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从康托尔悖论说起

江苏省启东中学 张 杰

19世纪末20世纪初德国伟大的数学家康托尔，集合论的创立者,他有一个著名的“部分之和大于整体”的无限集合悖论，简单地说,就是对于自然数集合和正偶数集合及正奇数集合来说,哪个集合中的元素个数更多?
习惯性的思维答案是: 自然数集合A中的元素个数最多,而集合B、C中的元素个数一样多.但康托尔通过建立一一对应关系,发现它们三者的元素个数“一样多”!
理由是:我们根据在集合A的中每一个自然数字都可以与集合B的每个偶数以及集合C的每个奇数数字相对应，直到无限,从而可以知道三个集合A/B/C中所有的数字实际是一样多的。（这种计算方法叫对位计数法或者数脚指头计数法或者数石头子计算羊只的牧童计数法。）因此，结论是：整体有时确实并不大于它的一部分，而它的各部分之和却可能大于其整体。
从而康托尔定义了两个集合“等势”的概念：若两个无限集的元素之间能建立一一对应，则称这两个集合等势。
上述集合从数列观点来分析,即为无穷数列、、的通项公式分别为,,,试问这三类数列的元素个数孰多?
根据上述问题,我们来解决下列例题:
例1. 已知是公差不为的等差数列，前项之和，是公比为正数的等比数列，且满足，。
（1）求数列和的通项公式；
（2）若一个数列中的每一项都是另一数列中的某一项,则称其为后一数列的子数列,试问数列是否是的子数列;
(3)能否在数列和之间确定一种对应关系,说明由这两个数列组成的集合是“等势”的。
分析: 对于第(1)小题, 已知一个数列的前项之和时,我们可根据递推公式来确定其通项公式,即可求数列的通项,进而求数列的通项公式;第(2)小题是根据“子数列”的定义来判断; 第(3) 小题是有关函数模型的选择问题,因等比数列的通项公式是指数形式,而等差数列是通项公式是一次函数形式,所以联想到利用对数函数,将两者对应起来.
解析：（1）由条件得，
从而数列的通项公式是，
又，从而，数列的通项公式是；
（2）因,所以数列不是的子数列,
但由得，因一定是奇数,说明数列中的第项是数列中的第项；
(3) 不妨设 ，其中为常数，则 ，
即对一切正整数都成立，
从而,解之得，所以存在着常数，使
，即数列中的项与数列的项成一一对应关系，所以由这两个数列组成的集合是“等势”的。
点评: 我们知道在实数运算中,“加减法”是“一级运算”,“乘除法”是“二级运算”,“乘方与开方”是“三级运算”,对数运算法则,
可将上述三级运算“降级”,因此对于形如指数函数的问题，通常通过“取对法”转化到一次函数。
其实,从历年的高考试题分析,由等差(比)数列的子数列构成新的等比(差)数列,是一个热点问题,在此我再举一例,与读者分享:

例2.已知数列是首项，公比的等比数列，设，常数，数列．
（1）求证：是等差数列；
（2）若是递减数列，求t的最小值；
（3）是否存在正整数k，使重新排列后成等比数列？若存在，求k，t的值；若不存在，说明理由．
分析: 欲证数列是等差数列,应从定义出发,证其相邻两项之差为常数;根据条件
“是递减数列”可得不等式,从而将第(2)问转化为不等式恒成立问题,即
求关于的函数最大值问题;对于第(3)小题,要以何项为“等比中项”作分类讨论,分别求得满
足条件的k，t之值.
解析: （1）由题意知，，因为， ∴数列是首项为，公差的等差数列．
（2）由（1）知，，，
恒成立，即恒成立，
因为是递减函数，所以，当n=1时取最大值，，
因而，因为，所以．
（3）记，，
，．
①若是等比中项，则由得化简, 得，解得或（舍），所以,于是
或．
②若是等比中项，则由得
化简得，显然不成立．
③若是等比中项，则由得
化简得，因为不是完全不方数，因而，x的值是无理数，显然不成立．
综上所述,当或时, 能使重新排列后成等比数列.
点评: 等比数列具有一个重要性质:若等比数列的各项均为正数,则新数列必为等差数列.这一结论,在高考的填空选择题经常使用,请读者牢记.

配套练习:已知等比数列的首项，公比，数列前n项和记为，前n项积记为. （1）证明
（2）判断与的大小，为何值时，取得最大值
（3）证明中的任意相邻三项按从小到大排列，总可以使其成等差数列，如果所有这些等差数列的公差按从小到大的顺序依次设为，证明:数列为等比数列。（参考数据）
参考答案: (1) 由条件得,
当为奇数时,,取时,最大;
当为偶数时,,取时,最小,从而;
(2)因,所以,而,
故当时,,当时, ,
又,再由
得当时, 取得最大值;
(3)因随的增大而减少,且数列的奇数项为正,偶数项为负,所以
当为奇数时,数列调整为,
由
得,
所以成等差数列,其公差为;
当为偶数时,数列调整为,同理可证成等差数列,其公差为,
由此可知,当时, ,得,所以数列是以为首项,为公比的等比数列.