高考数学研究《不动点与稳定点》.doc

高考数学试题研究
不动点：已知函数，，若存在，使得，则称为函数的不动点。
不动点实际上是方程组的解的横坐标，或两者图象的交点的横坐标
当然，这个方程组根据函数的不同，可能有多解。
例如1：的解只有一个，故函数有一个不动点
例如2：的解为，，故函数有两个不动点
稳定点：已知函数，，若存在，使得，则称为函数的稳定点。
很显然，若为函数的不动点，则必为函数的稳定点。
证明是非常简单的！因为，所以，
即，故也是函数的稳定点。
反之，有没有不是不动点的稳定点呢？答案是肯定的！
例如3：设，令，解得
故函数有一个稳定点
例如4：，令，因为不动点必为稳定点，所以该方程一定有两解，由此因式分解，可得
还有另外两解，故函数的稳定点有，
其中是稳定点，但不是不动点。

请看下面四个图形，分别对应例1、2、3、4.

图-1

图-2

图-3

图-4

由此，清晰可见，不动点是函数图象与直线的交点的横坐标，而稳定点是函数图象与它的反函数（可以是多值的）的图象的交点的横坐标.
根据例1和例3，我们可以给出命题：
若函数单调递增，则它的不动点与稳定点是完全等价的。
证明：若函数有不动点，显然它也有稳定点；
若函数有稳定点，即，设，则
即和都在函数的图象上，
假设，因为是增函数，则，即，与假设矛盾；
假设，因为是增函数，则，即，与假设矛盾；
故，即，有不动点.

【2013年• 四川卷 （文科）第10题】
1.设函数（，为自然对数的底数）. 若存在使成立，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
解析: ，根据复合函数的单调性，可以判断该函数为增函数
又因为存在使，即有稳定点，
所以它必有不动点，使得
即在有解,
整理可得，，在有解
令，
∵，∴在单调递增
，，，故选择A.
【2013年• 四川卷 （理科）第10题】
设函数（，为自然对数的底数）. 若曲线上存在点使成立，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
解析: ，根据复合函数的单调性，可以判断该函数为增函数
又因为存在使，即有稳定点，
所以它必有不动点，使得
即在有解，显然是无解的.
整理可得，，在有解
令，
∵，∴在单调递增
，，，故选择A.