高中数学之数列通项公式的求法.docx

数列通项公式的求法一——直接定义法
数列通项公式的求解是高中数学的常考内容，方法也是千变万化。本节介绍的方法叫做直接定义法，这种方法适用于已经知道数列类型的题目，通过求出首项和公差或公比，直接利用等差或等比数列的定义写出通项。
课堂例题
例1. 等比数列中，已知
（Ⅰ）求数列的通项公式；
（Ⅱ）若分别为等差数列的第3项和第5项，试求数列的通项公式及前项和。
参考答案：（Ⅰ）设的公比为
由已知得，解得
（Ⅱ）由（I）得，，则，
设的公差为，则有解得
从而
所以数列的前项和

例2. 等差数列是递增数列，前项和为，且成等比数列，．求数列的通项公式.
参考答案：设数列公差为
∵成等比数列，∴，
即
∵， ∴
∵ ∴
联立解得：，
∴

课后习题
1.等差数列中，，则数列的通项公式为=_________.
参考答案： 结合，可得公差，于是通项公式为
。

2.等比数列中，，求的通项公式。
参考答案：设公比为，则
于是
故

数列通项公式的求法二——公式法
本节介绍的方法叫做公式法，这种方法适用于已经给出了数列的前项和的情况。
一种是利用和的关系，一种是直接用公式：

课堂例题
例1. 已知数列的前项和满足，求数列的通项公式。
参考答案：由
当时，有
……
所以

经验证也满足上式，所以

例2.设数列是公差不为零的等差数列，是数列的前项和，且
，求数列的通项公式.
参考答案：设等差数列的公差为，由及已知条件得
， ①
②
由②得，代入①有
解得 当舍去.
因此 故数列的通项公式

课后习题
1. 已知数列的前项和（为正整数）。令，求证数列是等差数列，并求数列的通项公式。
参考答案：在中，令，可得，即
当时，，
.
.
又数列是首项和公差均为1的等差数列.
于是.

2. 已知数列的前项和满足：，求数列的通项公式。
参考答案：对，令，求得
当时，，
两式相减得：

当时，亦满足上式，故。

数列通项公式的求法三——累加法、累乘法
本节介绍的方法叫做累加法和累乘法。
1.累加法：递推公式满足，则转化为，逐项累加即可。
2.累乘法：递推公式满足，则转化为，逐项累乘即可。
课堂例题
例1.在数列中，，则数列的通项公式为=_________.
参考答案：由条件得，故
，，
……
将以上个式子进行累加得：
故。

例2.已知数列满足：，则数列的通项公式为=_________.
参考答案：即，同理有，…,所有项相乘得：，故。

课后习题
1. 已知数列满足，，求。
参考答案：由条件知：
分别令，代入上式得个等式累加之，即

所以
，

2. 已知数列满足，，求。
解：由条件知，分别令，代入上式得个等式累乘之，即

又，

数列通项公式的求法四——待定系数法
本节介绍的方法叫做待定系数法：
1.递推公式为，可以转化为，为待定系数，易解得，再利用等比数列的性质即可求。
2. 递推公式为，一般地，要先在原递推公式两边同除以，得：，引入辅助数列（其中），得：，这样就转化为上面的情况了，待定系数法解决。
3. 递推公式为（其中均为常数），先把原递推公式转化为，其中满足，再用前面的方法解决。
课堂例题
例1.在数列中，若：，则该数列的通项公式为=_________.
参考答案：由待定系数法易得，即数列是以为首项，以为公比的等比数列，所以，故。

例2. 已知数列中，,，求。
解：在两边乘以得：
令，则，应用例5解法得：
所以

例3. 已知数列中，,,，求。
解：由可转化为
即或
这里不妨选用（当然也可选用，大家可以试一试），则是以首项为，公比为的等比数列,所以,应用累加法，分别令，代入上式得个等式累加之，即
又，所以。

课后习题
1. 在数列中，若：，则该数列的通项公式为=_________.
参考答案：属于类型1，待定系数之后可得，由等比数列的性质有

2. 已知数列中，,，求。
参考答案：属于类型2，两边同时除以，有，由等差数列的性质有：