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破解椭圆中最值问题的常见策略

有关圆锥曲线的最值问题，在近几年的高考试卷中频频出现，在各种题型中均有考查，其中以解答题为重，在平时的高考复习需有所重视。圆锥曲线最值问题具有综合性强、涉及知识面广而且常含有变量的一类难题，也是教学中的一个难点。要解决这类问题往往利用函数与方程思想、数形结合思想、转化与化归等数学思想方法，将它转化为解不等式或求函数值域，以及利用函数单调性、各种平面几何中最值的思想来解决。本文通过具体例子，对椭圆中的常见最值问题进行分类破解。
第一类：求离心率的最值问题
破解策略之一：建立的不等式或方程
例1：若为椭圆的长轴两端点，为椭圆上一点，使，求此椭圆离心率的最小值。
分析：建立之间的关系是解决离心率最值问题常规思路。此题也就要将角转化为边的思想，但条件又不是与焦点有关，很难使用椭圆的定义。故考虑使用到角公式转化为坐标形式运用椭圆中的取值进行求解离心率的最值。
解：不妨设，则，
利用到角公式及得：（），
又点在椭圆上，故，消去， 化简得又即
则，从而转化为关于的高次不等式 解得。
故椭圆离心率的最小值为。（或，得：，由，故）（注：本题若是选择或填空可利用数形结合求最值）
点评：对于此类最值问题关键是如何建立之间的关系。常用椭圆上的点表示成，并利用椭圆中的取值来求解范围问题或用数形结合进行求解。
破解策略之二：利用三角函数的有界性求范围
例2：已知椭圆C：两个焦点为，如果曲线C上存在一点Q，使，求椭圆离心率的最小值。
分析：根据条件可采用多种方法求解，如例1中所提的方法均可。本题如借用三角函数的有界性求解，也会有不错的效果。
解：根据三角形的正弦定理及合分比定理可得：

故，故椭圆离心率的最小值为。
点评：对于此法求最值问题关键是掌握边角的关系，并利用三角函数的有界性解题，真是柳暗花明又一村。
第二类：求点点（点线）的最值问题
破解策略之三：建立相关函数并求函数的最值（下面第三类、第四类最值也常用此法）
例3：（05年上海）点A、B分别是椭圆长轴的左、右端点，点F是椭圆的右焦点，点P在椭圆上，且位于轴上方，。（1）求点P的坐标；（2）设M是椭圆长轴AB上的一点，M到直线AP的距离等于，求椭圆上的点到点M的距离的最小值。
分析：解决两点距离的最值问题是给它们建立一种函数关系，因此本题两点距离可转化成二次函数的最值问题进行求解。
解：（1）略
（2）直线AP的方程是－+6=0。 设点M(,0),则M到直线AP的距离是。
于是=,又－6≤≤6,解得=2。 设椭圆上的点(,)到点M的距离
,
由于－6≤≤6, ∴当=时,d取得最小值
点评：对于此类最值问题关键是如何将点点之间的最值问题转化成我们常见函数——二次函数的最值问题求解。
破解策略之四：利用椭圆定义合理转化
例4：定长为的线段AB的两个端点分别在椭圆上移动，求AB的中点M到椭圆右准线的最短距离。
解：设F为椭圆的右焦点，如图作于A'，
BB'⊥于B'，MM'⊥于M'，则

当且仅当AB过焦点F时等号成立。故M到椭圆右准线的最短距离为。
点评：是椭圆的通径长，是椭圆焦点弦长的最小值，是AB过焦点的充要条件。通过定义转化避免各种烦琐的运算过程。
第三类：求角的最值问题
例5：（05年浙江）如图，已知椭圆的中心在坐标原点，焦点F1，F2在x轴上，长轴A1A2的长为4，左准线l与x轴的交点为M，|MA1|∶|A1F1|＝2∶1。
(Ⅰ)求椭圆的方程；
O

F2
F1
A2
A1
P
M
(Ⅱ)若直线l1：x＝m(|m|＞1)，P为l1上的动点，使∠F1PF2最大的点P记为Q，求点Q的坐标 (并用m表示) 。
分析：本题考查解析几何中角的最值问题常采用到角
（夹角）公式或三角形中的正弦（余弦）定理，结合
本题的实际，考虑用夹角公式较为妥当。
解：（Ｉ）（过程略）
（II）设P(①当时，
②当时, 只需求的最大值即可。
直线的斜率，直线的斜率利用夹角公式得：

当且仅当=时，最大，最大值为。
点评：对于此类最值问题关键是如何将角的最值问题转化成解析几何中的相关知识最值问题，一般可用到角（夹角）公式、余弦定理、向量夹角进行转化为求分式函数的值域问题。
第四类：求（三角形、四边形等）面积的最值问题
例6：（05年全国II）、、、四点都在椭圆上，为椭圆在轴正半轴上的焦
点．已知与共线，与共线，且．求四边形的面积的最小值和最大值．
分析：本题是向量与解析几何的结合，主要是如何选择一个适当的面积计算公式达到简化运算过程，并结合分类讨论与求最值的思想。
解：①如图，由条件知MN和PQ是椭圆的两条弦，相交于焦点F(0,1)，且PQ⊥MN，直线PQ、NM中至少有一条存在斜率，不妨设PQ的斜率为，又PQ过点F(0,1)，故PQ的方程为=+1
将此式代入椭圆方程得(2+)+2－1=0
设P、Q两点的坐标分别为(，)，(，)，则

Q
P
N
M
F
O

从而
亦即(1)当≠0时，MN的斜率为－，
同上可得：
故所求四边形的面积
令=得
∵=≥2 当=±1时=2，S=且S是以为自变量的增函数。∴
②当=0时，MN为椭圆长轴，|MN|=2，|PQ|=。∴S=|PQ||MN|=2
综合①②知四边形PMQN的最大值为2，最小值为。
点评：对于此类最值问题关键是选择一个适当或合理的面积公式转化成常见函数——反比例函数形式的最值问题。
第五类：求线段之和（或积）的最值问题
破解策略之五：利用垂线段小于等于折线段之和。
例7：若椭圆内有一点，为右焦点，椭圆上的点使得的值最小，则点的坐标为 （ ）
A． B． C． D．
提示：联系到将用第一定义转化成点到相应准线的距离问题，利用垂线段最短的思想容易得到正确答案。选。思考：将题中的2去掉会怎样呢？
破解策略之六：利用三角形两边之和大于第三边或三角形两边之差小于第三边
例8：如图，在直线上任意取一点，经过点且以椭圆的焦点作椭圆，问当在何处时，所作椭圆的长轴最短，并求出最短长轴为多少？
P
M
y
O
l
F1
F2
x
N
分析：要使所作椭圆的长轴最短，当然想到椭圆的定义。基本的解题思路如下：长轴最短三点一直线寻求对称对称变换。在一系列的变化过程中巧妙的运用对称，使我们找到一种简明的解题方法。通过此对称性主要利用
解：椭圆的两焦点分别为（－3，0）、（3,0），
作关于直线的对称点，则直线的方程为
由方程组　　得的坐标（－6，3），
由中点坐标公式得的坐标（－9,6）,所以直线的方程。
解方程组　　得点坐标（－5,4）。由于，　　
点评：对于此类最值问题是将所求的最值转化成三角形两边之和大于第三边或两点连线最短、垂线段最短的思想。
除了上述几类之外，高考中还有数量积的最值问题、直线斜率（或截距）的最值问题等等，由此可见对于椭圆中的最值问题所涉及范围较广，从中也渗透了求最值的一些常规方法，运用定义、平面几何知识可更有效地将最值问题转化成形的最值问题。