全国2007年初中数学联合竞赛试题(含解析).doc

全国2007年初中数学联合竞赛试题（含解析）
一、选择题（本题满分42分，每小题7分）
1. 已知满足，则的值为 （ ）
（A）1. （B）. （C）. （D）.

2．当分别取值，，，…，，，，…，，，时，计算代
数式的值，将所得的结果相加，其和等于 （ ）
（A）－1. （B）1. （C）0. （D）2007.

3. 设是△的三边长，二次函数在时取最小值，则△是 （ ）
（A）等腰三角形. （B）锐角三角形. （C）钝角三角形. （D）直角三角形.

4. 已知锐角△的顶点到垂心的距离等于它的外接圆的半径，则∠的度数是（ ）
（A）30°. （B）45°. （C）60°. （D）75°.

5．设是△内任意一点，△、△、△的重心分别为、、，则的值为 （ ）
（A）. （B）. （C）. （D）.

6．袋中装有5个红球、6个黑球、7个白球，从袋中摸出15个球，摸出的球中恰好有3个红球的概率是 （ ）
（A）. （B）. （C）. （D）.

二、填空题（本题满分28分，每小题7分）
7. 设，是的小数部分，是的小数部分，则_______.
8. 对于一切不小于2的自然数，关于的一元二次方程的两个根记作（），则= 。

9. 已知直角梯形的四条边长分别为，过、两点作圆,与的延长线交于点，与的延长线交于点，则的值为_________.

10． 若和均为四位数，且均为完全平方数，则整数的值是_______.

第二试 （A）
一、 （本题满分20分）设为正整数，且，如果对一切实数，二次函数的图象与轴的两个交点间的距离不小于，求的值.

二、（本题满分25分）如图，四边形是梯形，点是上底边上一点，的延长线与的延长线交于点，过点作的平行线交的延长线于点，与交于点.证明：∠=∠.

三、 （本题满分25分）已知是正整数，如果关于的方程的根都是整数，求的值及方程的整数根.

第二试 （B）
一、（本题满分20分）设为正整数，且，二次函数的图象与轴的两个交点间的距离为，二次函数的图象与轴的两个交点间的距离为.如果对一切实数恒成立，求的值.

二、（本题满分25分）题目和解答与（A）卷第二题相同.

三、（本题满分25分）设是正整数，二次函数，反比例函数，如果两个函数的图象的交点都是整点（横坐标和纵坐标都是整数的点），求的值.

第二试 （C）
一、（本题满分25分）题目和解答与（B）卷第一题相同.

二、（本题满分25分）题目和解答与（A）卷第二题相同.

三、（本题满分25分）设是正整数，如果二次函数和反比例函数的图象有公共整点（横坐标和纵坐标都是整数的点），求的值和对应的公共整点.

第一试
一、选择题（本题满分42分，每小题7分）
1. 已知满足，则的值为 （ ）
（A）1. （B）. （C）. （D）.

2．当分别取值，，，…，，，，…，，，时，计算代
数式的值，将所得的结果相加，其和等于 （ ）
（A）－1. （B）1. （C）0. （D）2007.

3. 设是△的三边长，二次函数在时取最小值，则△是 （ ）
（A）等腰三角形. （B）锐角三角形. （C）钝角三角形. （D）直角三角形.

4. 已知锐角△的顶点到垂心的距离等于它的外接圆的半径，则∠的度数是（ ）
（A）30°. （B）45°. （C）60°. （D）75°.

5．设是△内任意一点，△、△、△的重心分别为、、，则的值为 （ ）
（A）. （B）. （C）. （D）.

6．袋中装有5个红球、6个黑球、7个白球，从袋中摸出15个球，摸出的球中恰好有3个红球的概率是 （ ）
（A）. （B）. （C）. （D）.

二、填空题（本题满分28分，每小题7分）
7. 设，是的小数部分，是的小数部分，则_______.
8. 对于一切不小于2的自然数，关于的一元二次方程的两个根记作（），则= 。

9. 已知直角梯形的四条边长分别为，过、两点作圆,与的延长线交于点，与的延长线交于点，则的值为_________.

第二试 （A）
一、 （本题满分20分）设为正整数，且，如果对一切实数，二次函数的图象与轴的两个交点间的距离不小于，求的值.

二、（本题满分25分）如图，四边形是梯形，点是上底边上一点，的延长线与的延长线交于点，过点作的平行线交的延长线于点，与交于点.证明：∠=∠.

三、 （本题满分25分）已知是正整数，如果关于的方程的根都是整数，求的值及方程的整数根.
【解析】观察易知，方程有一个整数根，将方程的左边分解因式，得

第二试 （B）
一、（本题满分20分）设为正整数，且，二次函数的图象与轴的两个交点间的距离为，二次函数的图象与轴的两个交点间的距离为.如果对一切实数恒成立，求的值.

二、（本题满分25分）题目和解答与（A）卷第二题相同.

三、（本题满分25分）设是正整数，二次函数，反比例函数，如果两个函数的图象的交点都是整点（横坐标和纵坐标都是整数的点），求的值.
第二试 （C）
一、（本题满分25分）题目和解答与（B）卷第一题相同.

二、（本题满分25分）题目和解答与（A）卷第二题相同.

三、（本题满分25分）设是正整数，如果二次函数和反比例函数的图象有公共整点（横坐标和纵坐标都是整数的点），求的值和对应的公共整点.