内涵，所以在遇到没有见过的题型时，学生还是不能准确地调用相关的知识灵活地解决问题．因为才刚刚开始探究一次函数，学生还没有正切的相关知识储备，所以不可以过早地渗入斜率的概念，但有必要让学生理解k的绝对值是函数y在自变量x的每个单位内的变化率，并让学生学会用这种理解方式来求k的值．这样学生就可以跳出机械模仿待定系数求一次函数解析式的方法，从而加深对k的本质的理解．在教学中，不仅要关注知识的发生与发展过程，还要关注学生解决问题的方式，让学生在不同方法的对比中巩固知识，提升能力．

图1
问题3：错在哪里？
如图1，在平面直角坐标系中，线段AB的端点坐标为A（—2，4），B（4，2），直线y=kx—2与线段AB有交点，则k取值范围是 ．
多数学生是这样做的：把点A、B的坐标代入直
线解析式，分别求出k=—3和1，因为直线与线段AB
有交点，所以．当他们发现这个答案不正
确时，很多学生都想不通，不知道错在哪里．
反思3 关注思想方法的构建
教学中我曾结合几何画板让学生体会随着的变化，图象与y轴的接近程度，渗透了极限的思想，为何还是会出现这样的错误呢？反思教学过程，几何画板的操作虽然从直观上让学生体会到越大，图象越接近于y轴，但这种直观上的操作也只是形成了一个表象，属于思想渗透的潜意识阶段，要想让学生理解本质内涵，还要通过适当的练习让学生明朗，通过后继的研究，特别是反比例函数等的探究加深对极限思想的认识．因此教学中要特别注意思想方法的构建，明确数学思想方法渗透所必须经历的三个阶段——潜意识阶段、明朗和形成阶段、深化阶段，让思想方法真正融入学生的思维．

问题4：谁的方法对？
图2
一辆汽车在行驶过程中，路程 y（千米）与时间 x（小时）之间的函数关系如图2所示， 当0≤x≤1时，y关于x的函数解析式为 y = 60 x，那么当 1≤x≤2时，y关于x的函数解析式为 .
两名同学解决这个问题的方法不同，结果不一样，谁也看不出问题在哪里．甲：当0≤x≤1时，把x=1代入y = 60 x，则y=60，那么当 1≤x≤2时，可知行驶速度为100（千米/时），所以y=100x+60；乙：当0≤x≤1时，把x=1代入y = 60 x，则y=60，那么当 1≤x≤2时由两点坐标（1，60）与（2，160）得，当1≤x≤2时的函数解析式为y=100x—40.
反思4 关注学生的思维误区
从作业中可能看出学生利用一次函数的知识解决实际问题时存在很多思维上的误区，这些问题有些与一次函数本身的知识无关，而是与学生思维习惯，认知水平有关．教学中要关注学生思维上的误区，通过创设情境引导学生关注生活，重视数学与生活实际的联系，帮助学生深入理解实际问题中的数学本质，通过类比迁移、变式拓展、错误辨析等多种方式帮助学生走出误区，提升能力．

作者工作单位：江苏省海安县海陵中学
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