数的整除知识要点和例题讲解.doc

要点考点一、整数和除尽的联系和区别整除和除尽，它们所除的结果都没有余数，这是它们的共同点。“除尽”包括“整除”，“整除”是除尽的一种特殊情况。二、整除数的特征1能被2整除的数的特征：个位上是0，2，4，6，8。2能被5整除的数的特征：个位上是0或5。3能被3(或9)整除的数的特征：一个数的各个数位上的数之和能被3(或9)整除，这个数就能被3(或9)整除。例如：6，12，108，204，354都能被3整除，其中108又能被9整除。注意：能被3整除的数不一定能被9整除，但能被9整除的数一定能被3整除。三、质数和合数1一个数只有l和它本身两个约数，这个数叫做质数(素数)。2一个数除了1和它本身，还有别的约数，这个数叫做合数。31既不是质数，也不是合数。4自然数按约数的个数可分为：1、质数、合数。5自然数按能否被2整除分为：奇数、偶数。四、分解质因数1每个合数都可以写成几个质数相乘的形式，这几个质数叫做这个合数的质因数。例如：18=332，3、3和2叫作18的质因数。2把一个合数用几个质因数相乘的形式表示出来，叫做分解质因数。通常用短除法来分解质因数。3特殊情况下几个数的最大公约数和最小公倍数。(1)如果几个数中，较大数是较小数的倍数，较小数是较大数的约数，则较大数是它们的最小公倍数；较小数是它们的最大公约数。(2)如果几个数两两互质，则它们的最大公约数是1，最小公倍数是这几个数连乘的积。五、名师讲解例1：下面的式子中哪个表示除尽，哪个表示整除?A605=12B1002=50C510=0。5D3819=2E17=1/7分析根据除尽的概念可知，算式A、B、C、D的余数都为零，所以A、B、C、D都属于除尽。整除不仅要求余数为零，而且被除数、除数、商都必须是自然数，所以符合整除的只有D。解A、B、C、D是除尽。D是整除。例2：下面哪些数能被2整除，哪些数能被3整除，哪些数能被5整除，哪些数能被2，5同时整除，哪些数能同时被2，3，5整除?18，35，50，57，90，102，210。分析个位上是0，2，4，6，8的数都能被2整除；个位上是“0”或“5”的数都能被5整除；一个数的各位上的数的和能被3整除，这个数就能被3整除；个位上是“0”的数能被2，5同时整除；个位上是0，并且各个数位上的数的和能被3整除，这个数才能被2，3，5同时整除。解能被2整除的数：18，50，90，102，210。能被3整除的数：18，57，90，102，210。能被5整除的数：35，50，90，210。能被2，3整除的数：18，90，102，210。能被2，3，5整除的数：90，210。例3：在0，1，2，3，50，9，25，111，05这些数里，()是整数，()是奇数，()是质数，()是合数，()是偶数，()既不是质数也不是合数。分析分析中要紧扣概念，整数包括自然数、0，还有中学我们要学习的负整数；奇数就是不能被2整除的数，也就是平时常说的单数；偶数就是能被2整除的数，也即双数；只有l和它本身两个约数的数叫质数；除了l和它本身还有其他约数的数叫合数。1只有它本身一个约数，所以l不是质数，也不是合数，但它是整数、自然数、奇数。解(0，1，2，3，9，25，111)是整数。(1，3，9，25，111)是奇数。(2，3)是质数。(9，25，111)是合数。(0，2)是偶数。(1)既不是质数，也不是合数。注意50，05是小数，判断一个数是否是质数、合数、奇数、偶数必须是在自然数范围内讨论，所以50，05不在此范围之内。例4：把420分解质因数是()。A420=22357B420=223571C420=4357D22357=420分析B式中1不是质数，C式中4是合数，D式中违背了分解质因数的意义，是合并质因数，A式中2，3，5，7，均为质数，又符合分解质因数的意义，所以A式是正确的。解A是正确的。